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7. [2026 洛阳新安西苑学校月考] 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,BE⊥AB于点B,交AC于点E.
(1)求证:$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$;
(2)若AE=13,AB=12,求EC的长.
(1)求证:$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$;
(2)若AE=13,AB=12,求EC的长.
答案
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴ ∠AOB = ∠BOE = 90°,
∴ ∠BAO + ∠ABO = 90°.
∵ EB⊥AB,
∴ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EBO + ∠ABO = 90°,
∴ ∠BAO = ∠EBO.
又
∵ ∠BOE = ∠AOB,
∴ △BEO∽△ABO,
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$.
(2)解:根据题意可得 EC = OC - OE = OA - OE.
∵ ∠ABE = ∠BOE,∠AEB = ∠BEO,
∴ △ABE∽△BOE,
∴ $\frac{BE}{OE}=\frac{AE}{BE}$.
在Rt△ABE 中,AE = 13,AB = 12,
根据勾股定理可得 $EB=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴ $\frac{5}{OE}=\frac{13}{5}$,
∴ $OE=\frac{25}{13}$,
∴ $OA=AE-OE=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$,
∴ $EC=OA-OE=\frac{144}{13}-\frac{25}{13}=\frac{119}{13}$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴ ∠AOB = ∠BOE = 90°,
∴ ∠BAO + ∠ABO = 90°.
∵ EB⊥AB,
∴ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EBO + ∠ABO = 90°,
∴ ∠BAO = ∠EBO.
又
∵ ∠BOE = ∠AOB,
∴ △BEO∽△ABO,
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$.
(2)解:根据题意可得 EC = OC - OE = OA - OE.
∵ ∠ABE = ∠BOE,∠AEB = ∠BEO,
∴ △ABE∽△BOE,
∴ $\frac{BE}{OE}=\frac{AE}{BE}$.
在Rt△ABE 中,AE = 13,AB = 12,
根据勾股定理可得 $EB=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴ $\frac{5}{OE}=\frac{13}{5}$,
∴ $OE=\frac{25}{13}$,
∴ $OA=AE-OE=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$,
∴ $EC=OA-OE=\frac{144}{13}-\frac{25}{13}=\frac{119}{13}$.
解析
【分析】
(1)要证明比例式$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$，可通过证明对应三角形相似实现。首先利用菱形对角线互相垂直的性质得到直角，再结合同角的余角相等推出两组对应角相等，证明△BEO∽△ABO即可得到结论。
(2)先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，再通过角的关系证明△ABE∽△BOE，借助相似三角形的性质求出OE的长，结合菱形对角线互相平分的性质$OA=OC$，通过$EC=OC-OE=OA-OE$即可计算出EC的长度。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴ ∠AOB = ∠BOE = 90°,
∴ ∠BAO + ∠ABO = 90°.
∵ EB⊥AB,
∴ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EBO + ∠ABO = 90°,
∴ ∠BAO = ∠EBO.
又
∵ ∠BOE = ∠AOB,
∴ △BEO∽△ABO,
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$.
(2)解:根据菱形性质可得$OC=OA$,因此$EC = OC - OE = OA - OE$.
∵ ∠ABE = ∠BOE,∠AEB = ∠BEO,
∴ △ABE∽△BOE,
∴ $\frac{BE}{OE}=\frac{AE}{BE}$.
在Rt△ABE 中,AE = 13,AB = 12,
根据勾股定理可得 $EB=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴ $\frac{5}{OE}=\frac{13}{5}$,
∴ $OE=\frac{25}{13}$,
∴ $OA=AE-OE=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$,
∴ $EC=OA-OE=\frac{144}{13}-\frac{25}{13}=\frac{119}{13}$.
【答案】
(1)证明成立；(2)$\frac{119}{13}$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用角度关系证明三角形相似，结合菱形、直角三角形的相关性质进行推理和计算，能够有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明比例式$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$，可通过证明对应三角形相似实现。首先利用菱形对角线互相垂直的性质得到直角，再结合同角的余角相等推出两组对应角相等，证明△BEO∽△ABO即可得到结论。
(2)先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，再通过角的关系证明△ABE∽△BOE，借助相似三角形的性质求出OE的长，结合菱形对角线互相平分的性质$OA=OC$，通过$EC=OC-OE=OA-OE$即可计算出EC的长度。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴ ∠AOB = ∠BOE = 90°,
∴ ∠BAO + ∠ABO = 90°.
∵ EB⊥AB,
∴ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EBO + ∠ABO = 90°,
∴ ∠BAO = ∠EBO.
又
∵ ∠BOE = ∠AOB,
∴ △BEO∽△ABO,
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{OB}$.
(2)解:根据菱形性质可得$OC=OA$,因此$EC = OC - OE = OA - OE$.
∵ ∠ABE = ∠BOE,∠AEB = ∠BEO,
∴ △ABE∽△BOE,
∴ $\frac{BE}{OE}=\frac{AE}{BE}$.
在Rt△ABE 中,AE = 13,AB = 12,
根据勾股定理可得 $EB=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴ $\frac{5}{OE}=\frac{13}{5}$,
∴ $OE=\frac{25}{13}$,
∴ $OA=AE-OE=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$,
∴ $EC=OA-OE=\frac{144}{13}-\frac{25}{13}=\frac{119}{13}$.
【答案】
(1)证明成立；(2)$\frac{119}{13}$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用角度关系证明三角形相似，结合菱形、直角三角形的相关性质进行推理和计算，能够有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
8. 》一题多解 请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.
图算法
图算法也叫诺模图,是根据几何原理,将某一已知函数关系式中的各变量,分别编成有刻度的直线(或曲线),并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形,可以用来解函数式中的未知量,如图1,比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度,我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系$F=\frac{9}{5}C+32$得出,当$C=10° C$时,$F=50° F$.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度,就可以从温度计上直接读出答案,这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.
视频解题
再看一个例子:设有两只电阻,分别为5千欧和7.5千欧,问并联后的电阻值是多少.
我们可以利用公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得$R$的值,也可以设计一种图算法直接得出结果:如图2,我们先画出一个$120°$的角,再画一条角平分线,在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度,这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线,这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.
图算法得出的数据大多是近似值,但在大多数情况下是够用的,那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员,往往更能体会到它的优越性.
(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性.
(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性.
①用公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算:当$R_1=7.5$,$R_2=5$时,$R$的值为多少?
②如图3,在$△ AOB$中,$∠ AOB=120°$,$OC$是$△ AOB$的角平分线,$OA=7.5$,$OB=5$,用你所学的几何知识求线段$OC$的长.
图算法
图算法也叫诺模图,是根据几何原理,将某一已知函数关系式中的各变量,分别编成有刻度的直线(或曲线),并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形,可以用来解函数式中的未知量,如图1,比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度,我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系$F=\frac{9}{5}C+32$得出,当$C=10° C$时,$F=50° F$.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度,就可以从温度计上直接读出答案,这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.
视频解题
再看一个例子:设有两只电阻,分别为5千欧和7.5千欧,问并联后的电阻值是多少.
我们可以利用公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得$R$的值,也可以设计一种图算法直接得出结果:如图2,我们先画出一个$120°$的角,再画一条角平分线,在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度,这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线,这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.
图算法得出的数据大多是近似值,但在大多数情况下是够用的,那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员,往往更能体会到它的优越性.
(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性.
(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性.
①用公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算:当$R_1=7.5$,$R_2=5$时,$R$的值为多少?
②如图3,在$△ AOB$中,$∠ AOB=120°$,$OC$是$△ AOB$的角平分线,$OA=7.5$,$OB=5$,用你所学的几何知识求线段$OC$的长.
答案
(1)答案不唯一. 如:图算法方便、直观;不用公式计算即可得出结果等.
(2)①当$R_1=7.5$,$R_2=5$时,
$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{7.5}+\frac{1}{5}=\frac{7.5+5}{7.5×5}=\frac{1}{3}$,
∴ $R=3$.
②通解1 如图1,过点 A 作 AM//CO,交 BO 的延长线于点 M.
∵ OC 平分∠AOB,
∴ ∠1 = ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ AM//CO,
∴ ∠3 = ∠2 = 60°,∠M = ∠1 = 60°,
∴ ∠3 = ∠M = 60°,
∴ △OAM 为等边三角形,
∴ OM = AM = OA = 7.5.
在△BCO 和△BAM 中,∠B = ∠B,∠1 = ∠M,
∴ △BCO∽△BAM,
∴ $\frac{OC}{MA}=\frac{BO}{BM}$,
∴ $\frac{OC}{7.5}=\frac{5}{5+7.5}$,
∴ OC = 3.
通解2 如图2,过点 A 作 AD//OB,交 OC 的延长线于点 D.
∵ ∠AOB = 120°,OC 平分∠AOB,
∴ ∠AOC = ∠BOC = ∠D = 60°,
∴ △AOD 是等边三角形,
∴ AO = AD = OD = 7.5.
在△ACD 和△BCO 中,∠D = ∠BOC,∠ACD = ∠BCO,
∴ △ACD∽△BCO,
∴ $\frac{AD}{BO}=\frac{CD}{CO}=\frac{7.5}{5}=1.5$,
∴ CD = 1.5OC,
∴ 1.5OC + OC = 7.5,
∴ OC = 3.
解析
【分析】
(1) 本问为信息提取类问题，只需结合材料中对图算法的描述，总结其使用优势即可，答案合理即可。
(2) ①直接将$R_1$、$R_2$的数值代入并联电阻公式，通过分式运算即可求出$R$的值；②为几何验证题，已知$∠AOB=120°$，OC为角平分线，可先得到两个60°的角，通过作平行线构造等边三角形，再推导得到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求出OC的长度，若OC与①中计算的$R$值相等，即可验证图算法正确。
【解析】
(1) 从材料描述可知，图算法不需要记忆复杂公式、不需要进行繁琐计算，仅通过连线读数就能得到结果，使用方便、直观，适合需要多次重复同类型计算的场景。
(2) ①将$R_1=7.5$，$R_2=5$代入公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$：
$\frac{1}{R}=\frac{1}{7.5}+\frac{1}{5}=\frac{2+3}{15}=\frac{1}{3}$，解得$R=3$。
②方法一：过点A作$AM// CO$，交BO的延长线于点M。
因为OC平分$∠AOB$，$∠AOB=120°$，所以$∠1=∠2=60°$。
由$AM// CO$可得$∠3=∠2=60°$，$∠M=∠1=60°$，因此$△ OAM$为等边三角形，$OM=AM=OA=7.5$。
在$△ BCO$和$△ BAM$中，$∠B=∠B$，$∠1=∠M$，所以$△ BCO∽△ BAM$，可得$\frac{OC}{MA}=\frac{BO}{BM}$，代入$BM=5+7.5=12.5$，得$\frac{OC}{7.5}=\frac{5}{12.5}$，解得$OC=3$。
方法二：过点A作$AD// OB$，交OC的延长线于点D。
因为OC平分$∠AOB$，$∠AOB=120°$，所以$∠AOC=∠BOC=60°$。
由$AD// OB$可得$∠D=∠BOC=60°$，因此$△ AOD$为等边三角形，$AO=AD=OD=7.5$。
在$△ ACD$和$△ BCO$中，$∠D=∠BOC$，$∠ACD=∠BCO$，所以$△ ACD∽△ BCO$，可得$\frac{AD}{BO}=\frac{CD}{CO}=1.5$，即$CD=1.5OC$。
结合$OD=OC+CD=7.5$，得$OC+1.5OC=7.5$，解得$OC=3$。
计算得OC的长度与并联电阻$R$的值相等，验证图算法正确。
【答案】
(1)答案不唯一. 如:图算法方便、直观;不用公式计算即可得出结果等.
(2)①当$R_1=7.5$,$R_2=5$时,
$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{7.5}+\frac{1}{5}=\frac{7.5+5}{7.5×5}=\frac{1}{3}$,
∴ $R=3$.
②通解1 如图1,过点 A 作 AM//CO,交 BO 的延长线于点 M.
∵ OC 平分∠AOB,
∴ ∠1 = ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ AM//CO,
∴ ∠3 = ∠2 = 60°,∠M = ∠1 = 60°,
∴ ∠3 = ∠M = 60°,
∴ △OAM 为等边三角形,
∴ OM = AM = OA = 7.5.
在△BCO 和△BAM 中,∠B = ∠B,∠1 = ∠M,
∴ △BCO∽△BAM,
∴ $\frac{OC}{MA}=\frac{BO}{BM}$,
∴ $\frac{OC}{7.5}=\frac{5}{5+7.5}$,
∴ OC = 3.
通解2 如图2,过点 A 作 AD//OB,交 OC 的延长线于点 D.
∵ ∠AOB = 120°,OC 平分∠AOB,
∴ ∠AOC = ∠BOC = ∠D = 60°,
∴ △AOD 是等边三角形,
∴ AO = AD = OD = 7.5.
在△ACD 和△BCO 中,∠D = ∠BOC,∠ACD = ∠BCO,
∴ △ACD∽△BCO,
∴ $\frac{AD}{BO}=\frac{CD}{CO}=\frac{7.5}{5}=1.5$,
∴ CD = 1.5OC,
∴ 1.5OC + OC = 7.5,
∴ OC = 3.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，分式的运算
【点评】
本题结合科普材料考查信息提取能力和数学知识的实际应用，既包含基础运算，又需要构造辅助线结合几何性质解题，能很好地考查学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本问为信息提取类问题，只需结合材料中对图算法的描述，总结其使用优势即可，答案合理即可。
(2) ①直接将$R_1$、$R_2$的数值代入并联电阻公式，通过分式运算即可求出$R$的值；②为几何验证题，已知$∠AOB=120°$，OC为角平分线，可先得到两个60°的角，通过作平行线构造等边三角形，再推导得到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求出OC的长度，若OC与①中计算的$R$值相等，即可验证图算法正确。
【解析】
(1) 从材料描述可知，图算法不需要记忆复杂公式、不需要进行繁琐计算，仅通过连线读数就能得到结果，使用方便、直观，适合需要多次重复同类型计算的场景。
(2) ①将$R_1=7.5$，$R_2=5$代入公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$：
$\frac{1}{R}=\frac{1}{7.5}+\frac{1}{5}=\frac{2+3}{15}=\frac{1}{3}$，解得$R=3$。
②方法一：过点A作$AM// CO$，交BO的延长线于点M。
因为OC平分$∠AOB$，$∠AOB=120°$，所以$∠1=∠2=60°$。
由$AM// CO$可得$∠3=∠2=60°$，$∠M=∠1=60°$，因此$△ OAM$为等边三角形，$OM=AM=OA=7.5$。
在$△ BCO$和$△ BAM$中，$∠B=∠B$，$∠1=∠M$，所以$△ BCO∽△ BAM$，可得$\frac{OC}{MA}=\frac{BO}{BM}$，代入$BM=5+7.5=12.5$，得$\frac{OC}{7.5}=\frac{5}{12.5}$，解得$OC=3$。
方法二：过点A作$AD// OB$，交OC的延长线于点D。
因为OC平分$∠AOB$，$∠AOB=120°$，所以$∠AOC=∠BOC=60°$。
由$AD// OB$可得$∠D=∠BOC=60°$，因此$△ AOD$为等边三角形，$AO=AD=OD=7.5$。
在$△ ACD$和$△ BCO$中，$∠D=∠BOC$，$∠ACD=∠BCO$，所以$△ ACD∽△ BCO$，可得$\frac{AD}{BO}=\frac{CD}{CO}=1.5$，即$CD=1.5OC$。
结合$OD=OC+CD=7.5$，得$OC+1.5OC=7.5$，解得$OC=3$。
计算得OC的长度与并联电阻$R$的值相等，验证图算法正确。
【答案】
(1)答案不唯一. 如:图算法方便、直观;不用公式计算即可得出结果等.
(2)①当$R_1=7.5$,$R_2=5$时,
$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{7.5}+\frac{1}{5}=\frac{7.5+5}{7.5×5}=\frac{1}{3}$,
∴ $R=3$.
②通解1 如图1,过点 A 作 AM//CO,交 BO 的延长线于点 M.
∵ OC 平分∠AOB,
∴ ∠1 = ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ AM//CO,
∴ ∠3 = ∠2 = 60°,∠M = ∠1 = 60°,
∴ ∠3 = ∠M = 60°,
∴ △OAM 为等边三角形,
∴ OM = AM = OA = 7.5.
在△BCO 和△BAM 中,∠B = ∠B,∠1 = ∠M,
∴ △BCO∽△BAM,
∴ $\frac{OC}{MA}=\frac{BO}{BM}$,
∴ $\frac{OC}{7.5}=\frac{5}{5+7.5}$,
∴ OC = 3.
通解2 如图2,过点 A 作 AD//OB,交 OC 的延长线于点 D.
∵ ∠AOB = 120°,OC 平分∠AOB,
∴ ∠AOC = ∠BOC = ∠D = 60°,
∴ △AOD 是等边三角形,
∴ AO = AD = OD = 7.5.
在△ACD 和△BCO 中,∠D = ∠BOC,∠ACD = ∠BCO,
∴ △ACD∽△BCO,
∴ $\frac{AD}{BO}=\frac{CD}{CO}=\frac{7.5}{5}=1.5$,
∴ CD = 1.5OC,
∴ 1.5OC + OC = 7.5,
∴ OC = 3.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，分式的运算
【点评】
本题结合科普材料考查信息提取能力和数学知识的实际应用，既包含基础运算，又需要构造辅助线结合几何性质解题，能很好地考查学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
