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1.如果在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，$AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'=3:1$，且$∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ C=∠ C'$，那么$△ ABC$ $△ A'B'C'$，$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为。
答案
第一个空填∽（相似于），第二个空填3:1。
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定依据：相似三角形的定义是三组对应角相等、三组对应边成比例的两个三角形相似，先根据题目给出的角和边的条件判断两个三角形的关系；再明确相似比的定义：相似三角形的相似比是指前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，结合题目给出的边的比例即可求出相似比，注意相似比的顺序不能颠倒。
【解析】
1. 判断三角形关系：
已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，即三组对应角相等；同时$AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'=3:1$，即三组对应边成比例，完全符合相似三角形的定义，因此$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
2. 计算相似比：
相似比是两个相似三角形对应边的比值，本题要求的是△ABC与△A'B'C'的相似比，即△ABC的边长与△A'B'C'对应边长的比值，根据已知条件可得该比值为$3:1$。
【答案】
$∽$；$3:1$
【知识点】
相似三角形的定义；相似比的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握相似三角形的判定特征和相似比的顺序要求，做题时注意不要混淆相似比的前后对应关系即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的判定依据：相似三角形的定义是三组对应角相等、三组对应边成比例的两个三角形相似，先根据题目给出的角和边的条件判断两个三角形的关系；再明确相似比的定义：相似三角形的相似比是指前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，结合题目给出的边的比例即可求出相似比，注意相似比的顺序不能颠倒。
【解析】
1. 判断三角形关系：
已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，即三组对应角相等；同时$AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'=3:1$，即三组对应边成比例，完全符合相似三角形的定义，因此$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
2. 计算相似比：
相似比是两个相似三角形对应边的比值，本题要求的是△ABC与△A'B'C'的相似比，即△ABC的边长与△A'B'C'对应边长的比值，根据已知条件可得该比值为$3:1$。
【答案】
$∽$；$3:1$
【知识点】
相似三角形的定义；相似比的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握相似三角形的判定特征和相似比的顺序要求，做题时注意不要混淆相似比的前后对应关系即可。
【难度系数】
0.9
2.如图，直线$l_1// l_2// l_3$，直线AC和DF被$l_1$，$l_2$，$l_3$所截，$AB=8$，$BC=12$，$EF=9$，则DE的长为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：第一步先确认定理适用条件：题中给出三条互相平行的直线$l_1、l_2、l_3$，它们截两条直线AC、DF，符合平行线分线段成比例定理的使用场景；第二步找准对应线段：被平行线所截得的线段中，AB和BC是直线AC上被截得的相邻两段，DE和EF是直线DF上被截得的相邻两段，二者是对应线段，成比例关系；第三步将已知线段长度代入比例式，计算即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵直线$ l_1// l_2// l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$ AB=8 $，$ BC=12 $，$ EF=9 $代入上式得：
$\frac{8}{12}=\frac{DE}{9}$
化简得$\frac{2}{3}=\frac{DE}{9}$，解得$ DE=9×\frac{2}{3}=6 $
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是准确识别平行线分线段的对应关系，只要找准对应线段列出比例式，结合简单的比例计算即可得到结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：第一步先确认定理适用条件：题中给出三条互相平行的直线$l_1、l_2、l_3$，它们截两条直线AC、DF，符合平行线分线段成比例定理的使用场景；第二步找准对应线段：被平行线所截得的线段中，AB和BC是直线AC上被截得的相邻两段，DE和EF是直线DF上被截得的相邻两段，二者是对应线段，成比例关系；第三步将已知线段长度代入比例式，计算即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵直线$ l_1// l_2// l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$ AB=8 $，$ BC=12 $，$ EF=9 $代入上式得：
$\frac{8}{12}=\frac{DE}{9}$
化简得$\frac{2}{3}=\frac{DE}{9}$，解得$ DE=9×\frac{2}{3}=6 $
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是准确识别平行线分线段的对应关系，只要找准对应线段列出比例式，结合简单的比例计算即可得到结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ OAB$中,点$C,D$分别在边$OB$,
$OA$的反向延长线上,且$CD// AB$.若$OC=$
$3,OB=5,OD=4$,则$OA$的长为________.
$OA$的反向延长线上,且$CD// AB$.若$OC=$
$3,OB=5,OD=4$,则$OA$的长为________.
答案
解：
∵ $CD// AB$，
∴ 由平行线分线段成比例的推论可得 $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$。
将$OC=3$，$OB=5$，$OD=4$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{OA}$，
解得 $OA=\frac{20}{3}$。
$\frac{20}{3}$
∵ $CD// AB$，
∴ 由平行线分线段成比例的推论可得 $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$。
将$OC=3$，$OB=5$，$OD=4$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{OA}$，
解得 $OA=\frac{20}{3}$。
$\frac{20}{3}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知$CD// AB$，且$C$、$D$分别在$OB$、$OA$的反向延长线上，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例，可得到$OC$与$OB$的比等于$OD$与$OA$的比，再将已知的线段长度代入比例式，解关于$OA$的比例方程即可求出结果。
【解析】
解：$\because CD// AB$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例的推论可得 $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，
将$OC=3$，$OB=5$，$OD=4$代入比例式得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{OA}$，
交叉相乘得：$3OA=20$，
解得 $OA=\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；解比例方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是根据平行线的性质找到对应成比例的线段，解题时要注意对应线段的位置不要混淆，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知$CD// AB$，且$C$、$D$分别在$OB$、$OA$的反向延长线上，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例，可得到$OC$与$OB$的比等于$OD$与$OA$的比，再将已知的线段长度代入比例式，解关于$OA$的比例方程即可求出结果。
【解析】
解：$\because CD// AB$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例的推论可得 $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，
将$OC=3$，$OB=5$，$OD=4$代入比例式得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{OA}$，
交叉相乘得：$3OA=20$，
解得 $OA=\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；解比例方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是根据平行线的性质找到对应成比例的线段，解题时要注意对应线段的位置不要混淆，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB//CD//EF.若AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为.
第4题图 第5题图
第4题图 第5题图
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题给出三条平行直线被两条截线所截的图形，首先应联想到平行线分线段成比例定理，先明确两条截线上的对应线段：截线ADF上的AD、AF分别对应截线BCE上的BC、BE，先利用已知的线段比例和BC的长度求出BE的长度，再通过BE与BC的差计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$
已知$AD:AF=3:5$，$BC=6$，代入比例式得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{BE}$
解得$BE=\frac{5×6}{3}=10$
∴$CE=BE-BC=10-6=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例的计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是准确识别平行线所截两条直线上的对应线段，避免对应线段混淆导致比例式列错，掌握定理的前提下计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.8
本题给出三条平行直线被两条截线所截的图形，首先应联想到平行线分线段成比例定理，先明确两条截线上的对应线段：截线ADF上的AD、AF分别对应截线BCE上的BC、BE，先利用已知的线段比例和BC的长度求出BE的长度，再通过BE与BC的差计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$
已知$AD:AF=3:5$，$BC=6$，代入比例式得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{BE}$
解得$BE=\frac{5×6}{3}=10$
∴$CE=BE-BC=10-6=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例的计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是准确识别平行线所截两条直线上的对应线段，避免对应线段混淆导致比例式列错，掌握定理的前提下计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB$和$AC$上,$DE// BC$,$M$为$BC$边上一点(不与点$B,C$重合),连接$AM$交$DE$于点$N$,则()
A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$
D.$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$
A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$
D.$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据已知$DE// BC$的条件，联想到平行线可推出三角形相似，进而得到对应线段成比例。我们可以分别观察$DN$与$BM$、$NE$与$MC$所在的相似三角形，找到两组比例的公共中间量，就能比对各选项是否正确。第一步先证$△ ADN$与$△ ABM$相似，得到$DN$和$BM$的比例关系；第二步证$△ ANE$与$△ AMC$相似，得到$NE$和$MC$的比例关系；第三步通过公共中间量联立两组比例，即可得出结论，最后排除其余错误选项即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$DN// BM$，$NE// MC$。
在$△ ADN$和$△ ABM$中：
$∠ ADN=∠ ABM$，$∠ AND=∠ AMB$，$∠ DAN=∠ BAM$，
∴$△ ADN ∽ △ ABM$，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$ ①。
在$△ ANE$和$△ AMC$中：
$∠ AEN=∠ ACM$，$∠ ANE=∠ AMC$，$∠ EAN=∠ CAM$，
∴$△ ANE ∽ △ AMC$，
∴$\frac{NE}{MC}=\frac{AN}{AM}$ ②。
联立①②可得：$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，故C选项正确。
其余选项验证：
A选项：$\frac{AD}{AN}=\frac{AB}{AM}$，$\frac{AN}{AE}=\frac{AM}{AC}$，无条件证明二者相等，A错误；
B选项：无对应相似关系可推出该比例，B错误；
D选项：由$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$交叉相乘得$DN· MC=NE· BM$，即$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$不成立，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用题目，解题核心是找到两组相似三角形的公共比例项$\frac{AN}{AM}$作为中间桥梁，推导时要注意对应线段不要混淆，熟练掌握平行条件下的三角形相似判定是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知$DE// BC$的条件，联想到平行线可推出三角形相似，进而得到对应线段成比例。我们可以分别观察$DN$与$BM$、$NE$与$MC$所在的相似三角形，找到两组比例的公共中间量，就能比对各选项是否正确。第一步先证$△ ADN$与$△ ABM$相似，得到$DN$和$BM$的比例关系；第二步证$△ ANE$与$△ AMC$相似，得到$NE$和$MC$的比例关系；第三步通过公共中间量联立两组比例，即可得出结论，最后排除其余错误选项即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$DN// BM$，$NE// MC$。
在$△ ADN$和$△ ABM$中：
$∠ ADN=∠ ABM$，$∠ AND=∠ AMB$，$∠ DAN=∠ BAM$，
∴$△ ADN ∽ △ ABM$，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$ ①。
在$△ ANE$和$△ AMC$中：
$∠ AEN=∠ ACM$，$∠ ANE=∠ AMC$，$∠ EAN=∠ CAM$，
∴$△ ANE ∽ △ AMC$，
∴$\frac{NE}{MC}=\frac{AN}{AM}$ ②。
联立①②可得：$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，故C选项正确。
其余选项验证：
A选项：$\frac{AD}{AN}=\frac{AB}{AM}$，$\frac{AN}{AE}=\frac{AM}{AC}$，无条件证明二者相等，A错误；
B选项：无对应相似关系可推出该比例，B错误；
D选项：由$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$交叉相乘得$DN· MC=NE· BM$，即$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$不成立，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用题目，解题核心是找到两组相似三角形的公共比例项$\frac{AN}{AM}$作为中间桥梁，推导时要注意对应线段不要混淆，熟练掌握平行条件下的三角形相似判定是解题的基础。
【难度系数】
0.7
6.如图所示，$△ ABC$中，$DE// BC$，$AD＝5$，$BD＝10$，$AE＝3$，则$CE$的值为（）
A.9
B.6
C.3
D.4
A.9
B.6
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
观察图形可知DE平行于△ABC的边BC，截AB、AC两边，根据平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，即可得到AD与BD的比值等于AE与CE的比值，将已知线段长度代入比例式求解，就能算出CE的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，
将$AD=5$，$BD=10$，$AE=3$代入比例式：
$\frac{5}{10}=\frac{3}{CE}$，
交叉相乘得：$5CE=3×10$，
解得$CE=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是找准平行条件对应的比例线段，避免写反对应线段的比例关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
观察图形可知DE平行于△ABC的边BC，截AB、AC两边，根据平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，即可得到AD与BD的比值等于AE与CE的比值，将已知线段长度代入比例式求解，就能算出CE的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，
将$AD=5$，$BD=10$，$AE=3$代入比例式：
$\frac{5}{10}=\frac{3}{CE}$，
交叉相乘得：$5CE=3×10$，
解得$CE=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是找准平行条件对应的比例线段，避免写反对应线段的比例关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
7.如图，△ABC∽△ACD，则下列式子中，不成立的是()
A.$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
C.$AC^2=AD· AB$
D.$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{AD}$
A.$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
C.$AC^2=AD· AB$
D.$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{AD}$
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是利用相似三角形对应边成比例的性质。首先根据相似三角形的符号书写顺序，确定两个三角形的对应顶点，进而得到对应边的比例关系，再逐一推导验证每个选项是否成立即可。其中△ABC∽△ACD的对应顶点为A对应A，B对应C，C对应D，对应边分别为AB对应AC，BC对应CD，AC对应AD。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ACD$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$
选项A：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，与上述比例式一致，式子成立；
选项B：由比例式可得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，式子成立；
选项C：将$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$交叉相乘，可得$AC^2=AD·AB$，式子成立；
选项D：由$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$变形得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，与$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{AD}$不相等，式子不成立。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是根据相似的书写顺序准确匹配对应边，避免因对应边混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用相似三角形对应边成比例的性质。首先根据相似三角形的符号书写顺序，确定两个三角形的对应顶点，进而得到对应边的比例关系，再逐一推导验证每个选项是否成立即可。其中△ABC∽△ACD的对应顶点为A对应A，B对应C，C对应D，对应边分别为AB对应AC，BC对应CD，AC对应AD。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ACD$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$
选项A：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，与上述比例式一致，式子成立；
选项B：由比例式可得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，式子成立；
选项C：将$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$交叉相乘，可得$AC^2=AD·AB$，式子成立；
选项D：由$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$变形得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，与$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{AD}$不相等，式子不成立。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是根据相似的书写顺序准确匹配对应边，避免因对应边混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
