8.在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，点$P$是直线$AB$上一点，且$AP=2$，过点$P$作$BC$边的平行线，交直线$AC$于点$M$，则$MC$的长为（）

A.12
B.6或12
C.6或8
D.8

B

【分析】
首先明确点P是在直线AB上，不是仅在线段AB上，因此需分两种情况讨论：①P在线段AB上；②P在线段BA的延长线上。由于PM平行于BC，可利用平行线分线段成比例定理得到对应边的比例关系，先求出AM的长度，再结合M的位置计算MC的长度即可。
【解析】
本题需分两种情况计算：
1. 当点P在线段AB上时：
∵PM//BC，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AC}$
已知AP=2，AB=6，AC=9，代入得$\frac{2}{6}=\frac{AM}{9}$，解得AM=3
∴MC=AC - AM=9 - 3=6
2. 当点P在线段BA的延长线上时：
∵PM//BC，同理可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AC}$
代入数据得$\frac{2}{6}=\frac{AM}{9}$，解得AM=3，此时M在CA的延长线上
∴MC=AC + AM=9 + 3=12
综上，MC的长为6或12。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，分类讨论思想，相似三角形判定
【点评】
解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，本题若忽略点P在直线AB上的两种位置，易只算出MC=6导致漏解，分类讨论时要结合图形判断线段的和差关系。
【难度系数】
0.6

9. 如图，BD是$△ ABC$的中线，点F在BD上，延长AF交BC于点E.
(1)若点E为BC中点，则$\frac{BF}{DF}=$；
(2)若$BF=3DF$，则$\frac{BE}{EC}=$.

(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

【分析】
本题是三角形中线段比例的求解问题，可通过构造平行线结合相似三角形、中位线性质解答：首先过D作DG//BC交AE于G，利用BD是中线可得D是AC中点，因此DG是△AEC的中位线，得到DG与EC的数量关系；再由DG//BC可证△DGF∽△BEF，得到两组对边的比例关系，结合题目给出的条件即可求出对应比值。
【解析】
过点D作$DG// BC$，交$AE$于点$G$。
(1)
∵BD是$△ ABC$的中线，
∴D为AC的中点，
又
∵$DG// BC$，
∴DG是$△ AEC$的中位线，
∴$DG=\frac{1}{2}EC$。
∵E为BC中点，
∴$BE=EC$，
∴$DG=\frac{1}{2}BE$。
∵$DG// BE$，
∴$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$，
∴$△ DGF ∽ △ BEF$，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{DG}=\frac{BE}{\frac{1}{2}BE}=2$。
(2) 由D为AC中点，$DG// BC$，同理可得$DG=\frac{1}{2}EC$，$△ DGF ∽ △ BEF$，
∴$\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{DF}$。
∵$BF=3DF$，即$\frac{BF}{DF}=3$，
∴$BE=3DG$，
又
∵$EC=2DG$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{3DG}{2DG}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
相似三角形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，核心解题思路是通过构造平行线得到相似三角形，结合三角形中位线的性质转化线段的比例关系，能有效考查学生对相似三角形和比例线段的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

10. 已知 $ l_1 // l_2 // l_3 $，$ AB = a \ \mathrm{cm} $，$ BC = \frac{3}{2}a \ \mathrm{cm} $，$ DF = 3 \ \mathrm{cm} $，求 $ DE $，$ EF $。

解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，
∴ 由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
∵ $AB = a\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{3}{2}a\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{DE}{EF}=\frac{a}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}$，即 $DE=\frac{2}{3}EF$。
又∵ $DE + EF = DF = 3\ \mathrm{cm}$，
将$DE=\frac{2}{3}EF$代入得：$\frac{2}{3}EF + EF = 3$，
解得 $EF=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$，
$DE=3 - \frac{9}{5}=\frac{6}{5}\ \mathrm{cm}$。
答：$DE$的长为$\frac{6}{5}\ \mathrm{cm}$，$EF$的长为$\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先观察图形特征，三条平行线$l_1、l_2、l_3$被两条直线所截，满足平行线分线段成比例定理的使用条件，因此先借助该定理建立AB、BC与DE、EF的比例关系；再代入已知的AB、BC的长度，求出DE和EF的比值；最后结合$DE+EF=DF=3\mathrm{cm}$的条件，通过代入计算即可分别求出DE、EF的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
$\because AB = a\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{3}{2}a\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{a}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}$，即 $DE=\frac{2}{3}EF$。
又$\because DE + EF = DF = 3\ \mathrm{cm}$，
将$DE=\frac{2}{3}EF$代入得：$\frac{2}{3}EF + EF = 3$，
解得 $EF=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$，
$DE=3 - \frac{9}{5}=\frac{6}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DE$的长为$\frac{6}{5}\ \mathrm{cm}$，$EF$的长为$\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查平行线分线段成比例定理的使用，解题关键是找准对应线段的比例关系，再结合线段和的条件联立计算，逻辑清晰易推导。
【难度系数】
0.8

11.如图,在△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,DE//BC,若AD:AB=3:4,AE=6,求AC.

解：
∵ $DE// BC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
∵ $AD:AB=3:4$，$AE=6$，
∴ $\frac{3}{4}=\frac{6}{AC}$，
解得 $AC=8$。
答：AC的长为8。

【分析】
首先观察题干给出的条件：DE平行于BC，结合所学的平行线分线段成比例的相关推论可知，平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，因此可得到AD与AB的比值等于AE与AC的比值。接下来将已知的AD:AB的比值、AE的长度代入该比例式，通过解比例方程即可求出AC的长度。
【解析】
∵ $DE// BC$，
∴ 根据平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
∵ $AD:AB=3:4$，$AE=6$，
∴ 将已知条件代入比例式得：$\frac{3}{4}=\frac{6}{AC}$，
交叉相乘得：$3AC=24$，
解得 $AC=8$。
【答案】
AC的长为8
【知识点】
平行线分线段成比例，比例方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确匹配平行条件对应的成比例线段，代入数值计算即可，解题时需注意不要混淆对应线段的位置。
【难度系数】
0.9

12. 如图，$DE// AB$，$EF// BC$.
(1)求证：$\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$；
(2)若$AF = 5\ \mathrm{cm}$，$FB = 3\ \mathrm{cm}$，$CD = 2\ \mathrm{cm}$，求$BD$的长.

(1) 证明：
∵ $DE// AB$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AE}$。
∵ $EF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{BF}{AF}=\frac{CE}{AE}$。
∴ $\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$。
---
(2) 解：
将$AF=5\ \mathrm{cm}$，$FB=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$代入$\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$，得：
$\frac{2}{BD}=\frac{3}{5}$
解得 $BD=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。
答：$BD$的长为$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1)要证明$\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$，可结合已知的两组平行条件，分别利用平行线分线段成比例定理得到两个都与$\frac{CE}{AE}$相等的比例式，通过等量代换即可完成证明；(2)第(1)问已经得到了CD、BD、BF、AF的比例关系，直接将已知线段长度代入该比例式，解比例即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// AB$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AE}$。
∵ $EF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{BF}{AF}=\frac{CE}{AE}$。
∴ $\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$。
(2) 解：
将$AF=5\ \mathrm{cm}$，$FB=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$代入$\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}$，得：
$\frac{2}{BD}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得$3BD=10$，解得 $BD=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，解比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的关键是利用公共比例式作为桥梁，建立待证比例关系或待求线段与已知线段的联系，整体难度较低，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8

13.如图,在矩形ABCD中,P是BC边上一点,连接DP并延长,交AB的延长线于点Q.
(1)若$\frac{PB}{PC}=\frac{1}{3}$,求$\frac{AB}{AQ}$的值;
(2)若P为BC边上任一点,求证:$\frac{BC}{BP}-\frac{AB}{BQ}=1$.

解：(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB$，$CD// AB$，即 $CD// BQ$，
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{PB}{PC}=\frac{BQ}{CD}$，
∵ $\frac{PB}{PC}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{BQ}{CD}=\frac{1}{3}$，即 $BQ=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AQ=AB+BQ=AB+\frac{1}{3}AB=\frac{4}{3}AB$，
∴ $\frac{AB}{AQ}=\frac{AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{3}{4}$。
(2)证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB$，$CD// BQ$，
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{BQ}$，
∵ $PC=BC-BP$，$CD=AB$，代入得：
$\frac{BC-BP}{BP}=\frac{AB}{BQ}$，
将左边拆分得：$\frac{BC}{BP}-\frac{BP}{BP}=\frac{AB}{BQ}$，
即 $\frac{BC}{BP}-1=\frac{AB}{BQ}$，
移项可得：$\frac{BC}{BP}-\frac{AB}{BQ}=1$，原式得证。

【分析】
(1) 首先利用矩形对边平行且相等的性质，得到CD与AB相等且CD平行于BQ，结合平行线分线段成比例定理，由已知的$\frac{PB}{PC}$的比值推出BQ与CD（即AB）的比值，再将AQ表示为AB与BQ的和，代入即可求出$\frac{AB}{AQ}$的比值。
(2) 证明时同样先利用矩形性质得到平行线分线段成比例的关系，将PC替换为BC-BP，再对比例式左边的分式进行拆分，最后通过移项即可得到待证的等式。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB$，$CD// AB$，即 $CD// BQ$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{PB}{PC}=\frac{BQ}{CD}$，
已知 $\frac{PB}{PC}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{BQ}{CD}=\frac{1}{3}$，即 $BQ=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AQ=AB+BQ=AB+\frac{1}{3}AB=\frac{4}{3}AB$，
∴ $\frac{AB}{AQ}=\frac{AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{3}{4}$。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB$，$CD// BQ$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{BQ}$，
∵ $PC=BC-BP$，且$CD=AB$，代入上式得：
$\frac{BC-BP}{BP}=\frac{AB}{BQ}$，
将左边分式拆分可得：$\frac{BC}{BP}-\frac{BP}{BP}=\frac{AB}{BQ}$，
即 $\frac{BC}{BP}-1=\frac{AB}{BQ}$，
移项可得：$\frac{BC}{BP}-\frac{AB}{BQ}=1$，原式得证。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) 证明见解析
【知识点】
矩形的性质、平行线分线段成比例、比例式变形
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，重点考察对矩形性质和平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是找到平行关系得到对应线段的比例，再通过线段代换和分式变形求解或证明，有助于锻炼几何与代数结合的运算推导能力。
【难度系数】
0.7