例1 若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$AB:A'B'=\sqrt{2}:1$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为。
【思路导析】由相似比的定义求解。
【请你解答】。
知识点二 平行线分线段成比例定理

解：根据相似比的定义，相似三角形的相似比为两组对应边的比值。
∵△ABC∽△A'B'C'，且对应边$AB:A'B'=\sqrt{2}:1$，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\sqrt{2}:1$。

【分析】
解题时首先要明确相似三角形相似比的定义，相似比具有顺序性，指的是排在前面的相似三角形与排在后面的相似三角形的对应边的比值。本题已经给出两个三角形的相似顺序为$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，同时给出了对应边$AB$与$A'B'$的比值，直接结合定义就能得出所求相似比，解题时注意不要颠倒两个三角形的顺序即可。
【解析】
根据相似三角形相似比的定义，相似三角形的相似比为前者与后者对应边的比值。
已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，对应边$AB:A'B'=\sqrt{2}:1$，
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$\sqrt{2}:1$。
【答案】
$\sqrt{2}:1$
【知识点】
相似比的定义、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对相似比顺序性的理解，解题时要注意所求相似比对应的两个三角形的先后顺序，避免因颠倒顺序出现错误。
【难度系数】
0.9

例2 如图$AD// BE// CF$，则下列比例式中正确的个数有（）
①$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$；②$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$；③$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{DE}$；④$\frac{AB}{EF}=\frac{DE}{BC}$

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】抓住“对应线段”成比例分析.
【请你解答】.
知识点三 平行线分线段成比例定理的推论

B

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路为：首先明确三条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例，先确定两条被截直线上的对应线段：左侧被截线上的AB对应右侧的DE，BC对应EF，AC对应DF，再结合比例的基本性质对四个比例式逐一判断正误即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
已知$AD// BE// CF$，可得对应线段满足：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$。
对四个式子逐一判断：
①对$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$交叉变形，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，故①正确；
②由定理直接可得$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，故②正确；
③由②知$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}≠\frac{DF}{DE}$，故③错误；
④由①知$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，变形可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}≠\frac{AB}{EF}=\frac{DE}{BC}$，故④错误。
综上，正确的比例式为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例式变形
【点评】
本题核心考查对平行线分线段成比例定理中“对应线段”的理解，解题的易错点是混淆对应线段的关系，只要准确匹配左右两条被截直线上的对应线段，就能快速判断比例式的正误。
【难度系数】
0.7

例3 如图，$DE // BC$，若$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，那么$\frac{AE}{AC} =$.

【思路导析】AE与AD，AC与AB是对应
线段.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求线段的长

$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$

【分析】
观察图形可知，DE平行于△ABC的边BC，分别交AB、AC于D、E两点，符合平行线分线段成比例推论的使用条件。根据该推论，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，因此$\frac{AD}{AB}$与$\frac{AE}{AC}$相等，代入已知的$\frac{AD}{AB}$的比值即可求出$\frac{AE}{AC}$的结果。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例推论
【点评】
本题是平行线分线段成比例相关知识的基础应用，核心是识别出三角形中平行于一边的截线，利用对应线段成比例的性质即可快速求解，是对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.9

例4 如图，已知$ED// BC$，且$AB=5$，$AC=7$，$AD=2$.求$AE$的长.
【探究点拨】图形条件符合平行线分线段成比例定理的推论.
【规范解答】$\because ED// BC$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore AE=\dfrac{AD· AC}{AB}=\dfrac{2×7}{5}=\dfrac{14}{5}$.

解：
$\because ED// BC$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore AE=\dfrac{AD· AC}{AB}=\dfrac{2×7}{5}=\dfrac{14}{5}$。
答：$AE$的长为$\dfrac{14}{5}$。

【分析】
解题时先观察已知条件，已知$ED// BC$，直线$BD$、$CE$交于点$A$，符合平行线分线段成比例定理的推论特征。首先根据推论写出对应线段的比例关系，再将已知的$AB$、$AC$、$AD$的长度代入比例式，通过变形计算即可求出$AE$的长度。
【解析】
$\because ED// BC$，
$\therefore $ 根据平行线分线段成比例的推论可得$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，
对比例式变形得$AE=\dfrac{AD· AC}{AB}$，
将$AB=5$，$AC=7$，$AD=2$代入得：
$AE=\dfrac{2×7}{5}=\dfrac{14}{5}$。
【答案】
$\dfrac{14}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例相关的基础应用题，解题核心是准确识别“X”型结构下的对应成比例线段，牢记定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.85

1.如图,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,下列式子不正确的是()

A.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
B.$\frac{CF}{DE}=\frac{CE}{AE}$
C.$\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AE}$
D.$\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{EC}$

D

【分析】
首先根据已知的两组平行线DE//BC、EF//AB，可推出四边形BDEF是平行四边形，同时得到△ADE∽△ABC、△EFC∽△ABC，进而推出△ADE∽△EFC。接下来结合平行线分线段成比例定理、相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等的性质，逐个验证四个选项的比例式是否成立即可。
【解析】
解：
∵ DE//BC，EF//AB，
∴ 四边形BDEF是平行四边形，△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴ BD=EF，DE=BF，△ADE∽△EFC。
对各选项逐一判断：
A选项：由DE//BC，结合平行线分线段成比例或相似三角形性质可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，等式成立，不符合题意；
B选项：由△ADE∽△EFC，对应边成比例可得$\frac{CF}{DE}=\frac{CE}{AE}$，等式成立，不符合题意；
C选项：由△ADE∽△EFC，对应边成比例可得$\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AE}$，等式成立，不符合题意；
D选项：由DE//BC可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，DE与BD的比值和$\frac{AE}{EC}$没有必然相等的关系，等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于平行线分线段成比例的基础应用类题目，解题的关键是先根据平行线推导得出相似三角形和平行四边形，再结合对应性质逐一验证比例式，要注意区分相似三角形的对应边，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.7

2.如图，AD是$△ ABC$的中线，E是线段AD上的一点，且$AD=3AE$，连接CE并延长，交AB于点F.
(1)求$\frac{AE}{DE}$的值；
(2)若$AF=2\mathrm{cm}$，求AB的长.

解：
(1) ∵ $AD = 3AE$，且 $AD = AE + DE$，
∴ $3AE = AE + DE$，
∴ $DE = 2AE$，
∴ $\frac{AE}{DE}=\frac{AE}{2AE}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点$D$作$DG// CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG// CF$，在$△ AGD$中，由平行线分线段成比例得：
$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵ $AF=2\mathrm{cm}$，
∴ $FG = 2AF = 4\mathrm{cm}$。
∵ $AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $D$是$BC$中点，即$BD=DC$。
又∵ $DG// CF$，在$△ BCF$中，由平行线分线段成比例得：
$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，
∴ $BG = GF = 4\mathrm{cm}$。
∴ $AB = AF + FG + BG = 2 + 4 + 4 = 10\mathrm{cm}$。
答：$AB$的长为$10\mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 第一问可利用线段的和差关系求解：已知AD与AE的倍数关系，且AD可拆分为AE与DE的和，将AD=3AE代入线段和的等式中，通过代数变形就能直接得到AE和DE的比值。
(2) 第二问要求AB的长度，仅已知AF的长度，需构造辅助线转化比例关系：过D作DG平行于CF交AB于G，先在△AGD中利用平行线分线段成比例，结合第一问得到的AE和DE的比值，求出FG的长度；再结合AD是△ABC的中线，即D为BC中点，在△BCF中再次利用平行线分线段成比例，得到BG和FG的等量关系，最后将AF、FG、BG三段相加即可得到AB的总长。
【解析】
(1)
∵ $AD = 3AE$，且 $AD = AE + DE$，
∴ $3AE = AE + DE$，
移项得$DE = 2AE$，
∴ $\frac{AE}{DE}=\frac{AE}{2AE}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点$D$作$DG// CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG// CF$，在$△ AGD$中，由平行线分线段成比例得：
$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵ $AF=2\mathrm{cm}$，
∴ $FG = 2AF = 4\mathrm{cm}$。
∵ $AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $D$是$BC$中点，即$BD=DC$。
又
∵ $DG// CF$，在$△ BCF$中，由平行线分线段成比例得：
$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，
∴ $BG = GF = 4\mathrm{cm}$。
∴ $AB = AF + FG + BG = 2 + 4 + 4 = 10\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $10\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 三角形中线定义
3. 比例线段计算
【点评】
本题第一问较为基础，直接利用线段和差关系即可求解；第二问的核心是构造平行辅助线，将已知的线段比例关系转化到目标线段AB上，结合中线性质完成计算，能够有效考查学生的辅助线构造能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6