登录
9.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,求边x,y的长度和角α的大小.
答案
解：
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
∴ 两个四边形对应边成比例，对应角相等，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
由对应边成比例可得：
$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得 $x=12$，$y=\frac{33}{2}$。
由对应角相等可得：
$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，
根据四边形内角和为$360°$：
$α=360° - 62° -75° -140°=83°$。
综上，$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$。
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
∴ 两个四边形对应边成比例，对应角相等，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
由对应边成比例可得：
$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得 $x=12$，$y=\frac{33}{2}$。
由对应角相等可得：
$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，
根据四边形内角和为$360°$：
$α=360° - 62° -75° -140°=83°$。
综上，$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$。
解析
【分析】
首先明确本题考查相似四边形的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似多边形的性质：相似多边形对应边成比例、对应角相等；第二步，先找已知的对应边AD和A'D'，计算出两个四边形的相似比；第三步，根据相似比列出剩余未知边x、y对应的比例式，求解边长；第四步，利用对应角相等得到∠A'、∠B'的度数，再结合四边形内角和为360°，减去已知的三个角的度数，即可求出α的大小。
【解析】
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
∴ 两个四边形对应边成比例，对应角相等，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
由对应边成比例可得：
$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得 $x=12$，$y=\frac{33}{2}$。
由对应角相等可得：
$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，
根据四边形内角和为$360°$：
$α=360° - 62° -75° -140°=83°$。
【答案】
$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和定理，比例计算
【点评】
本题是相似图形的基础考题，解题核心是准确匹配相似多边形的对应边和对应角，避免因对应关系混淆出错，计算时结合内角和定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查相似四边形的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似多边形的性质：相似多边形对应边成比例、对应角相等；第二步，先找已知的对应边AD和A'D'，计算出两个四边形的相似比；第三步，根据相似比列出剩余未知边x、y对应的比例式，求解边长；第四步，利用对应角相等得到∠A'、∠B'的度数，再结合四边形内角和为360°，减去已知的三个角的度数，即可求出α的大小。
【解析】
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
∴ 两个四边形对应边成比例，对应角相等，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
由对应边成比例可得：
$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得 $x=12$，$y=\frac{33}{2}$。
由对应角相等可得：
$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，
根据四边形内角和为$360°$：
$α=360° - 62° -75° -140°=83°$。
【答案】
$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和定理，比例计算
【点评】
本题是相似图形的基础考题，解题核心是准确匹配相似多边形的对应边和对应角，避免因对应关系混淆出错，计算时结合内角和定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
10.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF//AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB＝6,且四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC长.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB＝6,且四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ FAE = ∠ AEB$。
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE = ∠ FAE$，
∴ $∠ BAE = ∠ AEB$，
∴ $AB = BE$。
又∵ $EF// AB$，$AD// BC$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形。
又∵ $AB = BE$，
∴ 平行四边形ABEF是菱形，
∴ BF平分$∠ ABC$。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABEF是菱形，
∴ $AB = BE = EF = 6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
又∵ $EF// AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ 四边形CEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD与四边形CEFD相似，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{EF}$，
又∵ $CE = BC - BE = BC - 6$，代入$AB=6$，$EF=6$得：
$\frac{6}{BC - 6} = \frac{BC}{6}$
整理得：$BC^2 - 6BC - 36 = 0$，
解得 $BC_1 = 3 + 3\sqrt{5}$，$BC_2 = 3 - 3\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
答：BC的长为$3+3\sqrt{5}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ FAE = ∠ AEB$。
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAE = ∠ FAE$，
∴ $∠ BAE = ∠ AEB$，
∴ $AB = BE$。
又∵ $EF// AB$，$AD// BC$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形。
又∵ $AB = BE$，
∴ 平行四边形ABEF是菱形，
∴ BF平分$∠ ABC$。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABEF是菱形，
∴ $AB = BE = EF = 6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
又∵ $EF// AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ 四边形CEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD与四边形CEFD相似，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{EF}$，
又∵ $CE = BC - BE = BC - 6$，代入$AB=6$，$EF=6$得：
$\frac{6}{BC - 6} = \frac{BC}{6}$
整理得：$BC^2 - 6BC - 36 = 0$，
解得 $BC_1 = 3 + 3\sqrt{5}$，$BC_2 = 3 - 3\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
答：BC的长为$3+3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证BF平分∠ABC，可通过证明四边形ABEF是菱形，利用菱形对角线平分内角的性质推导。首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质，结合AE平分∠BAD，可推出∠BAE=∠AEB，得到AB=BE；再由EF//AB、AD//BC，判定四边形ABEF是平行四边形，结合邻边AB=BE，即可证得ABEF是菱形，从而得到BF平分∠ABC的结论。
(2) 求BC的长可利用相似多边形对应边成比例列方程求解。首先由菱形性质得BE=AB=6，因此CE=BC-6；再判定四边形CEFD是平行四边形，结合两个四边形相似的条件，列出对应边的比例式，解一元二次方程后舍去负根即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠FAE = ∠AEB$。
∵ AE平分$∠BAD$，
∴ $∠BAE = ∠FAE$，
∴ $∠BAE = ∠AEB$，
∴ $AB = BE$。
又
∵ $EF// AB$，$AD// BC$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形。
又
∵ $AB = BE$，
∴ 平行四边形ABEF是菱形，
∴ BF平分$∠ABC$。
(2) 解：
∵ 四边形ABEF是菱形，
∴ $AB = BE = EF = 6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
又
∵ $EF// AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ 四边形CEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD与四边形CEFD相似，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{EF}$，
又
∵ $CE = BC - BE = BC - 6$，代入$AB=6$，$EF=6$得：
$\frac{6}{BC - 6} = \frac{BC}{6}$
整理得：$BC^2 - 6BC - 36 = 0$，
解得 $BC_1 = 3 + 3\sqrt{5}$，$BC_2 = 3 - 3\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
【答案】
(1) BF平分∠ABC得证；(2) $3+3\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和相似多边形的相关知识，第一问侧重对特殊四边形判定和性质的应用，第二问需要准确找到相似多边形的对应边列方程求解，解题时注意结合实际意义舍去不合题意的根。
【难度系数】
0.65
(1) 要证BF平分∠ABC，可通过证明四边形ABEF是菱形，利用菱形对角线平分内角的性质推导。首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质，结合AE平分∠BAD，可推出∠BAE=∠AEB，得到AB=BE；再由EF//AB、AD//BC，判定四边形ABEF是平行四边形，结合邻边AB=BE，即可证得ABEF是菱形，从而得到BF平分∠ABC的结论。
(2) 求BC的长可利用相似多边形对应边成比例列方程求解。首先由菱形性质得BE=AB=6，因此CE=BC-6；再判定四边形CEFD是平行四边形，结合两个四边形相似的条件，列出对应边的比例式，解一元二次方程后舍去负根即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠FAE = ∠AEB$。
∵ AE平分$∠BAD$，
∴ $∠BAE = ∠FAE$，
∴ $∠BAE = ∠AEB$，
∴ $AB = BE$。
又
∵ $EF// AB$，$AD// BC$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形。
又
∵ $AB = BE$，
∴ 平行四边形ABEF是菱形，
∴ BF平分$∠ABC$。
(2) 解：
∵ 四边形ABEF是菱形，
∴ $AB = BE = EF = 6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
又
∵ $EF// AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ 四边形CEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD与四边形CEFD相似，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{EF}$，
又
∵ $CE = BC - BE = BC - 6$，代入$AB=6$，$EF=6$得：
$\frac{6}{BC - 6} = \frac{BC}{6}$
整理得：$BC^2 - 6BC - 36 = 0$，
解得 $BC_1 = 3 + 3\sqrt{5}$，$BC_2 = 3 - 3\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
【答案】
(1) BF平分∠ABC得证；(2) $3+3\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和相似多边形的相关知识，第一问侧重对特殊四边形判定和性质的应用，第二问需要准确找到相似多边形的对应边列方程求解，解题时注意结合实际意义舍去不合题意的根。
【难度系数】
0.65
11.如图所示,若两个等腰直角三角形的腰长分别为4和6,请判断这两个等腰直角三角形是否相似.
答案
解：
在△DEF中，∠D=90°，DE=DF=4，
∴ ∠E=∠F=45°，由勾股定理得$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，
∴ ∠B=∠C=45°，由勾股定理得$BC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∴ ∠D=∠A=90°，∠E=∠B=45°，∠F=∠C=45°，
且 $\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$，
即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
∴ 这两个等腰直角三角形相似。
在△DEF中，∠D=90°，DE=DF=4，
∴ ∠E=∠F=45°，由勾股定理得$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，
∴ ∠B=∠C=45°，由勾股定理得$BC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∴ ∠D=∠A=90°，∠E=∠B=45°，∠F=∠C=45°，
且 $\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$，
即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
∴ 这两个等腰直角三角形相似。
解析
【分析】要判断两个三角形是否相似，需要验证两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。首先结合等腰直角三角形的性质可得到两个三角形的各内角度数，再利用勾股定理分别求出两个三角形的斜边长，最后计算三组对应边的比值，同时对比对应角的关系即可得出结论。
【解析】
在△DEF中，∠D=90°，DE=DF=4，
∴ ∠E=∠F=45°，由勾股定理得$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，
∴ ∠B=∠C=45°，由勾股定理得$BC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∴ ∠D=∠A=90°，∠E=∠B=45°，∠F=∠C=45°，
且 $\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$，
即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
∴ 这两个等腰直角三角形相似。
【答案】
这两个等腰直角三角形相似
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题时紧扣相似三角形的定义，结合等腰直角三角形的内角特征和勾股定理，分别验证对应角相等、对应边成比例即可解决问题。
【难度系数】
0.8
【解析】
在△DEF中，∠D=90°，DE=DF=4，
∴ ∠E=∠F=45°，由勾股定理得$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，
∴ ∠B=∠C=45°，由勾股定理得$BC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∴ ∠D=∠A=90°，∠E=∠B=45°，∠F=∠C=45°，
且 $\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$，
即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
∴ 这两个等腰直角三角形相似。
【答案】
这两个等腰直角三角形相似
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题时紧扣相似三角形的定义，结合等腰直角三角形的内角特征和勾股定理，分别验证对应角相等、对应边成比例即可解决问题。
【难度系数】
0.8
12.如图,要在长30 m、宽20 m的长方形地块中新建一个矩形花园.
(1)若花园的四周均为3 m的通道,那么花园与原长方形地块是否相似?
(2)如果左右通道宽相等,上下通道宽相等,那么左右通道宽与上下通道宽的比为何值时,花园与原长方形地块相似?
(1)若花园的四周均为3 m的通道,那么花园与原长方形地块是否相似?
(2)如果左右通道宽相等,上下通道宽相等,那么左右通道宽与上下通道宽的比为何值时,花园与原长方形地块相似?
答案
解：(1) 由题意得，花园的长为 $ 30 - 3×2 = 24\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ 20 - 3×2 = 14\ \mathrm{m} $。
原长方形地块长与花园长的比为 $ \frac{30}{24} = \frac{5}{4} $，原长方形地块宽与花园宽的比为 $ \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $。
因为 $ \frac{5}{4} ≠ \frac{10}{7} $，对应边不成比例，所以花园与原长方形地块不相似。
(2) 设左右通道宽为 $ x\ \mathrm{m} $，上下通道宽为 $ y\ \mathrm{m} $，则花园的长为 $ (30-2x)\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ (20-2y)\ \mathrm{m} $。
若花园与原长方形地块相似，则对应边成比例：
$\frac{30-2x}{30} = \frac{20-2y}{20}$
化简得：
$20(30-2x) = 30(20-2y)$
$600 - 40x = 600 - 60y$
整理得 $ 40x = 60y $，即 $ \frac{x}{y} = \frac{3}{2} $。
答：(1) 花园与原长方形地块不相似；(2) 左右通道宽与上下通道宽的比为 $ 3:2 $ 时，花园与原长方形地块相似。
原长方形地块长与花园长的比为 $ \frac{30}{24} = \frac{5}{4} $，原长方形地块宽与花园宽的比为 $ \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $。
因为 $ \frac{5}{4} ≠ \frac{10}{7} $，对应边不成比例，所以花园与原长方形地块不相似。
(2) 设左右通道宽为 $ x\ \mathrm{m} $，上下通道宽为 $ y\ \mathrm{m} $，则花园的长为 $ (30-2x)\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ (20-2y)\ \mathrm{m} $。
若花园与原长方形地块相似，则对应边成比例：
$\frac{30-2x}{30} = \frac{20-2y}{20}$
化简得：
$20(30-2x) = 30(20-2y)$
$600 - 40x = 600 - 60y$
整理得 $ 40x = 60y $，即 $ \frac{x}{y} = \frac{3}{2} $。
答：(1) 花园与原长方形地块不相似；(2) 左右通道宽与上下通道宽的比为 $ 3:2 $ 时，花园与原长方形地块相似。
解析
【分析】
本题考查相似多边形的判定，矩形的四个角均为直角，因此判定两个矩形是否相似只需验证对应边是否成比例即可。
(1) 先根据通道宽度计算出花园的长和宽，再分别计算原长方形与花园长的比、宽的比，比较两个比值是否相等，即可判断二者是否相似；
(2) 设左右通道宽为x、上下通道宽为y，先表示出花园的长和宽，再根据相似多边形对应边成比例列等式，化简后即可求出x与y的比值。
【解析】
(1) 由题意得，花园四周通道均为3m，因此花园的长为 $ 30 - 3×2 = 24\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ 20 - 3×2 = 14\ \mathrm{m} $。
原长方形地块长与花园长的比为 $ \frac{30}{24} = \frac{5}{4} $，原长方形地块宽与花园宽的比为 $ \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $。
因为 $ \frac{5}{4} ≠ \frac{10}{7} $，对应边不成比例，所以花园与原长方形地块不相似。
(2) 设左右通道宽为 $ x\ \mathrm{m} $，上下通道宽为 $ y\ \mathrm{m} $，则花园的长为 $ (30-2x)\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ (20-2y)\ \mathrm{m} $。
若花园与原长方形地块相似，则对应边成比例：
$\frac{30-2x}{30} = \frac{20-2y}{20}$
交叉相乘化简得：
$20(30-2x) = 30(20-2y)$
$600 - 40x = 600 - 60y$
整理得 $ 40x = 60y $，即 $ \frac{x}{y} = \frac{3}{2} $。
【答案】
(1) 花园与原长方形地块不相似；
(2) 左右通道宽与上下通道宽的比为 $ 3:2 $ 时，花园与原长方形地块相似。
【知识点】
相似多边形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，易错点是计算花园长宽时忽略通道分布在两侧，需要减去2倍的通道宽度，掌握相似的判定条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查相似多边形的判定，矩形的四个角均为直角，因此判定两个矩形是否相似只需验证对应边是否成比例即可。
(1) 先根据通道宽度计算出花园的长和宽，再分别计算原长方形与花园长的比、宽的比，比较两个比值是否相等，即可判断二者是否相似；
(2) 设左右通道宽为x、上下通道宽为y，先表示出花园的长和宽，再根据相似多边形对应边成比例列等式，化简后即可求出x与y的比值。
【解析】
(1) 由题意得，花园四周通道均为3m，因此花园的长为 $ 30 - 3×2 = 24\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ 20 - 3×2 = 14\ \mathrm{m} $。
原长方形地块长与花园长的比为 $ \frac{30}{24} = \frac{5}{4} $，原长方形地块宽与花园宽的比为 $ \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $。
因为 $ \frac{5}{4} ≠ \frac{10}{7} $，对应边不成比例，所以花园与原长方形地块不相似。
(2) 设左右通道宽为 $ x\ \mathrm{m} $，上下通道宽为 $ y\ \mathrm{m} $，则花园的长为 $ (30-2x)\ \mathrm{m} $，花园的宽为 $ (20-2y)\ \mathrm{m} $。
若花园与原长方形地块相似，则对应边成比例：
$\frac{30-2x}{30} = \frac{20-2y}{20}$
交叉相乘化简得：
$20(30-2x) = 30(20-2y)$
$600 - 40x = 600 - 60y$
整理得 $ 40x = 60y $，即 $ \frac{x}{y} = \frac{3}{2} $。
【答案】
(1) 花园与原长方形地块不相似；
(2) 左右通道宽与上下通道宽的比为 $ 3:2 $ 时，花园与原长方形地块相似。
【知识点】
相似多边形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，易错点是计算花园长宽时忽略通道分布在两侧，需要减去2倍的通道宽度，掌握相似的判定条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
