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1. 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，已知$AC=3$，$BC=4$。线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$是否成比例？并写出理由。
答案
解：线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
因此$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
计算得：
$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4},\quad \frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{3}{4}$
可得$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
因此$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
计算得：
$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4},\quad \frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{3}{4}$
可得$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例。
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，只需验证前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即判断$\frac{AD}{CD}$和$\frac{CD}{BD}$是否相等。解题时先在$Rt△ ABC$中用勾股定理算出斜边$AB$的长度，再利用三角形面积相等的方法求出斜边上的高$CD$，接着在$Rt△ ACD$中用勾股定理算出$AD$，再用$AB-AD$得到$BD$的长度，最后计算两个比值比较即可得出结论。
【解析】
线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
因此$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
计算比值：$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4}$，$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{3}{4}$
可得$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例。
【答案】
线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例，比例式为$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$。
【知识点】
成比例线段，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题考查成比例线段的判定，结合直角三角形的相关计算出题，解题的关键是熟练运用勾股定理和等面积法求出各线段长度，再通过比值验证得到结论，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断四条线段是否成比例，只需验证前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即判断$\frac{AD}{CD}$和$\frac{CD}{BD}$是否相等。解题时先在$Rt△ ABC$中用勾股定理算出斜边$AB$的长度，再利用三角形面积相等的方法求出斜边上的高$CD$，接着在$Rt△ ACD$中用勾股定理算出$AD$，再用$AB-AD$得到$BD$的长度，最后计算两个比值比较即可得出结论。
【解析】
线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
因此$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
计算比值：$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4}$，$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{3}{4}$
可得$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例。
【答案】
线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例，比例式为$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$。
【知识点】
成比例线段，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题考查成比例线段的判定，结合直角三角形的相关计算出题，解题的关键是熟练运用勾股定理和等面积法求出各线段长度，再通过比值验证得到结论，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，$DE // BC$，且$△ ADE$与$△ ABC$相似，试求两个三角形中未知边DE和AC的长。
答案
解：
由图可得：$AD=2$，$BD=4$，$AE=1.5$，$BC=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+4=6$。
$\because DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
将已知边长代入得：$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
由$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=2$；
由$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，解得$AC=4.5$。
答：$DE$的长为$2$，$AC$的长为$4.5$。
由图可得：$AD=2$，$BD=4$，$AE=1.5$，$BC=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+4=6$。
$\because DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
将已知边长代入得：$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
由$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=2$；
由$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，解得$AC=4.5$。
答：$DE$的长为$2$，$AC$的长为$4.5$。
解析
【分析】解题时先梳理已知边的长度，要计算未知边DE和AC，首先根据△ADE∽△ABC可知相似三角形对应边成比例，因此先求出AB的长度，再根据对应边的比例关系列比例式，分别求解两个未知边即可。
【解析】
由图可得：$AD=2$，$BD=4$，$AE=1.5$，$BC=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+4=6$。
$\because DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
将已知边长代入得：$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
由$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=2$；
由$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，交叉相乘得$2AC=1.5×6$，解得$AC=4.5$。
【答案】$DE$的长为$2$，$AC$的长为$4.5$
【知识点】相似三角形的性质；比例运算；线段和差计算
【点评】本题是相似三角形的基础应用题型，核心是掌握相似三角形对应边成比例的性质，解题时注意找准对应边，避免对应关系出错即可。
【难度系数】
0.85
【解析】
由图可得：$AD=2$，$BD=4$，$AE=1.5$，$BC=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+4=6$。
$\because DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
将已知边长代入得：$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
由$\frac{2}{6}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=2$；
由$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，交叉相乘得$2AC=1.5×6$，解得$AC=4.5$。
【答案】$DE$的长为$2$，$AC$的长为$4.5$
【知识点】相似三角形的性质；比例运算；线段和差计算
【点评】本题是相似三角形的基础应用题型，核心是掌握相似三角形对应边成比例的性质，解题时注意找准对应边，避免对应关系出错即可。
【难度系数】
0.85
1.如果A,B两地的实际距离是20 km，且A,B两地在地图上的距离是4 cm，那么实际距离是500 km的两地在地图上的距离是 cm.
答案
$\boldsymbol{100}$
解析
【分析】
这是一道比例尺应用类题目，解题核心是同一幅地图的比例尺固定，即图上距离与实际距离的比值恒定。解题可分两步思考：第一步先根据A、B两地已知的图上距离和实际距离，在单位统一的前提下计算出地图的比例尺；第二步利用比例尺的定义，结合所求两地的实际距离，算出对应图上距离即可，计算时要注意比例两边单位对应一致。
【解析】
解：方法一：统一单位计算
先进行单位换算：
$20\ \mathrm{km}=20×10^5\ \mathrm{cm}=2×10^6\ \mathrm{cm}$，$500\ \mathrm{km}=500×10^5\ \mathrm{cm}=5×10^7\ \mathrm{cm}$
计算该地图的比例尺：
$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}=\frac{4}{2×10^6}=\frac{1}{5×10^5}$
设所求图上距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据比例尺公式得：
$\frac{x}{5×10^7}=\frac{1}{5×10^5}$
解得$x=\frac{5×10^7}{5×10^5}=100$
方法二：利用正比例关系简化计算
同一幅地图中，图上距离与实际距离成正比例，设所求图上距离为$x\ \mathrm{cm}$，可得：
$\frac{4\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{km}}=\frac{x\ \mathrm{cm}}{500\ \mathrm{km}}$
约去对应单位后解得：$x=\frac{4×500}{20}=100$
【答案】
$100$
【知识点】
1. 比例尺的应用
2. 比例的性质
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对比例尺定义的理解，解题时要注意单位的对应统一，也可通过正比例关系规避复杂的单位换算，减少失误。
【难度系数】
0.8
这是一道比例尺应用类题目，解题核心是同一幅地图的比例尺固定，即图上距离与实际距离的比值恒定。解题可分两步思考：第一步先根据A、B两地已知的图上距离和实际距离，在单位统一的前提下计算出地图的比例尺；第二步利用比例尺的定义，结合所求两地的实际距离，算出对应图上距离即可，计算时要注意比例两边单位对应一致。
【解析】
解：方法一：统一单位计算
先进行单位换算：
$20\ \mathrm{km}=20×10^5\ \mathrm{cm}=2×10^6\ \mathrm{cm}$，$500\ \mathrm{km}=500×10^5\ \mathrm{cm}=5×10^7\ \mathrm{cm}$
计算该地图的比例尺：
$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}=\frac{4}{2×10^6}=\frac{1}{5×10^5}$
设所求图上距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据比例尺公式得：
$\frac{x}{5×10^7}=\frac{1}{5×10^5}$
解得$x=\frac{5×10^7}{5×10^5}=100$
方法二：利用正比例关系简化计算
同一幅地图中，图上距离与实际距离成正比例，设所求图上距离为$x\ \mathrm{cm}$，可得：
$\frac{4\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{km}}=\frac{x\ \mathrm{cm}}{500\ \mathrm{km}}$
约去对应单位后解得：$x=\frac{4×500}{20}=100$
【答案】
$100$
【知识点】
1. 比例尺的应用
2. 比例的性质
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对比例尺定义的理解，解题时要注意单位的对应统一，也可通过正比例关系规避复杂的单位换算，减少失误。
【难度系数】
0.8
2.矩形ABCD相似于矩形A'B'C'D'，且AB=6 cm，A'B'=4 cm，则矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的相似比为.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$（或3:2）
解析
【分析】
首先明确相似比的定义：相似多边形的相似比是指两个相似图形对应边的比值，且计算时要注意顺序，即题目中先提到的图形的对应边长度除以后提到的图形的对应边长度。本题要求矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的相似比，因此需用矩形ABCD的对应边AB的长度比矩形A'B'C'D'的对应边A'B'的长度，代入数值计算即可。
【解析】
根据相似多边形相似比的定义：两个相似多边形对应边的比叫做相似比，且相似比具有顺序性，为前一个图形与后一个图形的对应边的比值。
已知矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，AB与A'B'是一组对应边，AB=6cm，A'B'=4cm，
则矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的相似比为：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$（或3:2）。
【答案】
$\frac{3}{2}$（或3:2）
【知识点】
1. 相似比的定义
2. 相似多边形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似比的计算，易错点是容易忽略相似比的顺序，将两个图形的对应边前后颠倒导致结果错误，解题时需严格按照题目给出的两个图形的先后顺序计算对应边的比值。
【难度系数】
0.8
首先明确相似比的定义：相似多边形的相似比是指两个相似图形对应边的比值，且计算时要注意顺序，即题目中先提到的图形的对应边长度除以后提到的图形的对应边长度。本题要求矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的相似比，因此需用矩形ABCD的对应边AB的长度比矩形A'B'C'D'的对应边A'B'的长度，代入数值计算即可。
【解析】
根据相似多边形相似比的定义：两个相似多边形对应边的比叫做相似比，且相似比具有顺序性，为前一个图形与后一个图形的对应边的比值。
已知矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，AB与A'B'是一组对应边，AB=6cm，A'B'=4cm，
则矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的相似比为：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$（或3:2）。
【答案】
$\frac{3}{2}$（或3:2）
【知识点】
1. 相似比的定义
2. 相似多边形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似比的计算，易错点是容易忽略相似比的顺序，将两个图形的对应边前后颠倒导致结果错误，解题时需严格按照题目给出的两个图形的先后顺序计算对应边的比值。
【难度系数】
0.8
3. $△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，且$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$CA=8\ \mathrm{cm}$，若$△ A'B'C'$的最短边$A'B'=5\ \mathrm{cm}$，则$△ A'B'C'$的周长为。
答案
$\boldsymbol{22.5\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先要明确相似三角形的对应边关系：相似三角形的最短边对应最短边，由此先确定两个三角形的对应边，求出相似比。再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，先计算出原△ABC的周长，就可以快速求出△A'B'C'的周长，也可以通过相似比先求出△A'B'C'另外两条边的长度再相加求和，两种方法均可，前者计算更简便。
【解析】
步骤1：确定△ABC的最短边
已知△ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=6cm，CA=8cm，比较可得△ABC的最短边为AB=4cm。
步骤2：求相似比
因为△ABC与△A'B'C'相似，△A'B'C'的最短边为A'B'=5cm，所以AB与A'B'是对应边，相似比$k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{5}$。
步骤3：计算△ABC的周长
$C_{△ ABC}=AB+BC+CA=4+6+8=18\ \mathrm{cm}$
步骤4：利用相似三角形周长比等于相似比求解
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=k=\frac{4}{5}$
代入$C_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}$，可得：
$C_{△ A'B'C'}=18×\frac{5}{4}=22.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
$22.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 相似三角形对应边成比例
2. 相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到对应边确定相似比，注意不要混淆相似比的前后对应关系，熟练掌握相似三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确相似三角形的对应边关系：相似三角形的最短边对应最短边，由此先确定两个三角形的对应边，求出相似比。再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，先计算出原△ABC的周长，就可以快速求出△A'B'C'的周长，也可以通过相似比先求出△A'B'C'另外两条边的长度再相加求和，两种方法均可，前者计算更简便。
【解析】
步骤1：确定△ABC的最短边
已知△ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=6cm，CA=8cm，比较可得△ABC的最短边为AB=4cm。
步骤2：求相似比
因为△ABC与△A'B'C'相似，△A'B'C'的最短边为A'B'=5cm，所以AB与A'B'是对应边，相似比$k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{5}$。
步骤3：计算△ABC的周长
$C_{△ ABC}=AB+BC+CA=4+6+8=18\ \mathrm{cm}$
步骤4：利用相似三角形周长比等于相似比求解
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=k=\frac{4}{5}$
代入$C_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}$，可得：
$C_{△ A'B'C'}=18×\frac{5}{4}=22.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
$22.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 相似三角形对应边成比例
2. 相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到对应边确定相似比，注意不要混淆相似比的前后对应关系，熟练掌握相似三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知三条线段的长分别为1 cm,2 cm,$\sqrt{2}$ cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,那么另外一条线段的长为.
答案
解：设另外一条线段的长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据成比例线段的定义，分三种情况讨论：
1. 若$ 1:2 = \sqrt{2}:x $，解得$ x = 2\sqrt{2} $；
2. 若$ 1:2 = x:\sqrt{2} $，解得$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $；
3. 若$ 1:x = \sqrt{2}:2 $，解得$ x = \sqrt{2} $。
综上，另外一条线段的长为$ 2\sqrt{2} \, \mathrm{cm} $或$ \frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm} $或$ \sqrt{2} \, \mathrm{cm} $。
1. 若$ 1:2 = \sqrt{2}:x $，解得$ x = 2\sqrt{2} $；
2. 若$ 1:2 = x:\sqrt{2} $，解得$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $；
3. 若$ 1:x = \sqrt{2}:2 $，解得$ x = \sqrt{2} $。
综上，另外一条线段的长为$ 2\sqrt{2} \, \mathrm{cm} $或$ \frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm} $或$ \sqrt{2} \, \mathrm{cm} $。
解析
【分析】
解决本题首先要明确成比例线段的定义，由于题目没有指定四条线段的排列顺序，因此需要分情况讨论，将未知线段长x分别放入比例式的不同位置，再结合比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”求解x即可，注意不要遗漏任何一种情况避免漏解。
【解析】
设另外一条线段的长为$x \, \mathrm{cm}$，根据成比例线段的定义，分三种情况讨论：
1. 若$1:2 = \sqrt{2}:x$，根据比例的基本性质得$1× x=2×\sqrt{2}$，解得$x = 2\sqrt{2}$；
2. 若$1:2 = x:\sqrt{2}$，根据比例的基本性质得$2× x=1×\sqrt{2}$，解得$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
3. 若$1:x = \sqrt{2}:2$，根据比例的基本性质得$\sqrt{2}× x=1×2$，解得$x = \sqrt{2}$。
综上，另外一条线段的长为$2\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}$或$\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}$或$\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段未指定顺序的情况，仅考虑某一种比例排列导致漏解，解题时需全面分析所有可能的比例组合，熟练运用比例的基本性质求解未知量。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确成比例线段的定义，由于题目没有指定四条线段的排列顺序，因此需要分情况讨论，将未知线段长x分别放入比例式的不同位置，再结合比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”求解x即可，注意不要遗漏任何一种情况避免漏解。
【解析】
设另外一条线段的长为$x \, \mathrm{cm}$，根据成比例线段的定义，分三种情况讨论：
1. 若$1:2 = \sqrt{2}:x$，根据比例的基本性质得$1× x=2×\sqrt{2}$，解得$x = 2\sqrt{2}$；
2. 若$1:2 = x:\sqrt{2}$，根据比例的基本性质得$2× x=1×\sqrt{2}$，解得$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
3. 若$1:x = \sqrt{2}:2$，根据比例的基本性质得$\sqrt{2}× x=1×2$，解得$x = \sqrt{2}$。
综上，另外一条线段的长为$2\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}$或$\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}$或$\sqrt{2} \, \mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段未指定顺序的情况，仅考虑某一种比例排列导致漏解，解题时需全面分析所有可能的比例组合，熟练运用比例的基本性质求解未知量。
【难度系数】
0.6
5.下面四组线段中,不能成比例的是()
A. $a=3,b=6,c=2,d=4$
B. $a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{6},d=\sqrt{3}$
C. $a=4,b=6,c=5,d=10$
D. $a=2,b=\sqrt{5},c=\sqrt{15},d=2\sqrt{3}$
6.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0$,则$\frac{a+b}{c}$的值为()
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{5}{4}$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
A. $a=3,b=6,c=2,d=4$
B. $a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{6},d=\sqrt{3}$
C. $a=4,b=6,c=5,d=10$
D. $a=2,b=\sqrt{5},c=\sqrt{15},d=2\sqrt{3}$
6.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0$,则$\frac{a+b}{c}$的值为()
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{5}{4}$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
答案
解：
5. 判定四条线段是否成比例，将各组线段长度按从小到大排列，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积：
选项A：排序得2,3,4,6，$2×6=12$，$3×4=12$，满足$2×6=3×4$，四条线段成比例；
选项B：排序得$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，满足$1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$，四条线段成比例；
选项C：排序得4,5,6,10，$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，不存在任意两组线段乘积相等，四条线段不能成比例；
选项D：排序得$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，满足$2×\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$，四条线段成比例。
第5题答案为C。
6. 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k\ (k≠0)$，可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，
代入得：
$\frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}$
第6题答案为B。
5. 判定四条线段是否成比例，将各组线段长度按从小到大排列，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积：
选项A：排序得2,3,4,6，$2×6=12$，$3×4=12$，满足$2×6=3×4$，四条线段成比例；
选项B：排序得$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，满足$1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$，四条线段成比例；
选项C：排序得4,5,6,10，$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，不存在任意两组线段乘积相等，四条线段不能成比例；
选项D：排序得$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，满足$2×\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$，四条线段成比例。
第5题答案为C。
6. 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k\ (k≠0)$，可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，
代入得：
$\frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}$
第6题答案为B。
解析
【分析】
第5题：判断四条线段是否成比例时，可先将四条线段的长度按从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例，反之则不成比例，按这个方法逐一验证每个选项即可。
第6题：遇到连等的比例式且比值不为0时，常用“设k法”，即设比例的比值为非零常数k，用含k的代数式分别表示出各个未知数，再代入待求式化简，约去k后即可得到结果。
【解析】
5. 对每个选项逐一验证：
选项A：将线段长度排序为2,3,4,6，计算得$2×6=12$，$3×4=12$，满足$2×6=3×4$，故四条线段成比例；
选项B：将线段长度排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，计算得$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，满足$1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$，故四条线段成比例；
选项C：将线段长度排序为4,5,6,10，计算得$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，故四条线段不成比例；
选项D：将线段长度排序为$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算得$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，满足$2×\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$，故四条线段成比例。
6. 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k\ (k≠0)$，则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，代入待求式得：
$\frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}$
【答案】
5. C；6. B
【知识点】
成比例线段判定、比例的性质、代数式化简求值
【点评】
这两道题是比例相关的基础题型，考查的都是核心基础方法，成比例线段的判断技巧和“设k法”是解决这类问题的常用方法，熟练掌握后可以快速解题，也为后续学习相似相关知识打下基础。
【难度系数】
0.85
第5题：判断四条线段是否成比例时，可先将四条线段的长度按从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例，反之则不成比例，按这个方法逐一验证每个选项即可。
第6题：遇到连等的比例式且比值不为0时，常用“设k法”，即设比例的比值为非零常数k，用含k的代数式分别表示出各个未知数，再代入待求式化简，约去k后即可得到结果。
【解析】
5. 对每个选项逐一验证：
选项A：将线段长度排序为2,3,4,6，计算得$2×6=12$，$3×4=12$，满足$2×6=3×4$，故四条线段成比例；
选项B：将线段长度排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，计算得$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，满足$1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$，故四条线段成比例；
选项C：将线段长度排序为4,5,6,10，计算得$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，故四条线段不成比例；
选项D：将线段长度排序为$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算得$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，满足$2×\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$，故四条线段成比例。
6. 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k\ (k≠0)$，则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，代入待求式得：
$\frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}$
【答案】
5. C；6. B
【知识点】
成比例线段判定、比例的性质、代数式化简求值
【点评】
这两道题是比例相关的基础题型，考查的都是核心基础方法，成比例线段的判断技巧和“设k法”是解决这类问题的常用方法，熟练掌握后可以快速解题，也为后续学习相似相关知识打下基础。
【难度系数】
0.85
7. 如图,正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 相似.若 $AB:FG=2:3$,则下列结论正确的是()
A.$2DE=3MN$
B.$3DE=2MN$
C.$3∠A=2∠F$
D.$2∠A=3∠F$
第7题图 第8题图
A.$2DE=3MN$
B.$3DE=2MN$
C.$3∠A=2∠F$
D.$2∠A=3∠F$
第7题图 第8题图
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例。首先判断角的相关选项：两个正五边形相似，对应角必然相等，因此涉及角的倍数关系的选项可直接排除。再判断边的相关选项：正五边形各边相等，已知一组对应边的比为2:3，其余对应边的比也等于这个相似比，将比例式转化为等积式即可选出正确选项。
【解析】
∵正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，
∴相似多边形对应角相等，对应边成比例，即$∠ A=∠ F$，$\frac{AB}{FG}=\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$。
1. 判断角的选项：由$∠ A=∠ F$，可知C、D选项中角的倍数关系不成立，故C、D错误；
2. 判断边的选项：对$\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$交叉化简，得$3DE=2MN$，故A错误，B正确。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，比例的基本性质，正多边形的性质
【点评】
本题考查相似多边形性质的基础应用，解题的核心是抓住相似图形“对应角相等、对应边成比例”的特征，结合正多边形各边、各内角分别相等的特点，可快速排除错误选项，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例。首先判断角的相关选项：两个正五边形相似，对应角必然相等，因此涉及角的倍数关系的选项可直接排除。再判断边的相关选项：正五边形各边相等，已知一组对应边的比为2:3，其余对应边的比也等于这个相似比，将比例式转化为等积式即可选出正确选项。
【解析】
∵正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，
∴相似多边形对应角相等，对应边成比例，即$∠ A=∠ F$，$\frac{AB}{FG}=\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$。
1. 判断角的选项：由$∠ A=∠ F$，可知C、D选项中角的倍数关系不成立，故C、D错误；
2. 判断边的选项：对$\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$交叉化简，得$3DE=2MN$，故A错误，B正确。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，比例的基本性质，正多边形的性质
【点评】
本题考查相似多边形性质的基础应用，解题的核心是抓住相似图形“对应角相等、对应边成比例”的特征，结合正多边形各边、各内角分别相等的特点，可快速排除错误选项，难度较低。
【难度系数】
0.8
8.如图,矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形,如果矩形BEFG∽矩形ABCD,那么$\frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}$的值为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先利用中心对称图形的性质，得到图中各正方形边长的等量关系；接着设最小正方形的边长为参数，分别表示出矩形BEFG和矩形ABCD的长与宽；再结合相似多边形对应边成比例的性质，验证两个矩形的相似关系；最后根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可计算出面积的比值。
【解析】
解：设最小正方形的边长为$ a $，根据中心对称图形的性质可知：
图中5个正方形里，左上角2个、右下角2个正方形的边长均为$ a $，中间的小正方形边长也为$ a $。
由此可得矩形$ BEFG $的长为$ 2a $，宽为$ a $，面积$ S_{矩形BEFG}=2a · a=2a^2 $。
结合图形可知大矩形$ ABCD $的长为$ 5a $，宽为$ 2a $，面积$ S_{矩形ABCD}=5a · 2a=10a^2 $。
两个矩形的长宽比均为$ 2:1 $，对应边成比例，符合相似条件。
因此$ \frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{2a^2}{10a^2}=\frac{1}{5} $。
【答案】
D
【知识点】
1.中心对称图形的性质
2.相似多边形的性质
3.正方形的性质
【点评】
本题综合考查了中心对称和相似多边形的相关知识，解题的关键是通过观察图形，结合中心对称的性质梳理出各边的数量关系，再利用相似的性质求解，对图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先利用中心对称图形的性质，得到图中各正方形边长的等量关系；接着设最小正方形的边长为参数，分别表示出矩形BEFG和矩形ABCD的长与宽；再结合相似多边形对应边成比例的性质，验证两个矩形的相似关系；最后根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可计算出面积的比值。
【解析】
解：设最小正方形的边长为$ a $，根据中心对称图形的性质可知：
图中5个正方形里，左上角2个、右下角2个正方形的边长均为$ a $，中间的小正方形边长也为$ a $。
由此可得矩形$ BEFG $的长为$ 2a $，宽为$ a $，面积$ S_{矩形BEFG}=2a · a=2a^2 $。
结合图形可知大矩形$ ABCD $的长为$ 5a $，宽为$ 2a $，面积$ S_{矩形ABCD}=5a · 2a=10a^2 $。
两个矩形的长宽比均为$ 2:1 $，对应边成比例，符合相似条件。
因此$ \frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{2a^2}{10a^2}=\frac{1}{5} $。
【答案】
D
【知识点】
1.中心对称图形的性质
2.相似多边形的性质
3.正方形的性质
【点评】
本题综合考查了中心对称和相似多边形的相关知识，解题的关键是通过观察图形，结合中心对称的性质梳理出各边的数量关系，再利用相似的性质求解，对图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
