原题 1:如图,在$△ ABC$中,$AD$是高,$AE,BF$是角平分线,它们相交于点$O$,$∠ C=70°$。
(1)若$∠ ABC=60°$,求$∠ DAE$的度数。
(2)求$∠ AOB$的度数。

【解析】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和是$180°$是解题的关键。
(1)先根据$AD$是高,$∠ C=70°$得出$∠ DAC$的度数,再由$∠ ABC=60°$得出$∠ BAC$的度数,由$AE$是$∠ BAC$的平分线得出$∠ EAC$的度数,由$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC$即可求解。
(2)由$∠ C=70°$得出$∠ ABC+∠ BAC$的度数,再由$AE,BF$是角平分线可得出$∠ BAE+∠ ABF$的度数,由三角形内角和等于$180°$即可求解。
变式1:如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ BAC$。
(1)已知$∠ B=74°,∠ C=26°$,求$∠ DAE$的度数。
(2)已知$∠ B＞∠ C$,猜想$∠ DAE$与$∠ B$,$∠ C$之间的关系,并证明。

(1) 因为 AD 是高，∠C = 70°，所以∠DAC=90°−70°=20°，因为∠ABC=60°，所以∠BAC=180°−∠C−∠ABC=180°−70°−60°=50°，因为 AE 是∠BAC 的平分线，所以∠EAC=1/2∠BAC = 1/2 × 50° = 25°，所以∠DAE = ∠EAC−∠DAC=25°−20°=5°。
(2) 因为∠C=70°，所以∠ABC+∠BAC=180°−70°=110°，因为 AE，BF 是角平分线，所以∠BAE+∠ABF=1/2(∠BAC+∠ABC)=1/2×110°=55°，所以∠AOB = 180°−(∠BAE + ∠ABF)=125°。
变式1:
(1) 因为∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=74°，∠C=26°，所以∠BAC=180°−74°−26°=80°，因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=40°，又因为 AD⊥BC，所以∠ADC=90°，因为∠C=26°，所以∠CAD=90°−26°=64°，所以∠DAE=64°−40°=24°。
(2)∠DAE=1/2(∠B−∠C)，证明：因为∠BAC+∠B+∠C=180°，所以∠BAC=180°−∠B−∠C，因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE = ∠CAE = 1/2∠BAC=90°−1/2(∠B+∠C)，又因为 AD⊥BC，所以∠ADC=90°，所以∠CAD=90°−∠C，所以∠DAE=(90°−∠C)−[90°−1/2(∠B+∠C)]=1/2(∠B−∠C)。

【分析】
原题思路
(1) 首先利用三角形高的性质，直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；再通过三角形内角和定理算出∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠EAC的度数；最后根据角度差∠DAE=∠EAC-∠DAC计算结果。
(2) 先由三角形内角和求出∠ABC与∠BAC的度数和，再根据角平分线的性质得到∠BAE与∠ABF的度数和，最后在△AOB中利用内角和定理求出∠AOB的度数。
变式1思路
(1) 先通过三角形内角和算出∠BAC的度数，结合角平分线定义得到∠CAE的度数；再利用高的性质求出∠CAD的度数，最后通过角度差求出∠DAE的度数。
(2) 先将∠BAC用∠B、∠C表示，结合角平分线定义把∠CAE转化为含∠B、∠C的式子；再将∠CAD用∠C表示，最后将∠DAE表示为∠CAD与∠CAE的差，化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
原题
(1) 因为AD是高，所以∠ADC=90°，已知∠C=70°，所以∠DAC=90°−70°=20°。
已知∠ABC=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°−70°−60°=50°。
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50°=25°。
因此∠DAE = ∠EAC−∠DAC=25°−20°=5°。
(2) 根据三角形内角和为180°，已知∠C=70°，可得∠ABC+∠BAC=180°−70°=110°。
因为AE、BF是角平分线，所以∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，因此∠BAE+∠ABF=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=$\frac{1}{2}$×110°=55°。
在△AOB中，根据内角和180°，可得∠AOB=180°−(∠BAE+∠ABF)=180°−55°=125°。
变式1
(1) 根据三角形内角和为180°，已知∠B=74°，∠C=26°，可得∠BAC=180°−74°−26°=80°。
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°。
因为AD⊥BC，所以∠ADC=90°，可得∠CAD=90°−26°=64°。
因此∠DAE=∠CAD−∠CAE=64°−40°=24°。
(2) 猜想$\boldsymbol{∠DAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)}$，证明如下：
根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°−∠B−∠C。
因为AE平分∠BAC，所以∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)。
因为AD⊥BC，所以∠ADC=90°，可得∠CAD=90°−∠C。
因此∠DAE=∠CAD−∠CAE=$(90°−∠C)−[90°−\frac{1}{2}(∠B+∠C)]$，化简得：
$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$。
【答案】
原题：(1) $∠ DAE=5°$；(2) $∠ AOB=125°$
变式1：(1) $∠ DAE=24°$；(2) $∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题从特殊角度计算延伸到一般规律探究，综合考查三角形中角的运算能力，解题时只要结合已知条件逐步推导角度关系，熟练运用核心性质即可顺利求解，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

原题 2:如图，D 是△ABC 的内角∠ABC 和∠ACB 的平分线 BD 和 CD 的交点，若∠BDC=113°,则∠A=。

【解析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可。

46°

【分析】
解题思路如下：首先在△BDC中，利用三角形内角和为180°，结合已知∠BDC的度数，先求出∠DBC与∠DCB的和；再根据BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，得到∠ABC+∠ACB是∠DBC+∠DCB的2倍；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理，用180°减去∠ABC与∠ACB的和，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：在△BDC中，根据三角形内角和定理可得：
∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠BDC = 180° - 113° = 67°
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠ABC = 2∠DBC，∠ACB = 2∠DCB
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠DBC + ∠DCB) = 2×67° = 134°
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 134° = 46°
【答案】
46°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的经典基础题型，解题关键是抓住角平分线的倍分关系，两次运用三角形内角和定理逐步推导角度，熟练掌握基础定理和角平分线性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

变式2:如图,在$△ ABC$中,$∠ A=40°$,$∠ ABD=32°$,$BD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ BCD$的角平分线。求$∠ CED$的度数。
变式3:小东在学习中遇到这样一个问题:如图1,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,$BE$平分外角$∠ ABD$。猜想$∠ E$与$∠ A$的数量关系。
(1)小东阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路,于是尝试代入$∠ A$的值求$∠ E$的值。
①如果$∠ A=50°$,那么$∠ E$的度数为;如果$∠ A=130°$,那么$∠ E$的度数为;
②请猜想$∠ A$与$∠ E$的数量关系,并说明理由。
(2)小东继续探究,如图2,在四边形$ABCD$中,$CF$平分$∠ BCD$,且与四边形$ABCD$的外角$∠ ABE$的平分线$BF$交于点$F$。若$∠ A=80°$,$∠ D=130°$,则$∠ F$的度数为。
(3)小东又思考,改变$∠ BAD$,$∠ D$的大小,如图3,在四边形$ABCD$中,四边形的内角$∠ BCD$的平分线所在的直线与外角$∠ ABE$的平分线所在的直线相交于点$F$,若$∠ BAD=α$,$∠ D=β$,则$∠ F$可表示为。(请用含$α,β$的代数式表示)

变式2: 因为 BD 是△ABC 的角平分线，所以∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC。又因为∠ABD=32°，所以∠CBD=32°，∠ABC=64°。在△ABC 中，∠A=40°，且∠A+∠ABC+∠ACB=180°，则40°+64°+∠ACB=180°，所以∠ACB=76°。又因为 CE 是△BCD 的角平分线，所以∠BCE=1/2∠ACB=38°。又因为∠CED 是△BCE 的外角，所以∠CED=∠CBD+∠BCE=70°。
变式3:
(1)①25° 65° 【解析】因为∠ABD 是△ABC 的外角，所以∠ABD=∠A+∠ACB，所以∠ABD−∠ACB=∠A，因为 BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACB，所以∠ACE=∠ECB=1/2∠ACB，∠ABE=∠EBD=1/2∠ABD，所以∠E=∠EBD−∠ECB=1/2(∠ABD−∠ACB)=1/2∠A，当∠A=50°，得∠E=1/2×50°=25°，当∠A=130°得∠E=1/2×130°=65°。
②∠A=2∠E，理由如下：因为∠ABD 是△ABC 的外角，所以∠ABD = ∠A + ∠ACB，所以∠ABD−∠ACB=∠A，因为 BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACB，所以∠ACE=∠ECB=1/2∠ACB，∠ABE = ∠EBD = 1/2∠ABD，所以∠E = ∠EBD−∠ECB = 1/2（∠ABD − ∠ACB）=1/2∠A，所以∠A=2∠E。
(2)15° 【解析】因为∠ABC+∠BCD+∠D+∠A=360°，∠A=80°，∠D=130°，所以∠ABC+∠BCD=360°−80°−130°=150°，因为∠EBF 是△BCF 的外角，所以∠EBF=∠F+∠BCF，所以∠F=∠EBF−∠BCF，因为 BF 平分∠ABE，CF 平分∠DCB，所以∠DCF=∠FCB=1/2∠DCB，∠ABF=∠EBF = 1/2∠ABE，所以 ∠F = ∠EBF−∠BCF = 1/2∠ABE − 1/2∠DCB = 1/2(∠ABE−∠DCB) = 1/2(180°−∠ABC−∠DCB) = 90°−1/2(∠ABC+∠DCB) = 90°−1/2×150°=15°，所以∠F=15°。
(3)90°−1/2α−1/2β 【解析】 如图，延长 BC 到点 G，延长 AB，DC 交于点 H，所以 ∠BCD=∠HCG，∠ABE=∠HBG，因为 BF 平分∠ABE，CF 平分∠DCB，所以 BF 平分∠HBG，CF 平分∠HCG，由(1)得，∠BHC=2∠F，在△HAD 中，∠BAD=α，∠D=β，所以∠AHD=180°−(∠BAD+∠D)=180°−(α+β)，所以∠F=1/2∠AHD=1/2[180°−(α+β)]=90°−1/2α−1/2β。

【分析】
这组题围绕三角形、四边形中角的计算与规律探究展开，解题思路如下：
1. 变式2：先根据角平分线定义得到等分角的度数，再用三角形内角和求出∠ACB，结合角平分线得到∠BCE，最后利用三角形外角等于不相邻两内角和求出∠CED。
2. 变式3(1)：利用三角形外角性质，将∠E转化为两个等分角的差，推导得出∠E和∠A的数量关系，代入特殊值即可求解，再一般化证明结论。
3. 变式3(2)：先根据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的和，再结合角平分线定义，将∠F转化为两个等分角的差，代入化简即可得到结果。
4. 变式3(3)：通过作辅助线将四边形问题转化为三角形问题，利用(1)中得到的结论，结合三角形内角和即可推导出用α、β表示∠F的式子。
【解析】
变式2
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABD=32°，
∴∠CBD=32°，∠ABC=64°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，
∴40°+64°+∠ACB=180°，解得∠ACB=76°，
∵CE是△BCD的角平分线，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=38°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED=∠CBD+∠BCE=32°+38°=70°。
变式3
(1)① 已知∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠A+∠ACB，即∠ABD−∠ACB=∠A，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠E=∠EBD−∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABD−∠ACB)=$\frac{1}{2}$∠A，
当∠A=50°时，∠E=$\frac{1}{2}$×50°=25°；当∠A=130°时，∠E=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
② 猜想：∠A=2∠E，理由如下：
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD = ∠A + ∠ACB，即∠ABD−∠ACB=∠A，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠EBD = $\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠E = ∠EBD−∠ECB = $\frac{1}{2}$（∠ABD − ∠ACB）=$\frac{1}{2}$∠A，即∠A=2∠E。
(2) 在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD+∠D+∠A=360°，
∵∠A=80°，∠D=130°，
∴∠ABC+∠BCD=360°−80°−130°=150°，
∵∠EBF是△BCF的外角，
∴∠EBF=∠F+∠BCF，即∠F=∠EBF−∠BCF，
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCB，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠DCB，∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABE，
又
∵∠ABE=180°−∠ABC，
∴∠F = $\frac{1}{2}$∠ABE − $\frac{1}{2}$∠DCB = $\frac{1}{2}$(180°−∠ABC−∠DCB) = 90°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠DCB) = 90°−$\frac{1}{2}$×150°=15°。
(3) 如图，延长BC到点G，延长AB、DC交于点H，
∴∠BCD=∠HCG，∠ABE=∠HBG，
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCB，
∴BF平分∠HBG，CF平分∠HCG，
由(1)的结论可得∠BHC=2∠F，
在△HAD中，∠BAD=α，∠D=β，
∴∠AHD=180°−(∠BAD+∠D)=180°−(α+β)，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠AHD=$\frac{1}{2}$[180°−(α+β)]=90°−$\frac{1}{2}$α−$\frac{1}{2}$β。
【答案】
变式2：$\boldsymbol{70°}$
变式3：
(1)① $\boldsymbol{25°}$；$\boldsymbol{65°}$ ② $\boldsymbol{∠A=2∠E}$，理由见解析
(2) $\boldsymbol{15°}$
(3) $\boldsymbol{90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β}$
【知识点】
三角形内外角性质；角平分线的定义；多边形内角和
【点评】
这组题目由浅入深，从基础的三角形角度计算到规律探究，再拓展到四边形的角度推导，体现了特殊到一般、转化的数学思想。解题时要熟练运用角平分线的等分性质、三角形及多边形的内角和、外角性质，学会将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，迁移已得结论简化计算。
【难度系数】
0.6