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9. 已知：$DE ⊥ AO$ 于点 $E$，$BO ⊥ AO$，$∠ CFB = ∠ EDO$，证明：$CF // DO$。
答案
9.因为 $DE⊥AO,BO⊥AO$,所以$∠AED=∠AOB=90°$,所以 $DE// BO$,所以$∠EDO=∠BOD$。因为$∠EDO=∠CFB$,所以$∠BOD=∠CFB$,所以$CF// DO$。
解析
【分析】
要证明$CF // DO$，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来推导。首先观察已知的两个垂直关系，由垂直的定义可得到两个相等的直角，先判定$DE // BO$，再利用平行线的性质得到角的相等关系，结合已知的$∠ CFB = ∠ EDO$进行等量代换，就能得到判定$CF // DO$所需的角相等条件，逐步完成证明。
【解析】
证明：
$\because DE ⊥ AO$，$BO ⊥ AO$，
$\therefore ∠ AED = ∠ AOB = 90°$，
$\therefore DE // BO$，
$\therefore ∠ EDO = ∠ BOD$。
又$\because ∠ CFB = ∠ EDO$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ CFB$，
$\therefore CF // DO$。
【答案】
因为 $DE⊥AO,BO⊥AO$,所以$∠AED=∠AOB=90°$,所以 $DE// BO$,所以$∠EDO=∠BOD$。因为$∠EDO=∠CFB$,所以$∠BOD=∠CFB$,所以$CF// DO$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查平行线性质与判定的综合应用，解题时要注意区分平行线的性质和判定，结合已知条件逐步推导角的等量关系即可完成求证。
【难度系数】
0.7
要证明$CF // DO$，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来推导。首先观察已知的两个垂直关系，由垂直的定义可得到两个相等的直角，先判定$DE // BO$，再利用平行线的性质得到角的相等关系，结合已知的$∠ CFB = ∠ EDO$进行等量代换，就能得到判定$CF // DO$所需的角相等条件，逐步完成证明。
【解析】
证明：
$\because DE ⊥ AO$，$BO ⊥ AO$，
$\therefore ∠ AED = ∠ AOB = 90°$，
$\therefore DE // BO$，
$\therefore ∠ EDO = ∠ BOD$。
又$\because ∠ CFB = ∠ EDO$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ CFB$，
$\therefore CF // DO$。
【答案】
因为 $DE⊥AO,BO⊥AO$,所以$∠AED=∠AOB=90°$,所以 $DE// BO$,所以$∠EDO=∠BOD$。因为$∠EDO=∠CFB$,所以$∠BOD=∠CFB$,所以$CF// DO$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查平行线性质与判定的综合应用，解题时要注意区分平行线的性质和判定，结合已知条件逐步推导角的等量关系即可完成求证。
【难度系数】
0.7
10. 如图，直尺的一边经过三角尺$60°$的顶点，另一边与三角尺的两条直角边分别相交，则$∠1$与$∠2$的关系式一定成立的是（
A.$∠1+∠2=120°$
B.$∠2-∠1=120°$
C.$∠2-∠1=90°$
D.$∠1=\frac{1}{5}∠2$
B
）A.$∠1+∠2=120°$
B.$∠2-∠1=120°$
C.$∠2-∠1=90°$
D.$∠1=\frac{1}{5}∠2$
答案
10.B
解析
【分析】
首先观察图形特征：直尺的对边互相平行，三角尺含60°角和90°直角。解题时先利用平行线的性质得到∠2的等角，再结合直角三角形两锐角互余的性质，找到角之间的和差关系，进而推导∠1和∠2的关系式。思考步骤：1. 回忆平行线的性质，找到与∠2相等的同位角；2. 把得到的等角和∠1放入直角三角形的锐角关系中，通过角的拆分建立等式；3. 整理等式得到最终的关系。
【解析】
∵ 直尺的对边互相平行，
∴ ∠2与它的同位角相等，该同位角可拆分为三角尺的直角和小角∠4，即$∠ 2 = 90° + ∠ 4$，整理得$∠ 4 = ∠ 2 - 90°$。
观察三角尺的60°角，该角可拆分为∠1和小角∠5，即$60° = ∠ 1 + ∠ 5$，整理得$∠ 5 = 60° - ∠ 1$。
又
∵ 三角尺为直角三角形，两个锐角∠4和∠5的和为90°，
∴ $∠ 4 + ∠ 5 = 90°$，
将∠4、∠5的表达式代入得：
$(∠ 2 - 90°) + (60° - ∠ 1) = 90°$，
化简得：$∠ 2 - ∠ 1 - 30° = 90°$，
即$∠ 2 - ∠ 1 = 120°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与三角形性质的基础综合题，解题核心是结合图形找准角的拆分与等量关系，通过中间角建立两个未知角的联系，掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：直尺的对边互相平行，三角尺含60°角和90°直角。解题时先利用平行线的性质得到∠2的等角，再结合直角三角形两锐角互余的性质，找到角之间的和差关系，进而推导∠1和∠2的关系式。思考步骤：1. 回忆平行线的性质，找到与∠2相等的同位角；2. 把得到的等角和∠1放入直角三角形的锐角关系中，通过角的拆分建立等式；3. 整理等式得到最终的关系。
【解析】
∵ 直尺的对边互相平行，
∴ ∠2与它的同位角相等，该同位角可拆分为三角尺的直角和小角∠4，即$∠ 2 = 90° + ∠ 4$，整理得$∠ 4 = ∠ 2 - 90°$。
观察三角尺的60°角，该角可拆分为∠1和小角∠5，即$60° = ∠ 1 + ∠ 5$，整理得$∠ 5 = 60° - ∠ 1$。
又
∵ 三角尺为直角三角形，两个锐角∠4和∠5的和为90°，
∴ $∠ 4 + ∠ 5 = 90°$，
将∠4、∠5的表达式代入得：
$(∠ 2 - 90°) + (60° - ∠ 1) = 90°$，
化简得：$∠ 2 - ∠ 1 - 30° = 90°$，
即$∠ 2 - ∠ 1 = 120°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与三角形性质的基础综合题，解题核心是结合图形找准角的拆分与等量关系，通过中间角建立两个未知角的联系，掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠DEF=∠B，DE//BC。(1)求证：∠BDC=∠DFE。(2)若DE平分∠ADC，∠BDC=2∠B，求∠BDC的度数。
答案
11.(1)证明:因为 $DE// BC$,所以$∠B=∠ADE$。因为$∠DEF=∠B$,所以$∠ADE=∠DEF$,所以 $AD// EF$,所以$∠BDC=∠DFE$。
(2)因为 DE 平分$∠ADC$,所以$∠ADC=2∠ADE$。因为$∠ADE=∠B$,所以$∠ADC=2∠B$。因为$∠BDC=2∠B$,$∠BDC+∠ADC=180°$,所以$2∠B+2∠B=180°$,所以$∠B=45°$,所以$∠BDC=2∠B=90°$。
(2)因为 DE 平分$∠ADC$,所以$∠ADC=2∠ADE$。因为$∠ADE=∠B$,所以$∠ADC=2∠B$。因为$∠BDC=2∠B$,$∠BDC+∠ADC=180°$,所以$2∠B+2∠B=180°$,所以$∠B=45°$,所以$∠BDC=2∠B=90°$。
解析
【分析】
（1）要证明∠BDC=∠DFE，可通过证明AD//EF推导。首先由DE//BC，根据平行线的性质得∠B=∠ADE，结合已知∠DEF=∠B，等量代换得∠ADE=∠DEF，进而推出AD//EF，再利用平行线的性质即可得到∠BDC=∠DFE。
（2）要求∠BDC的度数，先根据角平分线的定义得∠ADC=2∠ADE，结合（1）中得到的∠ADE=∠B，可得∠ADC=2∠B；再根据∠BDC与∠ADC互为邻补角，和为180°，结合已知∠BDC=2∠B，代入即可列方程求出∠B的度数，进而计算出∠BDC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠B=∠ADE$（两直线平行，同位角相等），
∵ $∠DEF=∠B$，
∴ $∠ADE=∠DEF$（等量代换），
∴ $AD// EF$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠BDC=∠DFE$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：
∵ DE平分$∠ADC$，
∴ $∠ADC=2∠ADE$（角平分线的定义），
∵ $∠ADE=∠B$，
∴ $∠ADC=2∠B$，
∵ $∠BDC+∠ADC=180°$（邻补角互补），且$∠BDC=2∠B$，
∴ $2∠B+2∠B=180°$，
解得$∠B=45°$，
∴ $∠BDC=2∠B=2×45°=90°$。
【答案】
(1) ∠BDC=∠DFE得证；(2) $∠BDC=90°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于几何基础类题目，重点考查平行线的判定、性质的综合应用，解题时要注意利用已知条件逐步推导角的等量关系，第二问借助邻补角的和建立方程即可求解，是巩固逻辑推理能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠BDC=∠DFE，可通过证明AD//EF推导。首先由DE//BC，根据平行线的性质得∠B=∠ADE，结合已知∠DEF=∠B，等量代换得∠ADE=∠DEF，进而推出AD//EF，再利用平行线的性质即可得到∠BDC=∠DFE。
（2）要求∠BDC的度数，先根据角平分线的定义得∠ADC=2∠ADE，结合（1）中得到的∠ADE=∠B，可得∠ADC=2∠B；再根据∠BDC与∠ADC互为邻补角，和为180°，结合已知∠BDC=2∠B，代入即可列方程求出∠B的度数，进而计算出∠BDC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠B=∠ADE$（两直线平行，同位角相等），
∵ $∠DEF=∠B$，
∴ $∠ADE=∠DEF$（等量代换），
∴ $AD// EF$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠BDC=∠DFE$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：
∵ DE平分$∠ADC$，
∴ $∠ADC=2∠ADE$（角平分线的定义），
∵ $∠ADE=∠B$，
∴ $∠ADC=2∠B$，
∵ $∠BDC+∠ADC=180°$（邻补角互补），且$∠BDC=2∠B$，
∴ $2∠B+2∠B=180°$，
解得$∠B=45°$，
∴ $∠BDC=2∠B=2×45°=90°$。
【答案】
(1) ∠BDC=∠DFE得证；(2) $∠BDC=90°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于几何基础类题目，重点考查平行线的判定、性质的综合应用，解题时要注意利用已知条件逐步推导角的等量关系，第二问借助邻补角的和建立方程即可求解，是巩固逻辑推理能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
12. 命题“若 $ n $ 是自然数，则代数式 $(3n + 1)(3n + 2) + 1$ 的值是 3 的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明。
答案
12.命题是真命题。证明:$(3n+1)(3n+2)+1=9n^2+9n+2+1=9n^2+9n+3=3(3n^2+3n+1)$,由n是自然数可知$3n^2+3n+1$是自然数,则$3(3n^2+3n+1)$是 3 的倍数,即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是 3 的倍数。
解析
【分析】
要判断这个命题的真假，核心是验证当n为自然数时，给定代数式是否为3的倍数。判断一个数是否为3的倍数，只需看它能否写成3乘一个整数的形式。因此解题步骤应为：先利用多项式乘多项式法则展开代数式，合并同类项后尝试提取公因式3，再结合n是自然数的条件，判断提取3后剩余的部分是否为整数即可。
【解析】
解：该命题是真命题，证明如下：
先对代数式展开化简：
$\begin{aligned}(3n+1)(3n+2)+1&=9n^2+6n+3n+2+1\\&=9n^2+9n+3\\&=3(3n^2+3n+1)\end{aligned}$
∵n是自然数，
∴$3n^2+3n+1$也是自然数，
∴$3(3n^2+3n+1)$是3的倍数，即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是3的倍数。
【答案】
该命题是真命题。证明:$(3n+1)(3n+2)+1=9n^2+9n+2+1=9n^2+9n+3=3(3n^2+3n+1)$,由n是自然数可知$3n^2+3n+1$是自然数,则$3(3n^2+3n+1)$是 3 的倍数,即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是 3 的倍数。
【知识点】
整式的乘法运算；提取公因式法因式分解；命题真假判断
【点评】
本题重点考查整式运算和因式分解的应用，解决这类判断代数式是否为某个数的倍数的问题，通用方法是先化简代数式，再看化简结果中是否含有对应因数即可，解题的关键是正确展开多项式并提取公因式。
【难度系数】
0.8
要判断这个命题的真假，核心是验证当n为自然数时，给定代数式是否为3的倍数。判断一个数是否为3的倍数，只需看它能否写成3乘一个整数的形式。因此解题步骤应为：先利用多项式乘多项式法则展开代数式，合并同类项后尝试提取公因式3，再结合n是自然数的条件，判断提取3后剩余的部分是否为整数即可。
【解析】
解：该命题是真命题，证明如下：
先对代数式展开化简：
$\begin{aligned}(3n+1)(3n+2)+1&=9n^2+6n+3n+2+1\\&=9n^2+9n+3\\&=3(3n^2+3n+1)\end{aligned}$
∵n是自然数，
∴$3n^2+3n+1$也是自然数，
∴$3(3n^2+3n+1)$是3的倍数，即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是3的倍数。
【答案】
该命题是真命题。证明:$(3n+1)(3n+2)+1=9n^2+9n+2+1=9n^2+9n+3=3(3n^2+3n+1)$,由n是自然数可知$3n^2+3n+1$是自然数,则$3(3n^2+3n+1)$是 3 的倍数,即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是 3 的倍数。
【知识点】
整式的乘法运算；提取公因式法因式分解；命题真假判断
【点评】
本题重点考查整式运算和因式分解的应用，解决这类判断代数式是否为某个数的倍数的问题，通用方法是先化简代数式，再看化简结果中是否含有对应因数即可，解题的关键是正确展开多项式并提取公因式。
【难度系数】
0.8
13. 如图1，因为$CE// AB$，所以$∠ 1=∠ A$，$∠ 2=∠ B$，所以$∠ ACD=∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ B$。这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D$的度数。
答案
13.如图,过点 D 作 $DE// AB$ 交BC 于点 E,则$∠A+∠ADE=180°,∠B+∠BED=180°$。由题意,得$∠BED=180°-∠CED=180°-(180°-∠C-∠CDE)=∠C+∠CDE$,所以$∠A+∠B+∠C+∠CDA=(∠A+∠ADE)+(∠CDE+∠C)+∠B=180°+∠BED+∠B=180°+180°=360°$。
解析
【分析】
我们需要利用题目给出的“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一结论求解四边形内角和。首先按要求作辅助线：过点D作DE平行于AB交BC于点E，先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质得到两组互补的角，再结合给出的外角结论将∠BED转化为∠C与∠CDE的和，最后把四边形的四个内角拆分代换，即可求出四个角的总度数。
【解析】
解：过点$D$作 $DE// AB$ 交$BC$ 于点 $E$。
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A+∠ ADE=180°$，$∠ B+∠ BED=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
根据题中给出的结论，$∠ BED$是$△ CDE$的外角，因此$∠ BED=∠ C+∠ CDE$。
又$\because ∠ CDA=∠ ADE+∠ CDE$，
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C+∠ CDA$
$=(∠ A+∠ ADE)+(∠ CDE+∠ C)+∠ B$
$=180° + ∠ BED + ∠ B$
$=180° + 180°$
$=360°$。
【答案】
过点 D 作 $DE// AB$ 交BC 于点 E,则$∠A+∠ADE=180°,∠B+∠BED=180°$。由题意,得$∠BED=180°-∠CED=180°-(180°-∠C-∠CDE)=∠C+∠CDE$,所以$∠A+∠B+∠C+∠CDA=(∠A+∠ADE)+(∠CDE+∠C)+∠B=180°+∠BED+∠B=180°+180°=360°$。
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、四边形内角和
【点评】
本题属于知识迁移类题型，需要将题目给出的新结论灵活运用到四边形的角度计算中，通过作平行辅助线将陌生的四边形内角和问题转化为熟悉的平行线性质、三角形外角问题求解，解题的关键是准确作出符合要求的辅助线，理清角度之间的代换关系。
【难度系数】
0.7
我们需要利用题目给出的“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一结论求解四边形内角和。首先按要求作辅助线：过点D作DE平行于AB交BC于点E，先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质得到两组互补的角，再结合给出的外角结论将∠BED转化为∠C与∠CDE的和，最后把四边形的四个内角拆分代换，即可求出四个角的总度数。
【解析】
解：过点$D$作 $DE// AB$ 交$BC$ 于点 $E$。
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A+∠ ADE=180°$，$∠ B+∠ BED=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
根据题中给出的结论，$∠ BED$是$△ CDE$的外角，因此$∠ BED=∠ C+∠ CDE$。
又$\because ∠ CDA=∠ ADE+∠ CDE$，
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C+∠ CDA$
$=(∠ A+∠ ADE)+(∠ CDE+∠ C)+∠ B$
$=180° + ∠ BED + ∠ B$
$=180° + 180°$
$=360°$。
【答案】
过点 D 作 $DE// AB$ 交BC 于点 E,则$∠A+∠ADE=180°,∠B+∠BED=180°$。由题意,得$∠BED=180°-∠CED=180°-(180°-∠C-∠CDE)=∠C+∠CDE$,所以$∠A+∠B+∠C+∠CDA=(∠A+∠ADE)+(∠CDE+∠C)+∠B=180°+∠BED+∠B=180°+180°=360°$。
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、四边形内角和
【点评】
本题属于知识迁移类题型，需要将题目给出的新结论灵活运用到四边形的角度计算中，通过作平行辅助线将陌生的四边形内角和问题转化为熟悉的平行线性质、三角形外角问题求解，解题的关键是准确作出符合要求的辅助线，理清角度之间的代换关系。
【难度系数】
0.7
