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矩形的两边长分别为x,y.
（1）当周长为10时，y是x的函数吗？为什么？
（2）当面积为6时，y是x的函数吗？为什么？
（1）当周长为10时，y是x的函数吗？为什么？
（2）当面积为6时，y是x的函数吗？为什么？
答案
(1) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
(2) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
(2) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
解析
【分析】
要判断y是否为x的函数，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定的取值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时先分别结合矩形周长、面积公式推导出y与x的数量关系，再结合实际意义确定x的取值范围，最后验证是否符合函数定义即可。
【解析】
（1）当矩形周长为10时，根据矩形周长公式可得：$2(x+y)=10$，整理得$y=5-x$。
结合矩形边长为正数的实际意义，x的取值范围是$0＜x＜5$。在这个范围内，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。
（2）当矩形面积为6时，根据矩形面积公式可得：$xy=6$，整理得$y=\frac{6}{x}$。
结合矩形边长为正数的实际意义，x的取值范围是$x＞0$。在这个范围内，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。
【答案】
(1) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
(2) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
【知识点】
函数的概念；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查函数定义的应用，结合常见的矩形周长、面积公式设置问题，解题时需要抓住“唯一对应”这一函数的核心特征，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
要判断y是否为x的函数，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定的取值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时先分别结合矩形周长、面积公式推导出y与x的数量关系，再结合实际意义确定x的取值范围，最后验证是否符合函数定义即可。
【解析】
（1）当矩形周长为10时，根据矩形周长公式可得：$2(x+y)=10$，整理得$y=5-x$。
结合矩形边长为正数的实际意义，x的取值范围是$0＜x＜5$。在这个范围内，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。
（2）当矩形面积为6时，根据矩形面积公式可得：$xy=6$，整理得$y=\frac{6}{x}$。
结合矩形边长为正数的实际意义，x的取值范围是$x＞0$。在这个范围内，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。
【答案】
(1) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
(2) 是，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应
【知识点】
函数的概念；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查函数定义的应用，结合常见的矩形周长、面积公式设置问题，解题时需要抓住“唯一对应”这一函数的核心特征，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
例 已知$y$是$x$的反比例函数，并且当$x=2$时，$y=6$。
（1）写出$y$关于$x$的函数表达式；
（2）当$x=4$时，求$y$的值。
（1）写出$y$关于$x$的函数表达式；
（2）当$x=4$时，求$y$的值。
答案
（1）设$y=\frac{k}{x}$. 因为当$x=2$时，$y=6$,所以$6=\frac{k}{2}$. 解得$k=12$. 因此$y=\frac{12}{x}$
（2）把$x=4$代入$y=\frac{12}{x}$,得$y=\frac{12}{4}=3$
（2）把$x=4$代入$y=\frac{12}{x}$,得$y=\frac{12}{4}=3$
解析
【分析】
对于第（1）问，已知y是x的反比例函数，结合反比例函数的定义，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$），再将已知的x、y对应值代入解析式，即可求出未知系数k，进而得到完整的函数表达式；对于第（2）问，已经得到确定的函数关系式，直接将$x=4$代入解析式计算，就能得到对应的y值。
【解析】
（1）设y关于x的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
已知当$x=2$时，$y=6$，将其代入表达式得：
$6=\frac{k}{2}$
解得$k=12$，因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）把$x=4$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$y=\frac{12}{4}=3$
【答案】
（1）$y=\frac{12}{x}$；（2）$3$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；代入求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及已知自变量求对应函数值的基本运算，熟练掌握反比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
对于第（1）问，已知y是x的反比例函数，结合反比例函数的定义，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$），再将已知的x、y对应值代入解析式，即可求出未知系数k，进而得到完整的函数表达式；对于第（2）问，已经得到确定的函数关系式，直接将$x=4$代入解析式计算，就能得到对应的y值。
【解析】
（1）设y关于x的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
已知当$x=2$时，$y=6$，将其代入表达式得：
$6=\frac{k}{2}$
解得$k=12$，因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）把$x=4$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$y=\frac{12}{4}=3$
【答案】
（1）$y=\frac{12}{x}$；（2）$3$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；代入求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及已知自变量求对应函数值的基本运算，熟练掌握反比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
1. 京沪铁路全程为1 463 km，某列车的平均速度v km/h关于全程运行时间t h的函数表达式为
$v=\frac{1463}{t}$
。答案
$v=\frac{1463}{t}$
解析
【分析】
解答本题的核心是先明确行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间。已知全程路程是固定值1463km，要求速度v关于时间t的函数表达式，只需将路程公式变形，把v用含t的式子表示即可，同时要注意实际问题中时间t必须为正数。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知京沪铁路全程$s=1463\mathrm{km}$，代入公式可得：$1463=vt$。
将等式两边同时除以$t$（运行时间$t＞0$），变形得：$v=\frac{1463}{t}$。
【答案】
$v=\frac{1463}{t}$
【知识点】
反比例函数的概念；行程问题数量关系
【点评】
本题属于基础应用题，结合生活中的行程场景考查反比例函数表达式的列写，只要熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系，就能快速得出结果，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是先明确行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间。已知全程路程是固定值1463km，要求速度v关于时间t的函数表达式，只需将路程公式变形，把v用含t的式子表示即可，同时要注意实际问题中时间t必须为正数。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知京沪铁路全程$s=1463\mathrm{km}$，代入公式可得：$1463=vt$。
将等式两边同时除以$t$（运行时间$t＞0$），变形得：$v=\frac{1463}{t}$。
【答案】
$v=\frac{1463}{t}$
【知识点】
反比例函数的概念；行程问题数量关系
【点评】
本题属于基础应用题，结合生活中的行程场景考查反比例函数表达式的列写，只要熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系，就能快速得出结果，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
2. 某种灯泡的使用寿命为1500 h，它的可使用时间 y 天关于每天使用时间 x h 的函数表达式为
$y=\frac{1500}{x}$
。答案
$y=\frac{1500}{x}$
解析
【分析】
解题时首先确定题目中的不变量：灯泡的总使用寿命为1500h，再明确两个变量的数量关系：总使用时长=每天使用时长×可使用天数，根据该等量关系列出等式后，将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，即可得到所求函数表达式，注意x代表每天使用时间，取值需符合实际意义（x＞0）。
【解析】
根据题意，由“总使用时长 = 每天使用时长 × 可使用天数”可得等量关系：
$x · y = 1500$
由于每天使用时间x为正数（x＞0），将等式两边同时除以x，整理得：
$y = \frac{1500}{x}$
【答案】
$y=\frac{1500}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数关系式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题关键是抓住总使用寿命不变的核心条件，结合常见的数量关系推导表达式，难度较低，主要考查对基础数量关系的掌握和反比例函数形式的识别。
【难度系数】
0.9
解题时首先确定题目中的不变量：灯泡的总使用寿命为1500h，再明确两个变量的数量关系：总使用时长=每天使用时长×可使用天数，根据该等量关系列出等式后，将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，即可得到所求函数表达式，注意x代表每天使用时间，取值需符合实际意义（x＞0）。
【解析】
根据题意，由“总使用时长 = 每天使用时长 × 可使用天数”可得等量关系：
$x · y = 1500$
由于每天使用时间x为正数（x＞0），将等式两边同时除以x，整理得：
$y = \frac{1500}{x}$
【答案】
$y=\frac{1500}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数关系式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题关键是抓住总使用寿命不变的核心条件，结合常见的数量关系推导表达式，难度较低，主要考查对基础数量关系的掌握和反比例函数形式的识别。
【难度系数】
0.9
3. 已知反比例函数$y=-\dfrac{5}{3x}$，则自变量$x$的取值范围是
$x≠0$
。当$x=-10$时，$y=$$\frac{1}{6}$
；当$y=2\dfrac{1}{2}$时，$x=$$-\frac{2}{3}$
。答案
$x≠0,\frac{1}{6},-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：1. 求自变量取值范围：反比例函数的表达式为分式形式，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即可求出x的取值范围；2. 已知x求y：直接将给定的x值代入函数表达式，计算即可得到对应的y值；3. 已知y求x：将给定的y值代入函数表达式，解关于x的分式方程，即可求出对应的x值。
【解析】
1. 求自变量x的取值范围：
函数$y=-\dfrac{5}{3x}$是分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，即$3x≠0$，解得$x≠0$。
2. 当$x=-10$时，代入函数表达式：
$y=-\dfrac{5}{3×(-10)}=-\dfrac{5}{-30}=\dfrac{1}{6}$。
3. 当$y=2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$时，代入函数表达式得：
$\dfrac{5}{2}=-\dfrac{5}{3x}$
交叉相乘得：$5×3x = 2×(-5)$
即$15x=-10$，解得$x=-\dfrac{10}{15}=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$x≠0$；$\dfrac{1}{6}$；$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的概念；分式有意义的条件；函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数自变量取值范围的确定以及代入求值的运算，计算时注意符号的处理，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题思路分为三步：1. 求自变量取值范围：反比例函数的表达式为分式形式，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即可求出x的取值范围；2. 已知x求y：直接将给定的x值代入函数表达式，计算即可得到对应的y值；3. 已知y求x：将给定的y值代入函数表达式，解关于x的分式方程，即可求出对应的x值。
【解析】
1. 求自变量x的取值范围：
函数$y=-\dfrac{5}{3x}$是分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，即$3x≠0$，解得$x≠0$。
2. 当$x=-10$时，代入函数表达式：
$y=-\dfrac{5}{3×(-10)}=-\dfrac{5}{-30}=\dfrac{1}{6}$。
3. 当$y=2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$时，代入函数表达式得：
$\dfrac{5}{2}=-\dfrac{5}{3x}$
交叉相乘得：$5×3x = 2×(-5)$
即$15x=-10$，解得$x=-\dfrac{10}{15}=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$x≠0$；$\dfrac{1}{6}$；$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的概念；分式有意义的条件；函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数自变量取值范围的确定以及代入求值的运算，计算时注意符号的处理，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
4. 下列函数表达式中的 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数吗？如果是，把它写成 $ y=\frac{k}{x} $ 的形式，并指出 $ k $ 的值。
(1) $ y=\frac{1}{2x} $;
(2) $ xy=4 $;
(3) $ y=2x^{-1} $;
(4) $ y=\frac{x}{3} $;
(5) $ y=\frac{m}{x} $（$ m $ 为常数）;
(6) $ x=\frac{-2}{y} $.
(1) $ y=\frac{1}{2x} $;
(2) $ xy=4 $;
(3) $ y=2x^{-1} $;
(4) $ y=\frac{x}{3} $;
(5) $ y=\frac{m}{x} $（$ m $ 为常数）;
(6) $ x=\frac{-2}{y} $.
答案
(1) 是，$y=\frac{\frac{1}{2}}{x},k=\frac{1}{2}$
(2) 是，$y=\frac{4}{x},k=4$
(3) 是，$y=\frac{2}{x},k=2$
(4) 不是
(5) $m=0$时，不是；$m≠0$时，是，$k=m$
(6) 是，$y=\frac{-2}{x},k=-2$
(2) 是，$y=\frac{4}{x},k=4$
(3) 是，$y=\frac{2}{x},k=2$
(4) 不是
(5) $m=0$时，不是；$m≠0$时，是，$k=m$
(6) 是，$y=\frac{-2}{x},k=-2$
解析
【分析】
解题前首先明确反比例函数的判定标准：1. 函数可化为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，也可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的等价形式；2. 自变量$x$的取值范围是$x≠0$，比例系数$k$不能为0。解题时逐个对6个表达式进行判断：先将表达式尽可能转化为$y$关于$x$的标准形式，再对照判定标准验证，含参数的表达式要分参数是否为0的情况讨论，符合要求的提取对应的$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，等价形式还有$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$），据此逐一判断：
(1) $y=\frac{1}{2x}$可整理为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数标准形式，比例系数$k=\frac{1}{2}≠0$，因此是反比例函数；
(2) 对$xy=4$，两边同时除以非零的$x$，可得$y=\frac{4}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=4$，因此是反比例函数；
(3) 根据负整数指数幂的规则，$x^{-1}=\frac{1}{x}$，因此$y=2x^{-1}$可化为$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=2≠0$，因此是反比例函数；
(4) $y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数；
(5) 对于$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数）：当$m=0$时，$y=0$是常数函数，不符合比例系数不为0的要求，不是反比例函数；当$m≠0$时，符合反比例函数标准形式，比例系数$k=m$，是反比例函数；
(6) 对$x=\frac{-2}{y}$，两边同时乘非零的$y$得$xy=-2$，再两边除以非零的$x$可得$y=\frac{-2}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=-2$，因此是反比例函数。
【答案】
(1) 是，$y=\frac{\frac{1}{2}}{x},k=\frac{1}{2}$
(2) 是，$y=\frac{4}{x},k=4$
(3) 是，$y=\frac{2}{x},k=2$
(4) 不是
(5) $m=0$时，不是；$m≠0$时，是，$k=m$
(6) 是，$y=\frac{-2}{x},k=-2$
【知识点】
反比例函数的定义、负整数指数幂、分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查反比例函数的概念和常见变形，易错点是忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，以及含参数问题未分类讨论，熟练掌握三种常见的反比例函数表达形式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确反比例函数的判定标准：1. 函数可化为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，也可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的等价形式；2. 自变量$x$的取值范围是$x≠0$，比例系数$k$不能为0。解题时逐个对6个表达式进行判断：先将表达式尽可能转化为$y$关于$x$的标准形式，再对照判定标准验证，含参数的表达式要分参数是否为0的情况讨论，符合要求的提取对应的$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，等价形式还有$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$），据此逐一判断：
(1) $y=\frac{1}{2x}$可整理为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数标准形式，比例系数$k=\frac{1}{2}≠0$，因此是反比例函数；
(2) 对$xy=4$，两边同时除以非零的$x$，可得$y=\frac{4}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=4$，因此是反比例函数；
(3) 根据负整数指数幂的规则，$x^{-1}=\frac{1}{x}$，因此$y=2x^{-1}$可化为$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=2≠0$，因此是反比例函数；
(4) $y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数；
(5) 对于$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数）：当$m=0$时，$y=0$是常数函数，不符合比例系数不为0的要求，不是反比例函数；当$m≠0$时，符合反比例函数标准形式，比例系数$k=m$，是反比例函数；
(6) 对$x=\frac{-2}{y}$，两边同时乘非零的$y$得$xy=-2$，再两边除以非零的$x$可得$y=\frac{-2}{x}$，符合反比例函数形式，比例系数$k=-2$，因此是反比例函数。
【答案】
(1) 是，$y=\frac{\frac{1}{2}}{x},k=\frac{1}{2}$
(2) 是，$y=\frac{4}{x},k=4$
(3) 是，$y=\frac{2}{x},k=2$
(4) 不是
(5) $m=0$时，不是；$m≠0$时，是，$k=m$
(6) 是，$y=\frac{-2}{x},k=-2$
【知识点】
反比例函数的定义、负整数指数幂、分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查反比例函数的概念和常见变形，易错点是忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，以及含参数问题未分类讨论，熟练掌握三种常见的反比例函数表达形式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
