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5. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，并且当 $ x=0.3 $ 时，$ y=-6 $。
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
（2）当 $ y=0.6 $ 时，求 $ x $ 的值。
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
（2）当 $ y=0.6 $ 时，求 $ x $ 的值。
答案
(1) $y=\frac{-1.8}{x},x≠0$
(2) $-3$
(2) $-3$
解析
【分析】
（1）首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），我们可以先设出该形式的函数表达式，再把已知的$x=0.3$、$y=-6$代入表达式，即可求出未知常数$k$，进而得到函数表达式；又因为表达式中$x$位于分母位置，分母不能为0，因此可直接确定自变量$x$的取值范围。
（2）第二问只需将$y=0.6$代入第一问求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，
将$x=0.3$，$y=-6$代入上式得：$-6=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=-6×0.3=-1.8$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{-1.8}{x}$；
根据分式有意义的条件，分母不为0，可得自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
（2）将$y=0.6$代入$y=\frac{-1.8}{x}$得：$0.6=\frac{-1.8}{x}$，
解方程得$x=\frac{-1.8}{0.6}=-3$。
【答案】
（1）$y=\frac{-1.8}{x}$，$x≠0$；（2）$-3$
【知识点】
反比例函数概念，待定系数法，函数代值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的理解和待定系数法的运用，计算难度较低，掌握基础概念和简单解方程能力即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），我们可以先设出该形式的函数表达式，再把已知的$x=0.3$、$y=-6$代入表达式，即可求出未知常数$k$，进而得到函数表达式；又因为表达式中$x$位于分母位置，分母不能为0，因此可直接确定自变量$x$的取值范围。
（2）第二问只需将$y=0.6$代入第一问求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，
将$x=0.3$，$y=-6$代入上式得：$-6=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=-6×0.3=-1.8$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{-1.8}{x}$；
根据分式有意义的条件，分母不为0，可得自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
（2）将$y=0.6$代入$y=\frac{-1.8}{x}$得：$0.6=\frac{-1.8}{x}$，
解方程得$x=\frac{-1.8}{0.6}=-3$。
【答案】
（1）$y=\frac{-1.8}{x}$，$x≠0$；（2）$-3$
【知识点】
反比例函数概念，待定系数法，函数代值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的理解和待定系数法的运用，计算难度较低，掌握基础概念和简单解方程能力即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
6. 已知面积为$10\ \mathrm{cm}^2$的三角形的一条边是$a\ \mathrm{cm}$，这条边上的高是$h\ \mathrm{cm}$.
（1）求$h$关于$a$的函数表达式，并写出自变量$a$的取值范围；
（2）当$a=2.5$时，求这条边上的高.
（1）求$h$关于$a$的函数表达式，并写出自变量$a$的取值范围；
（2）当$a=2.5$时，求这条边上的高.
答案
(1) $h=\frac{20}{a},a＞0$
(2) $8\ \mathrm{cm}$
(2) $8\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题思路：（1）首先回忆三角形面积公式，将已知的面积、底边长a、对应高h代入公式，通过等式变形推导出h关于a的表达式，再结合边长为正数的实际意义，确定自变量a的取值范围。（2）第二问属于函数求值类问题，直接将给定的a值代入第一问得到的函数表达式中计算，就能求出对应高的数值。
【解析】
（1）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S=10\ \mathrm{cm}^2$，底为$a\ \mathrm{cm}$，对应高为$h\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\displaystyle 10=\frac{1}{2}ah$
等式两边同时乘2，可得$20=ah$，变形后得$\displaystyle h=\frac{20}{a}$。
因为a是三角形的边长，长度一定为正数，因此自变量a的取值范围是$a＞0$。
（2）当$a=2.5$时，将其代入$\displaystyle h=\frac{20}{a}$中计算：
$\displaystyle h=\frac{20}{2.5}=8$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{a},a＞0$
(2) $8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积公式、反比例函数表达式、函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题，结合几何面积公式考查反比例函数的基础应用，掌握基础公式和代入求值方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题思路：（1）首先回忆三角形面积公式，将已知的面积、底边长a、对应高h代入公式，通过等式变形推导出h关于a的表达式，再结合边长为正数的实际意义，确定自变量a的取值范围。（2）第二问属于函数求值类问题，直接将给定的a值代入第一问得到的函数表达式中计算，就能求出对应高的数值。
【解析】
（1）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S=10\ \mathrm{cm}^2$，底为$a\ \mathrm{cm}$，对应高为$h\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\displaystyle 10=\frac{1}{2}ah$
等式两边同时乘2，可得$20=ah$，变形后得$\displaystyle h=\frac{20}{a}$。
因为a是三角形的边长，长度一定为正数，因此自变量a的取值范围是$a＞0$。
（2）当$a=2.5$时，将其代入$\displaystyle h=\frac{20}{a}$中计算：
$\displaystyle h=\frac{20}{2.5}=8$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{a},a＞0$
(2) $8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积公式、反比例函数表达式、函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题，结合几何面积公式考查反比例函数的基础应用，掌握基础公式和代入求值方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知 $y$ 是关于 $x$ 的反比例函数，$x_1,y_1$ 和 $x_2,y_2$ 是自变量与函数的两组对应值. 下列表达式中,哪些成立?哪些不成立?你是怎样判断的?
(1) $x_1 y_1 = x_2 y_2$；
(2) $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$；
(3) $\dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2}$；
(4) $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$。
(1) $x_1 y_1 = x_2 y_2$；
(2) $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$；
(3) $\dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2}$；
(4) $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$。
答案
(1)(4)成立，(2)(3)不成立，判断依据略
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住反比例函数的本质特征：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）中，任意一组自变量$x$和对应函数值$y$的乘积恒等于定值$k$。解题时先根据定义得到$x_1y_1=x_2y_2=k$，再通过等式变形逐一验证4个表达式是否成立，也可以通过举反例验证不成立的表达式。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$xy=k$。
1. 判断(1)：
因为$x_1,y_1$和$x_2,y_2$是函数的两组对应值，所以$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$，因此$x_1y_1=x_2y_2$，故(1)成立。
2. 判断(4)：
对$x_1y_1=x_2y_2$两边同时除以$x_2y_1$（反比例函数自变量、函数值均不为0，因此$x_2≠0,y_1≠0$，除法有意义），可得$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$，故(4)成立。
3. 判断(2)：
将$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$交叉相乘得$x_1y_2=x_2y_1$，与$x_1y_1=x_2y_2$不符。举例验证：取反比例函数$y=\frac{2}{x}$，取$x_1=1,y_1=2$，$x_2=2,y_2=1$，代入得$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{2}$，$\frac{y_1}{y_2}=2$，二者不相等，故(2)不成立。
4. 判断(3)：
将$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$交叉相乘得$x_1y_2=x_2y_1$，同样与$x_1y_1=x_2y_2$不符。代入上述例子得$\frac{x_1}{y_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{x_2}{y_2}=2$，二者不相等，故(3)不成立。
【答案】
(1)(4)成立，(2)(3)不成立
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题侧重考查对反比例函数核心特征的理解，只要掌握反比例函数中自变量与对应函数值乘积为定值的特点，结合简单的等式变形即可快速判断，是巩固反比例函数概念的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住反比例函数的本质特征：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）中，任意一组自变量$x$和对应函数值$y$的乘积恒等于定值$k$。解题时先根据定义得到$x_1y_1=x_2y_2=k$，再通过等式变形逐一验证4个表达式是否成立，也可以通过举反例验证不成立的表达式。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$xy=k$。
1. 判断(1)：
因为$x_1,y_1$和$x_2,y_2$是函数的两组对应值，所以$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$，因此$x_1y_1=x_2y_2$，故(1)成立。
2. 判断(4)：
对$x_1y_1=x_2y_2$两边同时除以$x_2y_1$（反比例函数自变量、函数值均不为0，因此$x_2≠0,y_1≠0$，除法有意义），可得$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$，故(4)成立。
3. 判断(2)：
将$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$交叉相乘得$x_1y_2=x_2y_1$，与$x_1y_1=x_2y_2$不符。举例验证：取反比例函数$y=\frac{2}{x}$，取$x_1=1,y_1=2$，$x_2=2,y_2=1$，代入得$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{2}$，$\frac{y_1}{y_2}=2$，二者不相等，故(2)不成立。
4. 判断(3)：
将$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$交叉相乘得$x_1y_2=x_2y_1$，同样与$x_1y_1=x_2y_2$不符。代入上述例子得$\frac{x_1}{y_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{x_2}{y_2}=2$，二者不相等，故(3)不成立。
【答案】
(1)(4)成立，(2)(3)不成立
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题侧重考查对反比例函数核心特征的理解，只要掌握反比例函数中自变量与对应函数值乘积为定值的特点，结合简单的等式变形即可快速判断，是巩固反比例函数概念的基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当自变量$x$变为原来的$\frac{1}{n}$（$n$为正整数，且$n≥2$）时，函数$y$将怎样变化？请说明理由。
答案
函数$y$变为原来的$n$倍，理由略
解析
【分析】
解决这道题我们可以按照四步思路推导：第一步先设出原来的自变量和对应函数值，第二步根据反比例函数解析式写出原函数值的表达式，第三步把变化后的自变量代入解析式求出新的函数值，第四步对比新、旧函数值的关系就能得到y的变化规律。核心是利用反比例函数的解析式，代入变化后的量计算对比即可。
【解析】
解：设原来的自变量为$x$，对应的函数值为$y_1$，
由反比例函数$y=\frac{k}{x}$可得：$y_1=\frac{k}{x}$。
当自变量$x$变为原来的$\frac{1}{n}$时，新的自变量$x'=\frac{1}{n}x$，
将$x'$代入反比例函数解析式，计算新的函数值：
$y'=\frac{k}{x'}=\frac{k}{\frac{1}{n}x}=n·\frac{k}{x}$，
结合$y_1=\frac{k}{x}$，可得$y'=n y_1$。
【答案】
函数$y$变为原来的$n$倍
【知识点】
反比例函数的概念；分式化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对反比例函数解析式的应用，只需代入变化后的自变量计算函数值，就能推导得到函数的变化规律，掌握反比例函数的基本形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以按照四步思路推导：第一步先设出原来的自变量和对应函数值，第二步根据反比例函数解析式写出原函数值的表达式，第三步把变化后的自变量代入解析式求出新的函数值，第四步对比新、旧函数值的关系就能得到y的变化规律。核心是利用反比例函数的解析式，代入变化后的量计算对比即可。
【解析】
解：设原来的自变量为$x$，对应的函数值为$y_1$，
由反比例函数$y=\frac{k}{x}$可得：$y_1=\frac{k}{x}$。
当自变量$x$变为原来的$\frac{1}{n}$时，新的自变量$x'=\frac{1}{n}x$，
将$x'$代入反比例函数解析式，计算新的函数值：
$y'=\frac{k}{x'}=\frac{k}{\frac{1}{n}x}=n·\frac{k}{x}$，
结合$y_1=\frac{k}{x}$，可得$y'=n y_1$。
【答案】
函数$y$变为原来的$n$倍
【知识点】
反比例函数的概念；分式化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对反比例函数解析式的应用，只需代入变化后的自变量计算函数值，就能推导得到函数的变化规律，掌握反比例函数的基本形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
