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根据反比例函数表达式 $y=\frac{6}{x}$，你能描述这个函数图象的一些特征吗？参照画一次函数图象的步骤，你能画出这个函数的图象吗？函数的图象具有哪些特征？反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 和 $y=\frac{6}{x}$ 的图象有怎样的关系？
答案
略
解析
【分析】
解题可分四步思考：1. 先从表达式入手，先确定自变量取值范围、k的符号，初步推导图象的大致位置、与坐标轴的交点情况；2. 类比一次函数“列表、描点、连线”的作图步骤，结合反比例函数自变量不为0的特点，明确列表取值、连线的注意事项，完成作图；3. 观察画出的图象，从分布象限、增减性、对称性三个维度总结图象特征；4. 对比两个函数表达式的坐标对应关系，结合点的对称规律推导两个图象的位置关系。
【解析】
1. 由$y=\frac{6}{x}$推导初步图象特征：
自变量$x$的取值范围是$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴都没有交点；又$k=6＞0$，当$x＞0$时$y＞0$，$x＜0$时$y＜0$，因此图象分布在第一、第三象限。
2. 画图步骤（类比一次函数作图）：
①列表：选取不为0的x值，正负对称取值，示例如下：
|x| -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|y| -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
②描点：将表中对应的坐标点在平面直角坐标系中逐一描出；
③连线：用平滑的曲线按x从小到大的顺序分别连接第一象限、第三象限的点，注意两个象限的曲线不能相连，曲线不能与x轴、y轴相交。
3. $y=\frac{6}{x}$的图象特征：
图象是双曲线，分布在第一、第三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；图象关于原点成中心对称，也关于直线$y=x$、$y=-x$成轴对称。
4. $y=-\frac{6}{x}$与$y=\frac{6}{x}$的图象关系：
两个函数的图象形状完全相同，位置不同；$y=-\frac{6}{x}$的图象分布在第二、第四象限，两个函数的图象关于x轴对称，也关于y轴对称。
【答案】
1. $y=\frac{6}{x}$初步特征：与坐标轴无交点，分布在第一、第三象限；
2. 画图步骤为列表、描点、连线，注意x不取0，两个象限的曲线不能相连；
3. 图象为双曲线，在第一、第三象限，每个象限内y随x增大而减小，关于原点、直线$y=x$、直线$y=-x$对称；
4. $y=-\frac{6}{x}$与$y=\frac{6}{x}$图象形状相同，关于x轴、y轴对称，分别分布在第二四、第一三象限。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象画法，反比例函数的对称性
【点评】
本题通过类比一次函数作图方法引导学生掌握反比例函数作图逻辑，同时考查对反比例函数图象特征、k值互为相反数的两个反比例函数图象关系的理解，是夯实反比例函数基础性质的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题可分四步思考：1. 先从表达式入手，先确定自变量取值范围、k的符号，初步推导图象的大致位置、与坐标轴的交点情况；2. 类比一次函数“列表、描点、连线”的作图步骤，结合反比例函数自变量不为0的特点，明确列表取值、连线的注意事项，完成作图；3. 观察画出的图象，从分布象限、增减性、对称性三个维度总结图象特征；4. 对比两个函数表达式的坐标对应关系，结合点的对称规律推导两个图象的位置关系。
【解析】
1. 由$y=\frac{6}{x}$推导初步图象特征：
自变量$x$的取值范围是$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴都没有交点；又$k=6＞0$，当$x＞0$时$y＞0$，$x＜0$时$y＜0$，因此图象分布在第一、第三象限。
2. 画图步骤（类比一次函数作图）：
①列表：选取不为0的x值，正负对称取值，示例如下：
|x| -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|y| -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
②描点：将表中对应的坐标点在平面直角坐标系中逐一描出；
③连线：用平滑的曲线按x从小到大的顺序分别连接第一象限、第三象限的点，注意两个象限的曲线不能相连，曲线不能与x轴、y轴相交。
3. $y=\frac{6}{x}$的图象特征：
图象是双曲线，分布在第一、第三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；图象关于原点成中心对称，也关于直线$y=x$、$y=-x$成轴对称。
4. $y=-\frac{6}{x}$与$y=\frac{6}{x}$的图象关系：
两个函数的图象形状完全相同，位置不同；$y=-\frac{6}{x}$的图象分布在第二、第四象限，两个函数的图象关于x轴对称，也关于y轴对称。
【答案】
1. $y=\frac{6}{x}$初步特征：与坐标轴无交点，分布在第一、第三象限；
2. 画图步骤为列表、描点、连线，注意x不取0，两个象限的曲线不能相连；
3. 图象为双曲线，在第一、第三象限，每个象限内y随x增大而减小，关于原点、直线$y=x$、直线$y=-x$对称；
4. $y=-\frac{6}{x}$与$y=\frac{6}{x}$图象形状相同，关于x轴、y轴对称，分别分布在第二四、第一三象限。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象画法，反比例函数的对称性
【点评】
本题通过类比一次函数作图方法引导学生掌握反比例函数作图逻辑，同时考查对反比例函数图象特征、k值互为相反数的两个反比例函数图象关系的理解，是夯实反比例函数基础性质的典型题型。
【难度系数】
0.8
例 已知反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$.
（1）写出该函数的性质；
（2）画出该函数的大致图象.
（1）写出该函数的性质；
（2）画出该函数的大致图象.
答案
(1) 函数的性质:函数图象分别位于第二、第四象限;在每一个象限内,y随x的增大而增大
(2) 解法一 列表：
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出函数$y=-\frac{4}{x}$的图象.
解法二 根据函数的性质画出大致图象[图2-1]
解析
【分析】
（1）求解反比例函数性质，首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质和$k$的关联：$k$的符号决定图象所在象限、函数增减性。本题中$k=-4＜0$，对应推导性质即可，注意增减性的前提是“在每一个象限内”，不可省略该限制条件。
（2）画反比例函数图象有两种思路：一是按照描点法画函数图象的常规步骤，即列表、描点、连线三步完成，注意$x$的取值要覆盖正负区间，连线时用平滑曲线分别连接两个象限内的点，不可将两个分支相连，也不能和坐标轴相交；二是先根据反比例函数性质确定图象所在象限、增减性，再画出大致的双曲线图象。
【解析】
（1）已知反比例函数为$y=-\dfrac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$：
① 由$k＜0$可得，函数图象为双曲线，分别位于第二、第四象限；
② 当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
（2）方法一（描点法）：
第一步列表：选取$x$的若干正负取值，计算对应$y$值，得到坐标如下：
第二步描点：把表中每组$(x,y)$作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应点；
第三步连线：用平滑的曲线分别顺次连接第二、第四象限的各点，得到函数图象，注意两个分支不相连，且不与坐标轴相交。
方法二（性质画图）：
先确定图象是位于第二、第四象限的双曲线，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大，据此画出平滑的两支双曲线即可，大致图象如下：
【答案】
(1) 函数的性质:函数图象分别位于第二、第四象限;在每一个象限内,y随x的增大而增大
(2) 解法一 列表：
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出函数$y=-\frac{4}{x}$的图象.
解法二 根据函数的性质画出大致图象[图2-1]
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象的画法
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解和图象绘制能力，需注意描述增减性时不能遗漏“在每一个象限内”的限制条件，画图象时要符合双曲线的特征，不可与坐标轴相交或跨象限连接两支曲线。
【难度系数】
0.8
（1）求解反比例函数性质，首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质和$k$的关联：$k$的符号决定图象所在象限、函数增减性。本题中$k=-4＜0$，对应推导性质即可，注意增减性的前提是“在每一个象限内”，不可省略该限制条件。
（2）画反比例函数图象有两种思路：一是按照描点法画函数图象的常规步骤，即列表、描点、连线三步完成，注意$x$的取值要覆盖正负区间，连线时用平滑曲线分别连接两个象限内的点，不可将两个分支相连，也不能和坐标轴相交；二是先根据反比例函数性质确定图象所在象限、增减性，再画出大致的双曲线图象。
【解析】
（1）已知反比例函数为$y=-\dfrac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$：
① 由$k＜0$可得，函数图象为双曲线，分别位于第二、第四象限；
② 当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
（2）方法一（描点法）：
第一步列表：选取$x$的若干正负取值，计算对应$y$值，得到坐标如下：
第二步描点：把表中每组$(x,y)$作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应点；
第三步连线：用平滑的曲线分别顺次连接第二、第四象限的各点，得到函数图象，注意两个分支不相连，且不与坐标轴相交。
方法二（性质画图）：
先确定图象是位于第二、第四象限的双曲线，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大，据此画出平滑的两支双曲线即可，大致图象如下：
【答案】
(1) 函数的性质:函数图象分别位于第二、第四象限;在每一个象限内,y随x的增大而增大
(2) 解法一 列表：
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出函数$y=-\frac{4}{x}$的图象.
解法二 根据函数的性质画出大致图象[图2-1]
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象的画法
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解和图象绘制能力，需注意描述增减性时不能遗漏“在每一个象限内”的限制条件，画图象时要符合双曲线的特征，不可与坐标轴相交或跨象限连接两支曲线。
【难度系数】
0.8
（1）反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象位于（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
B
）。A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
答案
(1) B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握反比例函数图象的分布和比例系数$k$的对应关系，解题思路如下：首先明确反比例函数的一般形式，找到题目中函数对应的$k$值，再根据$k$的正负判断图象所在的象限，最后匹配选项即可。
【解析】
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$），其图象的象限分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{8}{x}$，对应$k=8＞0$，因此该函数的图象位于第一、三象限，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对反比例函数核心性质的掌握，只要熟记$k$的符号和图象分布象限的对应规则，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握反比例函数图象的分布和比例系数$k$的对应关系，解题思路如下：首先明确反比例函数的一般形式，找到题目中函数对应的$k$值，再根据$k$的正负判断图象所在的象限，最后匹配选项即可。
【解析】
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$），其图象的象限分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{8}{x}$，对应$k=8＞0$，因此该函数的图象位于第一、三象限，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对反比例函数核心性质的掌握，只要熟记$k$的符号和图象分布象限的对应规则，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
（2）下列图象中，是反比例函数图象的是（
（3）如图所示的图象相应的函数表达式为（
A.$y=5x$
B.$y=2x+3$
C.$y=\dfrac{4}{x}$
D.$y=-\dfrac{3}{x}$
[第1(3)题]
C
）。（3）如图所示的图象相应的函数表达式为（
C
）。A.$y=5x$
B.$y=2x+3$
C.$y=\dfrac{4}{x}$
D.$y=-\dfrac{3}{x}$
[第1(3)题]
答案
(2) C (3) C
解析
【分析】
这两道题都考查反比例函数的图象和性质相关知识。第(2)题的思考路径：先明确反比例函数的图象是不与x轴、y轴相交的双曲线，据此特征逐一排查各选项的图象，就能选出正确的反比例函数图象。第(3)题的思考路径：第一步先看图象形状，双曲线对应的是反比例函数，先把图象是直线的正比例函数、一次函数选项排除；第二步再看双曲线所在的象限，若在一、三象限则反比例函数的比例系数k＞0，若在二、四象限则k＜0，结合选项的k值就能选出正确答案。
【解析】
(2) 反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne 0$），其图象是两条不与坐标轴相交的双曲线，只有选项C的图象符合该特征，因此选C。
(3) ①观察图象形状：题中给出的图象是双曲线，属于反比例函数的图象。选项A的$y=5x$是正比例函数，图象为过原点的直线；选项B的$y=2x+3$是一次函数，图象为直线，均不符合，排除A、B。②观察图象所在象限：双曲线位于第一、三象限，说明反比例函数的比例系数$k＞0$。选项C中$k=4＞0$，符合要求；选项D中$k=-3＜0$，对应图象应在第二、四象限，不符合要求，排除D。因此选C。
【答案】
(2)C；(3)C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
这两道题是反比例函数图象相关的基础题型，解题关键是牢记反比例函数的图象形状以及比例系数k和图象所在象限的对应关系，熟练掌握知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这两道题都考查反比例函数的图象和性质相关知识。第(2)题的思考路径：先明确反比例函数的图象是不与x轴、y轴相交的双曲线，据此特征逐一排查各选项的图象，就能选出正确的反比例函数图象。第(3)题的思考路径：第一步先看图象形状，双曲线对应的是反比例函数，先把图象是直线的正比例函数、一次函数选项排除；第二步再看双曲线所在的象限，若在一、三象限则反比例函数的比例系数k＞0，若在二、四象限则k＜0，结合选项的k值就能选出正确答案。
【解析】
(2) 反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne 0$），其图象是两条不与坐标轴相交的双曲线，只有选项C的图象符合该特征，因此选C。
(3) ①观察图象形状：题中给出的图象是双曲线，属于反比例函数的图象。选项A的$y=5x$是正比例函数，图象为过原点的直线；选项B的$y=2x+3$是一次函数，图象为直线，均不符合，排除A、B。②观察图象所在象限：双曲线位于第一、三象限，说明反比例函数的比例系数$k＞0$。选项C中$k=4＞0$，符合要求；选项D中$k=-3＜0$，对应图象应在第二、四象限，不符合要求，排除D。因此选C。
【答案】
(2)C；(3)C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
这两道题是反比例函数图象相关的基础题型，解题关键是牢记反比例函数的图象形状以及比例系数k和图象所在象限的对应关系，熟练掌握知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
