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3. 某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种数量，使今后两年的栽种数量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的栽种数量为1 400棵.求这个百分数.
答案
100%
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先设这个相同的增长百分数为$x$，先分别表示出后两年的栽种数量：明年的栽种量是今年的200棵乘以$(1+x)$，后年的栽种量是明年的栽种量再乘以$(1+x)$，也就是$200(1+x)^2$。题目给出三年总栽种量为1400棵，也就是今年+明年+后年的栽种量之和等于1400，据此列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个相同的增长百分数为$x$，根据题意列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
两边同时除以200化简：
$1 + (1+x) + (1+x)^2 = 7$
展开并整理方程：
$1+1+x+1+2x+x^2 = 7$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得：
$(x+4)(x-1) = 0$
解得$x_1=1=100\%$，$x_2=-4$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
【答案】
100%
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的平均增长率应用题，解题核心是准确用含未知数的代数式表示出各阶段的对应数量，再根据总量关系列方程求解，最后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先设这个相同的增长百分数为$x$，先分别表示出后两年的栽种数量：明年的栽种量是今年的200棵乘以$(1+x)$，后年的栽种量是明年的栽种量再乘以$(1+x)$，也就是$200(1+x)^2$。题目给出三年总栽种量为1400棵，也就是今年+明年+后年的栽种量之和等于1400，据此列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个相同的增长百分数为$x$，根据题意列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
两边同时除以200化简：
$1 + (1+x) + (1+x)^2 = 7$
展开并整理方程：
$1+1+x+1+2x+x^2 = 7$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得：
$(x+4)(x-1) = 0$
解得$x_1=1=100\%$，$x_2=-4$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
【答案】
100%
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的平均增长率应用题，解题核心是准确用含未知数的代数式表示出各阶段的对应数量，再根据总量关系列方程求解，最后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
4. 有五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和. 求这五个数.
答案
这五个数依次为−2,−1,0,1,2或10,11,12,13,14
解析
【分析】
解决本题的核心是通过合理设未知数表示五个连续整数，再结合题干等量关系列方程求解。为了简化平方和的计算，可优先设中间的整数为x，此时五个数可表示为x-2、x-1、x、x+1、x+2，正负对称的形式能减少展开计算的工作量；再根据“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”这一等量关系列一元二次方程，解方程后即可得到对应的五个数。
【解析】
设这五个连续整数中间的数为$ x $，则五个数依次为$ x-2 $，$ x-1 $，$ x $，$ x+1 $，$ x+2 $。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + (x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2 + (x+2)^2$
分别展开左右两边：
左边：$ x^2 -4x +4 + x^2 -2x +1 + x^2 = 3x^2 -6x +5 $
右边：$ x^2 +2x +1 + x^2 +4x +4 = 2x^2 +6x +5 $
移项、合并同类项：
$3x^2 -6x +5 - 2x^2 -6x -5 = 0$
化简得：$ x^2 -12x = 0 $
因式分解得：$ x(x-12) = 0 $
解得：$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 12 $
当$ x=0 $时，五个数为：$ -2,-1,0,1,2 $
当$ x=12 $时，五个数为：$ 10,11,12,13,14 $
【答案】
这五个数依次为−2,−1,0,1,2或10,11,12,13,14
【知识点】
一元二次方程的应用；连续整数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题是数字类一元二次方程的典型应用题，解题的关键是合理设未知数简化计算，列方程时要准确匹配等量关系，解方程后注意检验结果是否符合整数的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是通过合理设未知数表示五个连续整数，再结合题干等量关系列方程求解。为了简化平方和的计算，可优先设中间的整数为x，此时五个数可表示为x-2、x-1、x、x+1、x+2，正负对称的形式能减少展开计算的工作量；再根据“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”这一等量关系列一元二次方程，解方程后即可得到对应的五个数。
【解析】
设这五个连续整数中间的数为$ x $，则五个数依次为$ x-2 $，$ x-1 $，$ x $，$ x+1 $，$ x+2 $。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + (x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2 + (x+2)^2$
分别展开左右两边：
左边：$ x^2 -4x +4 + x^2 -2x +1 + x^2 = 3x^2 -6x +5 $
右边：$ x^2 +2x +1 + x^2 +4x +4 = 2x^2 +6x +5 $
移项、合并同类项：
$3x^2 -6x +5 - 2x^2 -6x -5 = 0$
化简得：$ x^2 -12x = 0 $
因式分解得：$ x(x-12) = 0 $
解得：$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 12 $
当$ x=0 $时，五个数为：$ -2,-1,0,1,2 $
当$ x=12 $时，五个数为：$ 10,11,12,13,14 $
【答案】
这五个数依次为−2,−1,0,1,2或10,11,12,13,14
【知识点】
一元二次方程的应用；连续整数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题是数字类一元二次方程的典型应用题，解题的关键是合理设未知数简化计算，列方程时要准确匹配等量关系，解方程后注意检验结果是否符合整数的要求。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$Rt△ ACB$中,$∠ C=90°$,点$P,Q$同时由$A,B$两点出发,分别沿$AC,BC$方向向点$C$匀速移动,它们的速度都是1 m/s.多少时间后$△ PCQ$的面积是$Rt△ ACB$面积的一半?
答案
2 s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半
解析
【分析】
首先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出线段PC、CQ的长度；再分别计算Rt△PCQ和Rt△ACB的面积，结合“△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半”的等量关系列一元二次方程；最后解方程，结合t的实际取值范围（t＞0，且Q移动到C的最长时间为6s，故t＜6）舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设t s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半。
由题意得，AP、BQ的长度均为t m，因此：
$PC = AC - AP = (8-t) \, \mathrm{m}$，$CQ = BC - BQ = (6-t) \, \mathrm{m}$
先计算Rt△ACB的面积：
$S_{△ACB} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 \, \mathrm{m}^2$
根据面积关系列方程：
$\frac{1}{2} × (8-t)(6-t) = \frac{1}{2} × 24$
整理方程得：$t^2 -14t +24 = 0$
因式分解得：$(t-2)(t-12) = 0$
解得$t_1=2$，$t_2=12$
由于点Q从B移动到C最多需要$6÷1=6$ s，因此$t＜6$，$t=12$不符合实际，舍去。
故$t=2$。
【答案】
2 s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半
【知识点】
一元二次方程应用、直角三角形面积计算、动点问题分析
【点评】
本题是典型的几何动点结合方程的应用题，解题关键是用时间参数表示出动点对应的线段长度，再根据面积等量关系列方程求解，要注意对求解出的根进行实际意义的检验，排除不符合运动范围的解。
【难度系数】
0.7
首先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出线段PC、CQ的长度；再分别计算Rt△PCQ和Rt△ACB的面积，结合“△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半”的等量关系列一元二次方程；最后解方程，结合t的实际取值范围（t＞0，且Q移动到C的最长时间为6s，故t＜6）舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设t s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半。
由题意得，AP、BQ的长度均为t m，因此：
$PC = AC - AP = (8-t) \, \mathrm{m}$，$CQ = BC - BQ = (6-t) \, \mathrm{m}$
先计算Rt△ACB的面积：
$S_{△ACB} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 \, \mathrm{m}^2$
根据面积关系列方程：
$\frac{1}{2} × (8-t)(6-t) = \frac{1}{2} × 24$
整理方程得：$t^2 -14t +24 = 0$
因式分解得：$(t-2)(t-12) = 0$
解得$t_1=2$，$t_2=12$
由于点Q从B移动到C最多需要$6÷1=6$ s，因此$t＜6$，$t=12$不符合实际，舍去。
故$t=2$。
【答案】
2 s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半
【知识点】
一元二次方程应用、直角三角形面积计算、动点问题分析
【点评】
本题是典型的几何动点结合方程的应用题，解题关键是用时间参数表示出动点对应的线段长度，再根据面积等量关系列方程求解，要注意对求解出的根进行实际意义的检验，排除不符合运动范围的解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，线段AB的长为1.
(1) 若线段AB上的点C满足表达式$AC^2=BC· AB$，求线段AC的长度；
(2) 若线段AC上的点D满足表达式$AD^2=CD· AC$，求线段AD的长度；
(3) 若线段AD上的点E满足表达式$AE^2=DE· AD$，求线段AE的长度；
(4) 上述各小题的结果反映了什么规律？
(1) 若线段AB上的点C满足表达式$AC^2=BC· AB$，求线段AC的长度；
(2) 若线段AC上的点D满足表达式$AD^2=CD· AC$，求线段AD的长度；
(3) 若线段AD上的点E满足表达式$AE^2=DE· AD$，求线段AE的长度；
(4) 上述各小题的结果反映了什么规律？
答案
本题中三个小问题的条件是共同的,即所求线段长x都满足x²=(l−x)l.其中的l可以分别是AB、AC、AD的长度,x=(√5−1)/2 l.共同的规律是所求长度恰是条件等式右边较长线段长度的(√5−1)/2倍.这与黄金分割点有关
解析
【分析】
这是黄金分割的典型应用类题目，每一问的核心逻辑一致：将一条线段分为两部分后，较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积。解题时我们可以先设所求线段长度为未知数，结合线段和差关系表示出较短线段，代入条件列一元二次方程，取正根即可得到结果；前三问结构完全相同，仅需替换对应整条线段的长度即可，最后通过前三问的结果总结共性规律即可。
【解析】
(1) 设线段$AC$的长为$x$，则$BC = AB - AC = 1 - x$，
由题意$AC^2 = BC·AB$，代入得$x^2 = 1×(1 - x)$，
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$，
解得$x = \frac{-1\pm\sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，舍去负根，得$AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
(2) 设线段$AD$的长为$y$，由(1)可知$AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，则$CD = AC - AD = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - y$，
由题意$AD^2 = CD·AC$，代入得$y^2 = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} - y)×\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
该方程和(1)结构一致，正根为$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}× AC = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
即$AD = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
(3) 设线段$AE$的长为$z$，由(2)可知$AD = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
同理可得正根$z = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}× AD = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^3 = \sqrt{5} - 2$，
即$AE = \sqrt{5} - 2$。
(4) 规律：若线段上的点将线段分为两部分，满足较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，则较长线段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，即该点是线段的黄金分割点，每一问所求线段都是对应被分割线段的黄金分割较长段，依次乘以黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可得到结果。
【答案】
(1) $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
(2) $AD=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(3) $AE=\sqrt{5}-2$；
(4) 所求线段的长度均为对应被分割线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，符合黄金分割的规律。
【知识点】
黄金分割，一元二次方程的应用，线段和差计算
【点评】
本题围绕黄金分割的定义逐层设问，解题核心是理解黄金分割中线段的比例关系，通过列一元二次方程取正根得到结果，能够有效锻炼逻辑推理和规律总结能力。
【难度系数】
0.7
这是黄金分割的典型应用类题目，每一问的核心逻辑一致：将一条线段分为两部分后，较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积。解题时我们可以先设所求线段长度为未知数，结合线段和差关系表示出较短线段，代入条件列一元二次方程，取正根即可得到结果；前三问结构完全相同，仅需替换对应整条线段的长度即可，最后通过前三问的结果总结共性规律即可。
【解析】
(1) 设线段$AC$的长为$x$，则$BC = AB - AC = 1 - x$，
由题意$AC^2 = BC·AB$，代入得$x^2 = 1×(1 - x)$，
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$，
解得$x = \frac{-1\pm\sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，舍去负根，得$AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
(2) 设线段$AD$的长为$y$，由(1)可知$AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，则$CD = AC - AD = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - y$，
由题意$AD^2 = CD·AC$，代入得$y^2 = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} - y)×\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
该方程和(1)结构一致，正根为$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}× AC = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
即$AD = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
(3) 设线段$AE$的长为$z$，由(2)可知$AD = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
同理可得正根$z = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}× AD = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^3 = \sqrt{5} - 2$，
即$AE = \sqrt{5} - 2$。
(4) 规律：若线段上的点将线段分为两部分，满足较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，则较长线段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，即该点是线段的黄金分割点，每一问所求线段都是对应被分割线段的黄金分割较长段，依次乘以黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可得到结果。
【答案】
(1) $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
(2) $AD=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(3) $AE=\sqrt{5}-2$；
(4) 所求线段的长度均为对应被分割线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，符合黄金分割的规律。
【知识点】
黄金分割，一元二次方程的应用，线段和差计算
【点评】
本题围绕黄金分割的定义逐层设问，解题核心是理解黄金分割中线段的比例关系，通过列一元二次方程取正根得到结果，能够有效锻炼逻辑推理和规律总结能力。
【难度系数】
0.7
