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例1 一本书的封面长为27 cm，宽为21 cm，封面正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）？
答案
设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央矩形的长为(27−18x) cm,宽为(21−14x) cm.根据题意,得(27−18x)(21−14x)=3/4×27×21.整理,得16x²−48x+9=0.解这个方程,得x₁=(6−3√3)/4,x₂=(6+3√3)/4(不合题意,舍去).9x=9×(6−3√3)/4≈1.8,7x=7×(6−3√3)/4≈1.4.所以上、下边衬的宽均为1.8 cm,左、右边衬的宽均为1.4 cm
解析
【分析】
首先计算封面长宽比为27:21=9:7，由于中央矩形和封面长宽比例相同，因此中央矩形长宽比也为9:7，按比例设未知数可简化计算：设上下边衬宽为9x cm，左右边衬宽为7x cm，即可直接表示出中央矩形的长和宽。再根据“四周边衬面积是封面面积的四分之一”可得中央矩形面积为封面面积的$\frac{3}{4}$，据此列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义，舍去不合题意的根后计算边衬实际宽度即可。
【解析】
封面长宽比为$27:21=9:7$，设上、下边衬的宽均为$9x$ cm，左、右边衬的宽均为$7x$ cm，则中央矩形的长为$(27-18x)$ cm，宽为$(21-14x)$ cm。
根据题意，中央矩形面积占封面面积的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，列方程得：
$(27−18x)(21−14x)=\frac{3}{4}×27×21$
整理得$16x^2−48x+9=0$，用求根公式解得：
$x_1=\frac{6−3\sqrt{3}}{4}$，$x_2=\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$
当$x=\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$时，$18x＞27$，中央矩形长为负，不符合实际，舍去。
代入有效根计算边衬宽度：
$9x=9×\frac{6−3\sqrt{3}}{4}≈1.8$，$7x=7×\frac{6−3\sqrt{3}}{4}≈1.4$
【答案】
上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm
【知识点】
一元二次方程应用，比例性质，矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的常规应用题，利用图形比例关系设未知数可简化计算，解题时要注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.65
首先计算封面长宽比为27:21=9:7，由于中央矩形和封面长宽比例相同，因此中央矩形长宽比也为9:7，按比例设未知数可简化计算：设上下边衬宽为9x cm，左右边衬宽为7x cm，即可直接表示出中央矩形的长和宽。再根据“四周边衬面积是封面面积的四分之一”可得中央矩形面积为封面面积的$\frac{3}{4}$，据此列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义，舍去不合题意的根后计算边衬实际宽度即可。
【解析】
封面长宽比为$27:21=9:7$，设上、下边衬的宽均为$9x$ cm，左、右边衬的宽均为$7x$ cm，则中央矩形的长为$(27-18x)$ cm，宽为$(21-14x)$ cm。
根据题意，中央矩形面积占封面面积的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，列方程得：
$(27−18x)(21−14x)=\frac{3}{4}×27×21$
整理得$16x^2−48x+9=0$，用求根公式解得：
$x_1=\frac{6−3\sqrt{3}}{4}$，$x_2=\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$
当$x=\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$时，$18x＞27$，中央矩形长为负，不符合实际，舍去。
代入有效根计算边衬宽度：
$9x=9×\frac{6−3\sqrt{3}}{4}≈1.8$，$7x=7×\frac{6−3\sqrt{3}}{4}≈1.4$
【答案】
上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm
【知识点】
一元二次方程应用，比例性质，矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的常规应用题，利用图形比例关系设未知数可简化计算，解题时要注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.65
例2 某企业生产一种新型太阳能热水器，前年获利1 000万元，今年获利1 560万元，今年的利润增长率比去年的利润增长率多10％.去年和今年的利润增长率各是多少？
答案
设去年的利润增长率是x,则今年的利润增长率是x+0.1.根据题意,得1 000(1+x)(1+x+0.1)=1 560.整理,得x²+2.1x−0.46=0.解这个方程,得x₁=0.2,x₂=−2.3(不合题意,舍去).x+0.1=0.2+0.1=0.3.所以去年的利润增长率是20%,今年的利润增长率是30%
解析
【分析】
这是典型的增长率类应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先设去年的利润增长率为x，由今年增长率比去年多10%（即0.1），可将今年的增长率表示为x+0.1。已知前年获利为初始量1000万元，那么去年的获利为1000(1+x)万元，今年的获利是在去年获利的基础上再增长，即1000(1+x)(1+x+0.1)万元，刚好等于题目给出的今年获利1560万元，据此列一元二次方程求解即可，最后要注意增长率为正数，需检验根的合理性，舍去不符合实际的根。
【解析】
设去年的利润增长率是$ x $，则今年的利润增长率是$ x+0.1 $。
根据题意列方程：
$ 1000(1+x)(1+x+0.1)=1560 $
整理得：$ x^2+2.1x-0.46=0 $
解这个方程，得$ x_1=0.2 $，$ x_2=-2.3 $（增长率不能为负，不合题意，舍去）
则今年的利润增长率为：$ x+0.1=0.2+0.1=0.3 $
【答案】
去年的利润增长率是20%，今年的利润增长率是30%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是常见的连续增长类应用题，解题关键是理清每一轮增长的基数、增长率和最终量之间的对应关系，求解方程后要注意结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的增长率类应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先设去年的利润增长率为x，由今年增长率比去年多10%（即0.1），可将今年的增长率表示为x+0.1。已知前年获利为初始量1000万元，那么去年的获利为1000(1+x)万元，今年的获利是在去年获利的基础上再增长，即1000(1+x)(1+x+0.1)万元，刚好等于题目给出的今年获利1560万元，据此列一元二次方程求解即可，最后要注意增长率为正数，需检验根的合理性，舍去不符合实际的根。
【解析】
设去年的利润增长率是$ x $，则今年的利润增长率是$ x+0.1 $。
根据题意列方程：
$ 1000(1+x)(1+x+0.1)=1560 $
整理得：$ x^2+2.1x-0.46=0 $
解这个方程，得$ x_1=0.2 $，$ x_2=-2.3 $（增长率不能为负，不合题意，舍去）
则今年的利润增长率为：$ x+0.1=0.2+0.1=0.3 $
【答案】
去年的利润增长率是20%，今年的利润增长率是30%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是常见的连续增长类应用题，解题关键是理清每一轮增长的基数、增长率和最终量之间的对应关系，求解方程后要注意结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
1. 一个人的血压与其年龄及性别有关.对女性来说,正常的收缩压 $ p $ mmHg(毫米汞柱)与年龄 $ x $ 岁大致满足关系：$ p=0.01x^2 + 0.05x + 107 $;对男性来说,正常的收缩压 $ p $ mmHg 与年龄 $ x $ 岁大致满足关系：$ p=0.006x^2 - 0.02x + 120 $.
（1）已知一名女性的收缩压为 120 mmHg,那么她的年龄大概是多少?
（2）已知一名男性的收缩压为 130 mmHg,那么他的年龄大概是多少?
（1）已知一名女性的收缩压为 120 mmHg,那么她的年龄大概是多少?
（2）已知一名男性的收缩压为 130 mmHg,那么他的年龄大概是多少?
答案
(1) 约34岁 (2) 约43岁
解析
【分析】
这道题属于二次函数的实际应用问题，解题核心是将已知的收缩压$p$代入对应性别的函数关系式，转化为关于年龄$x$的一元二次方程，求解后根据年龄为正数的实际意义舍去不合理的负根，即可得到对应的年龄。具体思路：（1）针对女性，把$p=120$代入女性收缩压公式，整理得到一元二次方程，用求根公式求解后取正根；（2）针对男性，把$p=130$代入男性收缩压公式，同理求解后取合理正根。
【解析】
（1）对于女性，将$p=120$代入关系式$p=0.01x^2 + 0.05x + 107$，得：
$0.01x^2 + 0.05x + 107 = 120$
方程两边同乘100消去小数，整理得：
$x^2 + 5x - 1300 = 0$
其中$a=1,b=5,c=-1300$，由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算判别式：
$\Delta = 5^2 - 4×1×(-1300) = 5225$
因为年龄为正数，舍去负根，得：
$x=\frac{-5+\sqrt{5225}}{2}\approx\frac{-5+72.28}{2}\approx34$（岁）
（2）对于男性，将$p=130$代入关系式$p=0.006x^2 - 0.02x + 120$，得：
$0.006x^2 - 0.02x + 120 = 130$
移项后两边同乘1000消去小数，再化简得：
$3x^2 - 10x - 5000 = 0$
其中$a=3,b=-10,c=-5000$，计算判别式：
$\Delta = (-10)^2 - 4×3×(-5000) = 60100$
舍去负根，得：
$x=\frac{10+\sqrt{60100}}{6}\approx\frac{10+245.15}{6}\approx43$（岁）
【答案】
（1）约34岁；（2）约43岁
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的血压问题考查函数与方程的转化思想，解题时要注意代入对应性别的解析式，求解一元二次方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
这道题属于二次函数的实际应用问题，解题核心是将已知的收缩压$p$代入对应性别的函数关系式，转化为关于年龄$x$的一元二次方程，求解后根据年龄为正数的实际意义舍去不合理的负根，即可得到对应的年龄。具体思路：（1）针对女性，把$p=120$代入女性收缩压公式，整理得到一元二次方程，用求根公式求解后取正根；（2）针对男性，把$p=130$代入男性收缩压公式，同理求解后取合理正根。
【解析】
（1）对于女性，将$p=120$代入关系式$p=0.01x^2 + 0.05x + 107$，得：
$0.01x^2 + 0.05x + 107 = 120$
方程两边同乘100消去小数，整理得：
$x^2 + 5x - 1300 = 0$
其中$a=1,b=5,c=-1300$，由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算判别式：
$\Delta = 5^2 - 4×1×(-1300) = 5225$
因为年龄为正数，舍去负根，得：
$x=\frac{-5+\sqrt{5225}}{2}\approx\frac{-5+72.28}{2}\approx34$（岁）
（2）对于男性，将$p=130$代入关系式$p=0.006x^2 - 0.02x + 120$，得：
$0.006x^2 - 0.02x + 120 = 130$
移项后两边同乘1000消去小数，再化简得：
$3x^2 - 10x - 5000 = 0$
其中$a=3,b=-10,c=-5000$，计算判别式：
$\Delta = (-10)^2 - 4×3×(-5000) = 60100$
舍去负根，得：
$x=\frac{10+\sqrt{60100}}{6}\approx\frac{10+245.15}{6}\approx43$（岁）
【答案】
（1）约34岁；（2）约43岁
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的血压问题考查函数与方程的转化思想，解题时要注意代入对应性别的解析式，求解一元二次方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
2. 李先生存入银行1万元，先存一年定期，一年后将本息自动转存为另一个一年定期. 假设一年定期存款的年利率不变，已知两年后共得本息1.06万元，那么存款的年利率为多少？
答案
约2.96%
解析
【分析】
本题属于复利计息的增长率问题，解题思路如下：首先设年利率为未知数x，第一年到期后的本息和为本金×(1+年利率)，由于自动转存，第二年的计息本金就是第一年的本息和，因此两年后的总本息和为“本金×(1+x)²”，结合题目给出的本金和两年后本息的数值，即可列出一元二次方程，求解时结合年利率为正的实际要求舍去负根，最后换算为百分数即可得到结果。
【解析】
解：设存款的年利率为$ x $，根据题意列方程得：
$ 1×(1+x)^2 = 1.06 $
整理得：$ (1+x)^2 = 1.06 $
开平方得：$ 1+x = \pm\sqrt{1.06} $
由于年利率为正数，因此$ 1+x＞0 $，舍去负根，得：
$ 1+x = \sqrt{1.06} \approx 1.0296 $
解得：$ x \approx 1.0296 -1 = 0.0296 = 2.96\% $
【答案】
约2.96%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是理清连续两年计息的本金关系，正确建立方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选合理的根，近似计算时要满足结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
本题属于复利计息的增长率问题，解题思路如下：首先设年利率为未知数x，第一年到期后的本息和为本金×(1+年利率)，由于自动转存，第二年的计息本金就是第一年的本息和，因此两年后的总本息和为“本金×(1+x)²”，结合题目给出的本金和两年后本息的数值，即可列出一元二次方程，求解时结合年利率为正的实际要求舍去负根，最后换算为百分数即可得到结果。
【解析】
解：设存款的年利率为$ x $，根据题意列方程得：
$ 1×(1+x)^2 = 1.06 $
整理得：$ (1+x)^2 = 1.06 $
开平方得：$ 1+x = \pm\sqrt{1.06} $
由于年利率为正数，因此$ 1+x＞0 $，舍去负根，得：
$ 1+x = \sqrt{1.06} \approx 1.0296 $
解得：$ x \approx 1.0296 -1 = 0.0296 = 2.96\% $
【答案】
约2.96%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是理清连续两年计息的本金关系，正确建立方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选合理的根，近似计算时要满足结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
