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3. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2+3x+m^2-4=0$有一个根是0，求$m$的值.
答案
$m=-2$
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步根据方程根的定义，把x=0代入原方程，即可得到关于m的方程，解出m的初步取值；第二步注意题目明确说明这是一元二次方程，必须满足二次项系数不为0的隐含条件，对第一步得到的m的取值进行筛选，舍去不符合要求的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-2)x^2+3x+m^2-4=0$有一个根是0
∴ 将x=0代入方程，等式成立，即：
$\begin{aligned}(m-2)×0^2 + 3×0 + m^2 - 4 &= 0 \\m^2 - 4 &= 0\end{aligned}$
解得：$m_1=2$，$m_2=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
舍去$m=2$，最终得$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考查对一元二次方程相关概念的理解，解题时要特别注意题干中“一元二次方程”的限定，不要漏掉二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步根据方程根的定义，把x=0代入原方程，即可得到关于m的方程，解出m的初步取值；第二步注意题目明确说明这是一元二次方程，必须满足二次项系数不为0的隐含条件，对第一步得到的m的取值进行筛选，舍去不符合要求的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-2)x^2+3x+m^2-4=0$有一个根是0
∴ 将x=0代入方程，等式成立，即：
$\begin{aligned}(m-2)×0^2 + 3×0 + m^2 - 4 &= 0 \\m^2 - 4 &= 0\end{aligned}$
解得：$m_1=2$，$m_2=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
舍去$m=2$，最终得$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考查对一元二次方程相关概念的理解，解题时要特别注意题干中“一元二次方程”的限定，不要漏掉二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知当$x=2$时，二次三项式$x^2 - 2mx + 4$的值等于$-4$，这个二次三项式的值可能是$-6$吗？为什么？
答案
$m=3$，不可能，理由略
解析
【分析】
解题第一步先利用已知的x取值和对应的代数式值，代入求出未知参数m，确定二次三项式的完整表达式；第二步要判断代数式能否取到-6，可通过两种思路：一是将二次三项式配方求出它的取值范围，看-6是否在范围内；二是令代数式等于-6列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法取到该值。
【解析】
1. 求参数m的值：
把$x=2$代入二次三项式$x^2 - 2mx + 4 = -4$，得：
$2^2 - 2m × 2 + 4 = -4$
计算化简：$4 - 4m + 4 = -4$
$8 - 4m = -4$
移项解得：$4m = 12$，即$m=3$。
2. 判断二次三项式能否取到-6：
把$m=3$代入，得二次三项式为$x^2 - 6x + 4$。
对该式配方得：
$x^2 -6x +4 = (x^2 -6x +9) -9 +4 = (x-3)^2 -5$
根据平方的非负性，$(x-3)^2 ≥ 0$，因此$(x-3)^2 -5 ≥ -5$，即该二次三项式的最小值为$-5$。
因为$-5 ＞ -6$，所以这个二次三项式的值不可能是$-6$。
【答案】
$m=3$，不可能。
【知识点】
代数式求值；配方法应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础代数综合题，解题核心是先求出未知参数确定代数式，再利用二次式的性质判断取值可能性，配方法和判别式法都是代数学习中常用的基础方法，熟练掌握可以快速解决这类取值判断类问题。
【难度系数】
0.7
解题第一步先利用已知的x取值和对应的代数式值，代入求出未知参数m，确定二次三项式的完整表达式；第二步要判断代数式能否取到-6，可通过两种思路：一是将二次三项式配方求出它的取值范围，看-6是否在范围内；二是令代数式等于-6列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法取到该值。
【解析】
1. 求参数m的值：
把$x=2$代入二次三项式$x^2 - 2mx + 4 = -4$，得：
$2^2 - 2m × 2 + 4 = -4$
计算化简：$4 - 4m + 4 = -4$
$8 - 4m = -4$
移项解得：$4m = 12$，即$m=3$。
2. 判断二次三项式能否取到-6：
把$m=3$代入，得二次三项式为$x^2 - 6x + 4$。
对该式配方得：
$x^2 -6x +4 = (x^2 -6x +9) -9 +4 = (x-3)^2 -5$
根据平方的非负性，$(x-3)^2 ≥ 0$，因此$(x-3)^2 -5 ≥ -5$，即该二次三项式的最小值为$-5$。
因为$-5 ＞ -6$，所以这个二次三项式的值不可能是$-6$。
【答案】
$m=3$，不可能。
【知识点】
代数式求值；配方法应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础代数综合题，解题核心是先求出未知参数确定代数式，再利用二次式的性质判断取值可能性，配方法和判别式法都是代数学习中常用的基础方法，熟练掌握可以快速解决这类取值判断类问题。
【难度系数】
0.7
5. 解方程:$x^2+ax-2a^2=0(a$为常数).
答案
$x_1=-2a, x_2=a$
解析
【分析】
本题是含参数a的关于x的一元二次方程，求解时可将a看作常数，优先尝试用因式分解法简化运算：观察方程左边的二次三项式$x^2+ax-2a^2$，可通过十字相乘法分解为两个一次式的乘积，令每个一次式为0，即可快速求出方程的解；也可直接用一元二次方程的求根公式计算。
【解析】
方法一：因式分解法
将方程左边的二次三项式进行十字相乘分解：
$x^2$的系数1拆为$1×1$，常数项$-2a^2$拆为$2a×(-a)$，交叉相乘相加得$1×(-a)+1×2a=a$，恰好等于一次项系数，因此：
$x^2+ax-2a^2=(x+2a)(x-a)$
原方程可化为：$(x+2a)(x-a)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x+2a=0$ 或 $x-a=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+2a=0$时，$x_1=-2a$；
当$x-a=0$时，$x_2=a$。
方法二：公式法
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，求根公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
本题中$A=1,B=a,C=-2a^2$，先计算判别式：
$\Delta=B^2-4AC=a^2-4×1×(-2a^2)=a^2+8a^2=9a^2≥0$，方程有两个实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-a\pm\sqrt{9a^2}}{2×1}=\frac{-a\pm3a}{2}$
当取加号时：$x=\frac{-a+3a}{2}=\frac{2a}{2}=a$
当取减号时：$x=\frac{-a-3a}{2}=\frac{-4a}{2}=-2a$
【答案】
$x_1=-2a, x_2=a$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，求解时将参数视为普通常数即可，灵活选择解方程的方法能大幅简化运算，本题用因式分解法比公式法更快捷，需熟练掌握十字相乘法分解二次三项式的技巧。
【难度系数】
0.7
本题是含参数a的关于x的一元二次方程，求解时可将a看作常数，优先尝试用因式分解法简化运算：观察方程左边的二次三项式$x^2+ax-2a^2$，可通过十字相乘法分解为两个一次式的乘积，令每个一次式为0，即可快速求出方程的解；也可直接用一元二次方程的求根公式计算。
【解析】
方法一：因式分解法
将方程左边的二次三项式进行十字相乘分解：
$x^2$的系数1拆为$1×1$，常数项$-2a^2$拆为$2a×(-a)$，交叉相乘相加得$1×(-a)+1×2a=a$，恰好等于一次项系数，因此：
$x^2+ax-2a^2=(x+2a)(x-a)$
原方程可化为：$(x+2a)(x-a)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x+2a=0$ 或 $x-a=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+2a=0$时，$x_1=-2a$；
当$x-a=0$时，$x_2=a$。
方法二：公式法
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，求根公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
本题中$A=1,B=a,C=-2a^2$，先计算判别式：
$\Delta=B^2-4AC=a^2-4×1×(-2a^2)=a^2+8a^2=9a^2≥0$，方程有两个实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-a\pm\sqrt{9a^2}}{2×1}=\frac{-a\pm3a}{2}$
当取加号时：$x=\frac{-a+3a}{2}=\frac{2a}{2}=a$
当取减号时：$x=\frac{-a-3a}{2}=\frac{-4a}{2}=-2a$
【答案】
$x_1=-2a, x_2=a$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，求解时将参数视为普通常数即可，灵活选择解方程的方法能大幅简化运算，本题用因式分解法比公式法更快捷，需熟练掌握十字相乘法分解二次三项式的技巧。
【难度系数】
0.7
6. 说明不论 m 取何值,关于 x 的一元二次方程$(x-1)(x-2)=m^2$总有两个不相等的实数根.
答案
略
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明方程的根的判别式Δ＞0恒成立。首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（a≠0），确定系数a、b、c后代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，再结合平方数的非负性判断Δ的取值范围即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开左边得：$x^2 - 3x + 2 = m^2$
移项得：$x^2 - 3x + (2 - m^2) = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2 - m^2$，且$a=1≠0$，该方程是一元二次方程。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2)$
$= 9 - 8 + 4m^2$
$= 1 + 4m^2$
∵ 不论m取何值，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $4m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 1 + 4m^2 ≥ 1 ＞ 0$
∴ 不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
不论m取何值，关于x的一元二次方程$(x-1)(x-2)=m^2$总有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用类题目，解题关键是先将方程化为一般形式准确计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握判别式与根的对应关系即可轻松解决。
【难度系数】
0.75
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明方程的根的判别式Δ＞0恒成立。首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（a≠0），确定系数a、b、c后代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，再结合平方数的非负性判断Δ的取值范围即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开左边得：$x^2 - 3x + 2 = m^2$
移项得：$x^2 - 3x + (2 - m^2) = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2 - m^2$，且$a=1≠0$，该方程是一元二次方程。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2)$
$= 9 - 8 + 4m^2$
$= 1 + 4m^2$
∵ 不论m取何值，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $4m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 1 + 4m^2 ≥ 1 ＞ 0$
∴ 不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
不论m取何值，关于x的一元二次方程$(x-1)(x-2)=m^2$总有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用类题目，解题关键是先将方程化为一般形式准确计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握判别式与根的对应关系即可轻松解决。
【难度系数】
0.75
7. 如何解方程$\sqrt{x+2}=x$?
答案
略
解析
【分析】
这是一道无理方程求解的题目，解题思路如下：首先，根据二次根式有意义的条件和算术平方根的非负性，先确定未知数x的取值范围，避免后续出现增根；其次，通过方程两边同时平方的操作，去掉根号，将无理方程转化为我们熟悉的一元二次方程；最后，求解一元二次方程后，必须将得到的解代入原方程（或结合之前确定的取值范围）检验，排除增根，得到原方程的正确解。
【解析】
步骤1：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{x+2}$有意义，需满足被开方数非负：$x+2≥0$，即$x≥-2$；
又因为$\sqrt{x+2}$是算术平方根，结果非负，所以右边的$x≥0$；
综上，$x$的取值范围是$x≥0$。
步骤2：去根号转化为整式方程
方程两边同时平方，得：
$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$
化简得：$x+2 = x^2$
步骤3：解一元二次方程
移项整理为标准形式：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
所以$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
步骤4：验根
结合步骤1得到的$x≥0$的范围，$x=-1$不符合要求，舍去；
将$x=2$代入原方程检验：左边$\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$，右边$=2$，左边=右边，符合原方程。
【答案】
$x=2$
【知识点】
无理方程求解、一元二次方程解法、增根检验
【点评】
本题是无理方程求解的基础题型，核心解题方法是通过平方去根号将无理方程转化为整式方程求解，易错点是忽略未知数的取值范围或忘记验根，导致误把增根$x=-1$当作原方程的解，解题时要牢记平方操作可能产生增根，求解后必须检验。
【难度系数】
0.7
这是一道无理方程求解的题目，解题思路如下：首先，根据二次根式有意义的条件和算术平方根的非负性，先确定未知数x的取值范围，避免后续出现增根；其次，通过方程两边同时平方的操作，去掉根号，将无理方程转化为我们熟悉的一元二次方程；最后，求解一元二次方程后，必须将得到的解代入原方程（或结合之前确定的取值范围）检验，排除增根，得到原方程的正确解。
【解析】
步骤1：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{x+2}$有意义，需满足被开方数非负：$x+2≥0$，即$x≥-2$；
又因为$\sqrt{x+2}$是算术平方根，结果非负，所以右边的$x≥0$；
综上，$x$的取值范围是$x≥0$。
步骤2：去根号转化为整式方程
方程两边同时平方，得：
$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$
化简得：$x+2 = x^2$
步骤3：解一元二次方程
移项整理为标准形式：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
所以$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
步骤4：验根
结合步骤1得到的$x≥0$的范围，$x=-1$不符合要求，舍去；
将$x=2$代入原方程检验：左边$\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$，右边$=2$，左边=右边，符合原方程。
【答案】
$x=2$
【知识点】
无理方程求解、一元二次方程解法、增根检验
【点评】
本题是无理方程求解的基础题型，核心解题方法是通过平方去根号将无理方程转化为整式方程求解，易错点是忽略未知数的取值范围或忘记验根，导致误把增根$x=-1$当作原方程的解，解题时要牢记平方操作可能产生增根，求解后必须检验。
【难度系数】
0.7
