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例 建立如图 3-37 的平面直角坐标系.已知正方形网格中,每个小正方形的边长为 1 个单位长度,$\odot A$在$y$轴上截得的弦$BC=8$,圆心$A$的坐标是$(3,0)$.回答下列问题:
(1) $\odot A$的半径为
(2) 请在图 3-37 中将$\odot A$先向上平移 6 个单位长度,再向左平移 8 个单位长度得到$\odot D$,观察所画出的图形,圆心$D$的坐标是
图 3-37
(1) $\odot A$的半径为
5
,已知点$E$的坐标是$(-8,0)$,则点$E$与$\odot A$的位置关系为点E在⊙A外
;(2) 请在图 3-37 中将$\odot A$先向上平移 6 个单位长度,再向左平移 8 个单位长度得到$\odot D$,观察所画出的图形,圆心$D$的坐标是
(-5,6)
,$\odot D$与$x$轴的位置关系是相离
,$\odot D$与$y$轴的位置关系是相切
.图 3-37
答案
(1) 5,点E在⊙A外 (2) (-5,6),相离,相切.
解析
【分析】
(1) 求⊙A的半径：已知弦BC在y轴上，根据垂径定理可先得到BC的一半长度，圆心A到y轴的距离等于A点横坐标的绝对值，再结合勾股定理即可求出半径。判断点E与⊙A的位置关系：计算点E到圆心A的距离，和半径比较大小，距离大于半径则点在圆外，等于则在圆上，小于则在圆内。
(2) 求平移后的圆心D坐标：根据平移的坐标变化规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，对A点坐标进行计算即可。判断⊙D和x轴、y轴的位置关系：分别计算圆心D到x轴、y轴的距离，和半径比较，距离大于半径则相离，等于则相切，小于则相交。
【解析】
(1) 过点A作$AH⊥ BC$于点H，
∵BC在y轴上，A的坐标为$(3,0)$，
∴$AH=3$（即圆心到弦BC的距离为3），
由垂径定理得：$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即⊙A的半径为5。
点$E(-8,0)$到圆心$A(3,0)$的距离$AE=|3-(-8)|=11$，
∵$11＞5$，
∴点E在⊙A外。
(2) 将点$A(3,0)$先向上平移6个单位，纵坐标变为$0+6=6$，再向左平移8个单位，横坐标变为$3-8=-5$，
∴平移后圆心D的坐标为$(-5,6)$。
⊙D的半径仍为5，
圆心D到x轴的距离为$|6|=6$，
∵$6＞5$，
∴⊙D与x轴相离；
圆心D到y轴的距离为$|-5|=5$，
∵$5=5$，
∴⊙D与y轴相切。
【答案】
(1) 5，点E在⊙A外
(2) $(-5,6)$，相离，相切
【知识点】
垂径定理，坐标平移规律，直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了圆的基础性质与平移的知识，解题的核心是熟练掌握垂径定理的应用、点和直线与圆的位置关系判断方法，以及坐标平移的变化规则，整体侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求⊙A的半径：已知弦BC在y轴上，根据垂径定理可先得到BC的一半长度，圆心A到y轴的距离等于A点横坐标的绝对值，再结合勾股定理即可求出半径。判断点E与⊙A的位置关系：计算点E到圆心A的距离，和半径比较大小，距离大于半径则点在圆外，等于则在圆上，小于则在圆内。
(2) 求平移后的圆心D坐标：根据平移的坐标变化规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，对A点坐标进行计算即可。判断⊙D和x轴、y轴的位置关系：分别计算圆心D到x轴、y轴的距离，和半径比较，距离大于半径则相离，等于则相切，小于则相交。
【解析】
(1) 过点A作$AH⊥ BC$于点H，
∵BC在y轴上，A的坐标为$(3,0)$，
∴$AH=3$（即圆心到弦BC的距离为3），
由垂径定理得：$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即⊙A的半径为5。
点$E(-8,0)$到圆心$A(3,0)$的距离$AE=|3-(-8)|=11$，
∵$11＞5$，
∴点E在⊙A外。
(2) 将点$A(3,0)$先向上平移6个单位，纵坐标变为$0+6=6$，再向左平移8个单位，横坐标变为$3-8=-5$，
∴平移后圆心D的坐标为$(-5,6)$。
⊙D的半径仍为5，
圆心D到x轴的距离为$|6|=6$，
∵$6＞5$，
∴⊙D与x轴相离；
圆心D到y轴的距离为$|-5|=5$，
∵$5=5$，
∴⊙D与y轴相切。
【答案】
(1) 5，点E在⊙A外
(2) $(-5,6)$，相离，相切
【知识点】
垂径定理，坐标平移规律，直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了圆的基础性质与平移的知识，解题的核心是熟练掌握垂径定理的应用、点和直线与圆的位置关系判断方法，以及坐标平移的变化规则，整体侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
（1）已知$\odot O$的面积为$36π \ \mathrm{cm}^2$，$\odot O$所在的平面内有一点$P$.当$PO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，点$P$在$\odot O$上；当$PO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，点$P$在$\odot O$内；当$PO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，点$P$在$\odot O$外.
答案
=6,＜6,＞6
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需先求出圆的半径，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系对应求解。首先利用圆的面积公式计算出⊙O的半径，再结合点在圆上、圆内、圆外分别对应的距离与半径的数量关系，即可得出PO的取值。
【解析】
第一步：计算⊙O的半径
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式$S=π r^2$，已知$S=36π \ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$π r^2=36π$
两边同时除以$π$，得$r^2=36$，结合半径为正数，解得$r=6$。
第二步：根据点与圆的位置关系确定PO的取值
点与圆的位置关系满足：
① 当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径，因此当$PO=6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O上；
② 当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，因此当$PO＜6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O内；
③ 当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，因此当$PO＞6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O外。
（后两空取值满足对应大小关系即可）
【答案】
=6，＜6，＞6
【知识点】
圆的面积计算；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆的位置关系的判定，解题的关键是先通过圆的面积求出半径，再牢记“点到圆心的距离等于半径时在圆上、小于半径时在圆内、大于半径时在圆外”的数量特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需先求出圆的半径，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系对应求解。首先利用圆的面积公式计算出⊙O的半径，再结合点在圆上、圆内、圆外分别对应的距离与半径的数量关系，即可得出PO的取值。
【解析】
第一步：计算⊙O的半径
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式$S=π r^2$，已知$S=36π \ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$π r^2=36π$
两边同时除以$π$，得$r^2=36$，结合半径为正数，解得$r=6$。
第二步：根据点与圆的位置关系确定PO的取值
点与圆的位置关系满足：
① 当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径，因此当$PO=6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O上；
② 当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，因此当$PO＜6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O内；
③ 当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，因此当$PO＞6\ \mathrm{cm}$时，点P在⊙O外。
（后两空取值满足对应大小关系即可）
【答案】
=6，＜6，＞6
【知识点】
圆的面积计算；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆的位置关系的判定，解题的关键是先通过圆的面积求出半径，再牢记“点到圆心的距离等于半径时在圆上、小于半径时在圆内、大于半径时在圆外”的数量特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
（2）已知$\odot O$的半径为5 cm，则垂直平分半径的弦长为
$5\sqrt{3}$
cm.答案
$5\sqrt{3}$
解析
【分析】
求解圆中弦长问题优先考虑垂径定理，核心是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再用勾股定理计算。本题已知弦垂直平分半径，可先得出弦心距为半径的一半，再代入直角三角形计算半弦长，最后乘2得到总弦长。
【解析】
设$\odot O$的半径$OA=5\mathrm{cm}$，弦$AB$垂直平分半径$OC$，垂足为$D$。
$\because AB$垂直平分半径$OC$，$OC=5\mathrm{cm}$
$\therefore$ 弦心距$OD=\frac{1}{2}OC=2.5\mathrm{cm}$，且$AB⊥ OC$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AB=2AD$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\sqrt{25-6.25}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$
$\therefore$ 弦长$AB=2AD=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是结合已知条件构造出垂径定理对应的直角三角形，再结合勾股定理求解，属于圆章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
求解圆中弦长问题优先考虑垂径定理，核心是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再用勾股定理计算。本题已知弦垂直平分半径，可先得出弦心距为半径的一半，再代入直角三角形计算半弦长，最后乘2得到总弦长。
【解析】
设$\odot O$的半径$OA=5\mathrm{cm}$，弦$AB$垂直平分半径$OC$，垂足为$D$。
$\because AB$垂直平分半径$OC$，$OC=5\mathrm{cm}$
$\therefore$ 弦心距$OD=\frac{1}{2}OC=2.5\mathrm{cm}$，且$AB⊥ OC$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AB=2AD$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\sqrt{25-6.25}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$
$\therefore$ 弦长$AB=2AD=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是结合已知条件构造出垂径定理对应的直角三角形，再结合勾股定理求解，属于圆章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
（3）已知点P到圆周上的点的最长距离为7，最短距离为3，此圆的半径是
2或5
。答案
2或5
解析
【分析】
解题时首先要明确点与圆存在三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，本题中最长距离与最短距离不相等，因此排除点在圆上的情况，需分剩余两种情况分类讨论：①当点P在圆外时，点到圆上的最长距离、最短距离的差等于圆的直径；②当点P在圆内时，点到圆上的最长距离、最短距离的和等于圆的直径，再结合直径和半径的关系计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点P在圆外：
点到圆周上的最长距离是过圆心的连线与圆远侧交点的距离，最短距离是过圆心的连线与圆近侧交点的距离，因此圆的直径 = 最长距离 - 最短距离 = $7 - 3 = 4$，故半径 $r = 4 ÷ 2 = 2$。
2. 若点P在圆内：
此时过圆心的连线延长后与圆交于两点，两点到P的距离分别为最长、最短距离，因此圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = $7 + 3 = 10$，故半径 $r = 10 ÷ 2 = 5$。
综上，此圆的半径是2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
点与圆的位置关系、圆的基本性质
【点评】
本题考查分类讨论思想，解题时容易遗漏点在圆内的情况，只有全面考虑点的所有可能位置，才能避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确点与圆存在三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，本题中最长距离与最短距离不相等，因此排除点在圆上的情况，需分剩余两种情况分类讨论：①当点P在圆外时，点到圆上的最长距离、最短距离的差等于圆的直径；②当点P在圆内时，点到圆上的最长距离、最短距离的和等于圆的直径，再结合直径和半径的关系计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点P在圆外：
点到圆周上的最长距离是过圆心的连线与圆远侧交点的距离，最短距离是过圆心的连线与圆近侧交点的距离，因此圆的直径 = 最长距离 - 最短距离 = $7 - 3 = 4$，故半径 $r = 4 ÷ 2 = 2$。
2. 若点P在圆内：
此时过圆心的连线延长后与圆交于两点，两点到P的距离分别为最长、最短距离，因此圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = $7 + 3 = 10$，故半径 $r = 10 ÷ 2 = 5$。
综上，此圆的半径是2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
点与圆的位置关系、圆的基本性质
【点评】
本题考查分类讨论思想，解题时容易遗漏点在圆内的情况，只有全面考虑点的所有可能位置，才能避免漏解。
【难度系数】
0.6
(4) 如图，$\odot O$的弦AC与BD相交于点E，则图中相等的圆周角有
[第1(4)题]
4
对。[第1(4)题]
答案
4
解析
【分析】
要找出图中相等的圆周角，首先回忆圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。解题时按顺序枚举圆中各段独立的弧，对应找出每段弧所对的所有圆周角，逐一梳理相等的组合，避免重复计数或者遗漏。
【解析】
根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，逐一分析：
1. 弧AB所对的圆周角为$∠ ADB$和$∠ ACB$，二者相等，是第1对；
2. 弧CD所对的圆周角为$∠ CAD$和$∠ CBD$，二者相等，是第2对；
3. 弧AD所对的圆周角为$∠ ABD$和$∠ ACD$，二者相等，是第3对；
4. 弧BC所对的圆周角为$∠ BAC$和$∠ BDC$，二者相等，是第4对。
综上，相等的圆周角共有4对。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的基础应用，解题时只要按弧的顺序对应查找圆周角，就能避免漏数、多数，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要找出图中相等的圆周角，首先回忆圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。解题时按顺序枚举圆中各段独立的弧，对应找出每段弧所对的所有圆周角，逐一梳理相等的组合，避免重复计数或者遗漏。
【解析】
根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，逐一分析：
1. 弧AB所对的圆周角为$∠ ADB$和$∠ ACB$，二者相等，是第1对；
2. 弧CD所对的圆周角为$∠ CAD$和$∠ CBD$，二者相等，是第2对；
3. 弧AD所对的圆周角为$∠ ABD$和$∠ ACD$，二者相等，是第3对；
4. 弧BC所对的圆周角为$∠ BAC$和$∠ BDC$，二者相等，是第4对。
综上，相等的圆周角共有4对。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的基础应用，解题时只要按弧的顺序对应查找圆周角，就能避免漏数、多数，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. 选择题：
（1）下列说法中，正确的是(
A. 任意三点确定一个圆
B. 相等的圆周角所对的弦相等
C. 把一张圆形纸片对折两次，两条折痕的交点就是圆心
D. 长度相等的弧是等弧
（2）P是半径为5的$\odot O$内一点，且$OP=3$，在$\odot O$中，过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有(
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
（3）如图，$∠ P=40°$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$，$∠ A$的大小为(
A. $10°$
B. $15°$
C. $20°$
D. $30°$
（1）下列说法中，正确的是(
C
).A. 任意三点确定一个圆
B. 相等的圆周角所对的弦相等
C. 把一张圆形纸片对折两次，两条折痕的交点就是圆心
D. 长度相等的弧是等弧
（2）P是半径为5的$\odot O$内一点，且$OP=3$，在$\odot O$中，过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有(
C
).A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
（3）如图，$∠ P=40°$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$，$∠ A$的大小为(
B
).A. $10°$
B. $15°$
C. $20°$
D. $30°$
答案
(1) C (2) C (3) B
解析
【分析】
（1）本题考查圆的基础概念辨析，需逐一验证选项：①A选项：只有不共线的三点可确定一个圆，共线三点无法确定圆，A错误；②B选项：相等圆周角对应弦相等的前提是在同圆或等圆中，缺前提不成立，B错误；③C选项：圆形对折的折痕为直径，两条直径交点为圆心，对折两次的折痕交点就是圆心，C正确；④D选项：等弧是能完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧，D错误。
（2）本题考查过圆内一点的弦长范围：过圆内一点的最长弦为直径，最短弦为过该点且垂直于过该点半径的弦，算出极值后统计整数长度的弦的数量即可，注意弦的对称性。
（3）本题考查圆周角定理与圆外角性质：设等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$的度数为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$，根据圆周总度数为$360°$得$3x+y=360°$；再根据圆外角等于所夹两段弧度数差的一半，得$∠ P=\frac{1}{2}(x-y)=40°$，联立求解得$y$后，$∠ A$是$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角，等于$y$的一半即可得结果。
【解析】
（1）逐个判断选项：
A. 不共线的三点确定一个圆，任意三点可能共线，无法确定圆，A错误；
B. 同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等，缺少前提不成立，B错误；
C. 圆形对折的折痕为直径，两条直径的交点为圆心，对折两次的折痕交点就是圆心，C正确；
D. 等弧是可完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧，D错误。
（2）过P的最长弦为直径，长度为$2×5=10$，仅1条；
过P的最短弦为垂直于OP的弦，由勾股定理得半弦长为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，最短弦长为$4×2=8$，仅1条；
弦长为9的弦根据对称性，在OP两侧各有1条，共2条；
整数弦总共有$1+1+2=4$条。
（3）设$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$的度数为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$，可得：
$\begin{cases}3x+y=360°\\\frac{1}{2}(x-y)=40°\end{cases}$
整理第二个方程得$x-y=80°$，与第一个方程相加得$4x=440°$，解得$x=110°$，代入得$y=30°$。
$∠ A$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，故$∠ A=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}×30°=15°$。
【答案】
(1) C (2) C (3) B
【知识点】
圆的基本概念；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本组题是圆的基础题型，覆盖概念辨析、弦长计算、圆周角相关应用，做题时需注意定理的适用前提，计算弦长时不要遗漏对称的弦，求解角度时要理清弧和圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.7
（1）本题考查圆的基础概念辨析，需逐一验证选项：①A选项：只有不共线的三点可确定一个圆，共线三点无法确定圆，A错误；②B选项：相等圆周角对应弦相等的前提是在同圆或等圆中，缺前提不成立，B错误；③C选项：圆形对折的折痕为直径，两条直径交点为圆心，对折两次的折痕交点就是圆心，C正确；④D选项：等弧是能完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧，D错误。
（2）本题考查过圆内一点的弦长范围：过圆内一点的最长弦为直径，最短弦为过该点且垂直于过该点半径的弦，算出极值后统计整数长度的弦的数量即可，注意弦的对称性。
（3）本题考查圆周角定理与圆外角性质：设等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$的度数为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$，根据圆周总度数为$360°$得$3x+y=360°$；再根据圆外角等于所夹两段弧度数差的一半，得$∠ P=\frac{1}{2}(x-y)=40°$，联立求解得$y$后，$∠ A$是$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角，等于$y$的一半即可得结果。
【解析】
（1）逐个判断选项：
A. 不共线的三点确定一个圆，任意三点可能共线，无法确定圆，A错误；
B. 同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等，缺少前提不成立，B错误；
C. 圆形对折的折痕为直径，两条直径的交点为圆心，对折两次的折痕交点就是圆心，C正确；
D. 等弧是可完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧，D错误。
（2）过P的最长弦为直径，长度为$2×5=10$，仅1条；
过P的最短弦为垂直于OP的弦，由勾股定理得半弦长为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，最短弦长为$4×2=8$，仅1条；
弦长为9的弦根据对称性，在OP两侧各有1条，共2条；
整数弦总共有$1+1+2=4$条。
（3）设$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$的度数为$x$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$y$，可得：
$\begin{cases}3x+y=360°\\\frac{1}{2}(x-y)=40°\end{cases}$
整理第二个方程得$x-y=80°$，与第一个方程相加得$4x=440°$，解得$x=110°$，代入得$y=30°$。
$∠ A$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，故$∠ A=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}×30°=15°$。
【答案】
(1) C (2) C (3) B
【知识点】
圆的基本概念；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本组题是圆的基础题型，覆盖概念辨析、弦长计算、圆周角相关应用，做题时需注意定理的适用前提，计算弦长时不要遗漏对称的弦，求解角度时要理清弧和圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.7
