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5. 锚标浮筒在打捞作业中用来标记锚或沉船位置，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱，尺寸如图所示(单位:mm). 锚标浮筒需要在表面镀一层锌，电镀时每平方米用锌0.11 kg，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要多少锌(精确到0.01 kg)?
答案
5. 约需要用锌35.92 kg
解析
【分析】
要计算100个锚标浮筒的用锌量，首先需算出单个浮筒的电镀总面积。该浮筒由上下两个相同的圆锥和中间的圆柱拼接而成，拼接处的面属于内部，无需电镀，因此单个浮筒的电镀面积=2个圆锥的侧面积+圆柱的侧面积。解题时先统一单位，再分别计算各部分面积，求和后乘以100得到总电镀面积，最后乘每平方米的用锌量即可得到总质量。
【解析】
首先统一单位，将长度单位换算为米：
底面直径800mm=0.8m，故底面半径$r=0.4\mathrm{m}$；圆锥的高$h=300\mathrm{mm}=0.3\mathrm{m}$，圆柱的高$H=800\mathrm{mm}=0.8\mathrm{m}$。
1. 求圆锥的母线长$l$：
由勾股定理得$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{0.4^2+0.3^2}=0.5\mathrm{m}$。
2. 计算2个圆锥的侧面积之和：
单个圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl$，则2个圆锥侧面积为$2×π×0.4×0.5=0.4π\ \mathrm{m^2}$。
3. 计算圆柱的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{柱侧}}=2π rH$，代入得$S_{\mathrm{柱侧}}=2×π×0.4×0.8=0.64π\ \mathrm{m^2}$。
4. 计算单个浮筒的电镀面积：
$S_{\mathrm{单}}=0.4π+0.64π=1.04π\ \mathrm{m^2}$。
5. 计算100个浮筒的总电镀面积：
$S_{\mathrm{总}}=100×1.04π=104π\approx104×3.14=326.56\ \mathrm{m^2}$。
6. 计算总用锌量：
总质量$m=326.56×0.11=35.9216\approx35.92\ \mathrm{kg}$。
【答案】
约需要用锌35.92 kg
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆柱侧面积计算，组合体表面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何体表面积的应用，解题时要注意区分需要计算的外露面，避免误算拼接处的底面面积，同时要注意单位的统一，否则容易出现计算错误。
【难度系数】
0.65
要计算100个锚标浮筒的用锌量，首先需算出单个浮筒的电镀总面积。该浮筒由上下两个相同的圆锥和中间的圆柱拼接而成，拼接处的面属于内部，无需电镀，因此单个浮筒的电镀面积=2个圆锥的侧面积+圆柱的侧面积。解题时先统一单位，再分别计算各部分面积，求和后乘以100得到总电镀面积，最后乘每平方米的用锌量即可得到总质量。
【解析】
首先统一单位，将长度单位换算为米：
底面直径800mm=0.8m，故底面半径$r=0.4\mathrm{m}$；圆锥的高$h=300\mathrm{mm}=0.3\mathrm{m}$，圆柱的高$H=800\mathrm{mm}=0.8\mathrm{m}$。
1. 求圆锥的母线长$l$：
由勾股定理得$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{0.4^2+0.3^2}=0.5\mathrm{m}$。
2. 计算2个圆锥的侧面积之和：
单个圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl$，则2个圆锥侧面积为$2×π×0.4×0.5=0.4π\ \mathrm{m^2}$。
3. 计算圆柱的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{柱侧}}=2π rH$，代入得$S_{\mathrm{柱侧}}=2×π×0.4×0.8=0.64π\ \mathrm{m^2}$。
4. 计算单个浮筒的电镀面积：
$S_{\mathrm{单}}=0.4π+0.64π=1.04π\ \mathrm{m^2}$。
5. 计算100个浮筒的总电镀面积：
$S_{\mathrm{总}}=100×1.04π=104π\approx104×3.14=326.56\ \mathrm{m^2}$。
6. 计算总用锌量：
总质量$m=326.56×0.11=35.9216\approx35.92\ \mathrm{kg}$。
【答案】
约需要用锌35.92 kg
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆柱侧面积计算，组合体表面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何体表面积的应用，解题时要注意区分需要计算的外露面，避免误算拼接处的底面面积，同时要注意单位的统一，否则容易出现计算错误。
【难度系数】
0.65
6. 如图，把半径为1的圆形纸片的四分之三沿半径OA剪开，依次用得到的半圆形纸片和四分之一圆形纸片做成两个圆锥的侧面. 求这两个圆锥的底面积之比.
答案
6. 4:1
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一关系。首先分别计算半圆形、四分之一圆形两个扇形的弧长，将弧长对应为两个圆锥的底面周长，求出两个底面的半径，再分别计算底面积，最后求比值即可。
【解析】
设原圆形纸片半径$R=1$，用半圆形纸片做成的圆锥底面半径为$r_1$，用四分之一圆形纸片做成的圆锥底面半径为$r_2$。
1. 计算两个扇形的弧长：
半圆形纸片的弧长：$l_1=\frac{1}{2}×2π R=π×1=π$
四分之一圆形纸片的弧长：$l_2=\frac{1}{4}×2π R=\frac{π}{2}×1=\frac{π}{2}$
2. 根据弧长等于底面周长求底面半径：
对第一个圆锥：$2π r_1=l_1=π$，解得$r_1=\frac{1}{2}$
对第二个圆锥：$2π r_2=l_2=\frac{π}{2}$，解得$r_2=\frac{1}{4}$
3. 计算底面积并求比值：
第一个圆锥底面积：$S_1=π r_1^2=π×(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{4}$
第二个圆锥底面积：$S_2=π r_2^2=π×(\frac{1}{4})^2=\frac{π}{16}$
底面积之比$S_1:S_2=\frac{π}{4}:\frac{π}{16}=4:1$
【答案】
$4:1$
【知识点】
圆锥侧展性质、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题是扇形与圆锥相关知识的基础应用题，解题关键是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，只要准确掌握相关公式，理清数量关系就能顺利求解，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，核心是利用“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一关系。首先分别计算半圆形、四分之一圆形两个扇形的弧长，将弧长对应为两个圆锥的底面周长，求出两个底面的半径，再分别计算底面积，最后求比值即可。
【解析】
设原圆形纸片半径$R=1$，用半圆形纸片做成的圆锥底面半径为$r_1$，用四分之一圆形纸片做成的圆锥底面半径为$r_2$。
1. 计算两个扇形的弧长：
半圆形纸片的弧长：$l_1=\frac{1}{2}×2π R=π×1=π$
四分之一圆形纸片的弧长：$l_2=\frac{1}{4}×2π R=\frac{π}{2}×1=\frac{π}{2}$
2. 根据弧长等于底面周长求底面半径：
对第一个圆锥：$2π r_1=l_1=π$，解得$r_1=\frac{1}{2}$
对第二个圆锥：$2π r_2=l_2=\frac{π}{2}$，解得$r_2=\frac{1}{4}$
3. 计算底面积并求比值：
第一个圆锥底面积：$S_1=π r_1^2=π×(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{4}$
第二个圆锥底面积：$S_2=π r_2^2=π×(\frac{1}{4})^2=\frac{π}{16}$
底面积之比$S_1:S_2=\frac{π}{4}:\frac{π}{16}=4:1$
【答案】
$4:1$
【知识点】
圆锥侧展性质、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题是扇形与圆锥相关知识的基础应用题，解题关键是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，只要准确掌握相关公式，理清数量关系就能顺利求解，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
