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（1）如图，剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型.已知圆的半径为$r$，扇形的半径为$R$，扇形的圆心角等于$120°$，则$r$与$R$之间的关系是(
[第2(1)题]
A.$R=2r$
B.$R=\sqrt{3}r$
C.$R=3r$
D.$R=4r$
C
).[第2(1)题]
A.$R=2r$
B.$R=\sqrt{3}r$
C.$R=3r$
D.$R=4r$
答案
2.（1）C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确圆锥的构成：扇形围成圆锥的侧面，圆形作为圆锥的底面，二者连接时，扇形的弧长恰好等于底面圆的周长，这是解题的核心等量关系。接下来分别计算扇形的弧长和底面圆的周长，令二者相等建立等式，即可推导得出r与R的关系。
【解析】
解：
∵ 扇形恰好和圆围成圆锥，
∴ 扇形的弧长等于底面圆的周长。
根据弧长公式，圆心角为120°、半径为R的扇形弧长为：
$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π R}{180}=\frac{2π R}{3}$
半径为r的圆的周长为：
$C=2π r$
令二者相等可得：
$\frac{2π R}{3}=2π r$
两边同时约去$2π$，解得：$R=3r$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图（扇形）与底面圆的对应关系，只要抓住“扇形弧长=底面圆周长”这一等量关系，结合弧长、周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确圆锥的构成：扇形围成圆锥的侧面，圆形作为圆锥的底面，二者连接时，扇形的弧长恰好等于底面圆的周长，这是解题的核心等量关系。接下来分别计算扇形的弧长和底面圆的周长，令二者相等建立等式，即可推导得出r与R的关系。
【解析】
解：
∵ 扇形恰好和圆围成圆锥，
∴ 扇形的弧长等于底面圆的周长。
根据弧长公式，圆心角为120°、半径为R的扇形弧长为：
$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π R}{180}=\frac{2π R}{3}$
半径为r的圆的周长为：
$C=2π r$
令二者相等可得：
$\frac{2π R}{3}=2π r$
两边同时约去$2π$，解得：$R=3r$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图（扇形）与底面圆的对应关系，只要抓住“扇形弧长=底面圆周长”这一等量关系，结合弧长、周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（2）在一张矩形纸片上裁剪出一个扇形，用这个扇形围成一个底面半径为2 cm，母线长为3 cm的圆锥的侧面.以下是可供选用的矩形纸片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形纸片是(
A.6 cm×4 cm
B.6 cm×4.5 cm
C.7 cm×4 cm
D.7 cm×4.5 cm
B
).A.6 cm×4 cm
B.6 cm×4.5 cm
C.7 cm×4 cm
D.7 cm×4.5 cm
答案
2.（2）B
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先利用圆锥的性质求侧面展开扇形的圆心角，圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合弧长公式即可算出圆心角；第二步分析扇形在矩形中的最优放置方式，找到使矩形面积最小时对应的长和宽，再对比选项选出符合要求的答案即可。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的圆心角：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，因此底面周长$C=2π r=2π×2=4π\mathrm{cm}$。
设扇形圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$R=3\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入弧长$l=4π$得：
$4π=\frac{nπ×3}{180}$
约去$π$后解得$n=240$，即扇形为圆心角240°、半径3cm的扇形。
2. 求最小矩形的长和宽：
要使矩形面积最小，需让扇形边界尽量贴合矩形边：扇形水平方向最大跨度为$2×3=6\mathrm{cm}$，即矩形的长为6cm；240°圆心角拆分后可得到含30°角的直角三角形，30°角所对直角边为斜边的一半，长度为$3×\frac{1}{2}=1.5\mathrm{cm}$，因此矩形的宽为$3+1.5=4.5\mathrm{cm}$。
综上，符合要求且面积最小的矩形为$6\mathrm{cm}×4.5\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、矩形最值计算
【点评】
本题结合了圆锥相关公式应用和实际裁剪的几何分析，既考查基础公式的掌握程度，也考查空间想象能力，需要结合图形特征推导最优放置方式，属于典型的综合应用型题目。
【难度系数】
0.6
解题分两步进行：第一步先利用圆锥的性质求侧面展开扇形的圆心角，圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合弧长公式即可算出圆心角；第二步分析扇形在矩形中的最优放置方式，找到使矩形面积最小时对应的长和宽，再对比选项选出符合要求的答案即可。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的圆心角：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，因此底面周长$C=2π r=2π×2=4π\mathrm{cm}$。
设扇形圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$R=3\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入弧长$l=4π$得：
$4π=\frac{nπ×3}{180}$
约去$π$后解得$n=240$，即扇形为圆心角240°、半径3cm的扇形。
2. 求最小矩形的长和宽：
要使矩形面积最小，需让扇形边界尽量贴合矩形边：扇形水平方向最大跨度为$2×3=6\mathrm{cm}$，即矩形的长为6cm；240°圆心角拆分后可得到含30°角的直角三角形，30°角所对直角边为斜边的一半，长度为$3×\frac{1}{2}=1.5\mathrm{cm}$，因此矩形的宽为$3+1.5=4.5\mathrm{cm}$。
综上，符合要求且面积最小的矩形为$6\mathrm{cm}×4.5\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、矩形最值计算
【点评】
本题结合了圆锥相关公式应用和实际裁剪的几何分析，既考查基础公式的掌握程度，也考查空间想象能力，需要结合图形特征推导最优放置方式，属于典型的综合应用型题目。
【难度系数】
0.6
3. 如图，圆锥的高为$\sqrt{3}$，底面半径为1，求圆锥侧面展开图的面积. 
答案
3. $2π$
解析
【分析】
要求圆锥侧面展开图的面积，即求圆锥侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长。本题已知底面半径$r=1$，只需先求出母线长$l$即可。圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式就能得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=1$，高$h=\sqrt{3}$。
圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足直角三角形三边关系，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入数值计算：
$S_{侧}=π×1×2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理，圆锥母线定义，圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握圆锥各参数的对应关系，熟练运用圆锥侧面积公式求解，计算量小，理清各量关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要求圆锥侧面展开图的面积，即求圆锥侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长。本题已知底面半径$r=1$，只需先求出母线长$l$即可。圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式就能得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=1$，高$h=\sqrt{3}$。
圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足直角三角形三边关系，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入数值计算：
$S_{侧}=π×1×2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理，圆锥母线定义，圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握圆锥各参数的对应关系，熟练运用圆锥侧面积公式求解，计算量小，理清各量关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. 如图，一只虫子从圆柱上点A处绕圆柱爬一圈到点B处. 圆柱的高为6 cm，圆柱底面圆的周长为8 cm，求虫子爬行的最短路程.
答案
4. 10 cm
解析
【分析】
要求圆柱侧面上从A绕一圈到B的最短路程，首先需将曲面问题转化为平面问题求解，因为平面内两点之间线段最短。我们可以把圆柱侧面沿AB所在的母线剪开，展开为长方形，此时A、B两点在长方形上的位置确定后，连接两点的线段长度就是最短路径，再利用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A、B的母线剪开，展开得到一个长方形：
该长方形的长等于圆柱底面圆的周长，即8 cm；
长方形的宽等于圆柱的高，即6 cm；
虫子爬行的最短路程为该长方形的对角线长度，根据勾股定理：
最短路程 = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10（cm）
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题核心是运用转化思想，将立体曲面的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，解题关键是正确得到圆柱侧面展开后各边对应的长度，再结合勾股定理计算，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
要求圆柱侧面上从A绕一圈到B的最短路程，首先需将曲面问题转化为平面问题求解，因为平面内两点之间线段最短。我们可以把圆柱侧面沿AB所在的母线剪开，展开为长方形，此时A、B两点在长方形上的位置确定后，连接两点的线段长度就是最短路径，再利用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A、B的母线剪开，展开得到一个长方形：
该长方形的长等于圆柱底面圆的周长，即8 cm；
长方形的宽等于圆柱的高，即6 cm；
虫子爬行的最短路程为该长方形的对角线长度，根据勾股定理：
最短路程 = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10（cm）
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题核心是运用转化思想，将立体曲面的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，解题关键是正确得到圆柱侧面展开后各边对应的长度，再结合勾股定理计算，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
