在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，砂轮打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
你还能举出类似的例子吗？

【分析】
解题的核心依据是圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此做圆周运动的物体，在脱离圆周约束的瞬间，运动方向就是圆在该点的切线方向。解题时只需结合生活中“物体先做圆周运动、之后脱离约束”的场景，筛选符合该规律的实例即可。
【解析】
首先明确切线对应运动的特征：当物体沿圆周运动时，若突然脱离圆周轨道，飞出方向就是该位置圆的切线方向。我们可以从体育运动、日常场景中寻找符合特征的实例，常见的合理实例如下：
1. 田径比赛掷链球项目中，运动员旋转甩动链球，松手后链球会沿圆周的切线方向飞出；
2. 旋转的陀螺表面附着的小水珠，会沿陀螺圆周的切线方向飞出；
3. 汽车在积水路面快速行驶时，轮胎甩出的水滴沿轮胎边缘的切线方向飞出。
【答案】
示例：①掷链球时，链球沿切线方向飞出；②旋转的陀螺上的水珠沿切线方向飞出；③汽车行驶时轮胎甩出的泥水沿切线方向飞出（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 圆的切线性质
2. 切线的实际应用
【点评】
本题将数学知识与生活实际紧密结合，考查对圆切线概念和性质的理解，引导学生用数学视角观察生活现象，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.8

例1 如图3-21，直线AB经过⊙O上的点A，且AB=OA，∠OBA=45°.求证:直线AB是⊙O的切线.

∵ AB=OA,且∠OBA=45°,
∴ ∠AOB=45°.
∴ ∠OAB=90°,即 OA⊥AB. 又
∵ 点A在⊙O上,
∴ 直线AB是⊙O的切线

【分析】
要证明直线AB是⊙O的切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。已知点A在⊙O上，说明OA是⊙O的半径，因此只需证明OA⊥AB即可。根据已知AB=OA，可知△OAB为等腰三角形，结合∠OBA=45°，利用等腰三角形等边对等角的性质可得到∠AOB的度数，再通过三角形内角和定理计算∠OAB的度数，判断其是否为直角，即可完成证明。
【解析】
∵ AB=OA，且∠OBA=45°，
∴ ∠AOB=∠OBA=45°，
∴ ∠OAB=180°-∠AOB-∠OBA=180°-45°-45°=90°，即OA⊥AB，
又
∵ 点A在⊙O上，OA是⊙O的半径，
∴ 直线AB是⊙O的切线。
【答案】
直线AB是⊙O的切线
【知识点】
切线的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是切线判定的基础应用题，解题核心是牢记切线判定的两个必备条件，结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识推导垂直关系即可，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.9

例2 如图3-22，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。 图3-22

连接OC.
∵ CD是⊙O的切线,
∴ OC⊥CD. 又
∵ AD⊥CD,
∴ OC//AD.
∴ ∠DAC=∠OCA.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∴ ∠DAC=∠OAC,即 AC 平分∠DAB

【分析】
要证明AC平分∠DAB，需证∠DAC=∠OAC。遇到圆的切线时，通常作辅助线连接圆心与切点，利用切线性质得到垂直关系：首先连接OC，可得OC⊥CD，结合已知AD⊥CD可推出OC//AD，得到内错角∠DAC=∠OCA；再由OA、OC均为⊙O的半径，可知△OAC为等腰三角形，有∠OAC=∠OCA，通过等量代换即可得到两角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OC.
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD.
又
∵ AD⊥CD，
∴ OC//AD.
∴ ∠DAC=∠OCA.
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA.
∴ ∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。
【答案】
AC平分∠DAB
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础证明题，解题关键是掌握“遇切线，连接切点与圆心”的常用辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的角的性质做等量代换即可求解，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

(1) 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，此三角形是三角形；

1.(1) 直角

【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。我们可以先设定三角形的边，明确以某条边为直径的圆和另一条边相切时，两条边的公共端点就是切点，该点既在圆上，也在切线上。再结合半径与切线的垂直关系，就能推导出三角形的两条边互相垂直，进而判断三角形的类型。
【解析】
设△ABC中，以边BC为直径的圆与边AB相切。
∵ BC是圆的直径，点B是直径的一个端点，
∴ 点B在圆上，即AB与圆的切点为B。
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得过切点B的半径与AB垂直。
又
∵ 直径BC经过圆心和点B，半径在BC所在直线上，因此BC⊥AB，即∠B=90°。
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
1. 切线的性质
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，将圆的切线性质和三角形形状判定结合考查，解题的关键是找准切点，利用切线的垂直性质推导三角形的内角为直角。
【难度系数】
0.85

（2）如图，PA切⊙O于点A，PA=2√3 cm，PO=4 cm，⊙O的半径为 cm；


[第1(2)题]
[第1(3)题]

1.(2) 2

【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。因此我们可以连接圆心O和切点A，得到直角三角形PAO，再结合已知的两条边长，用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
连接OA，
∵ PA切⊙O于点A，OA是⊙O的半径，
∴ OA⊥PA，即∠OAP=90°，△OAP为直角三角形。
在Rt△OAP中，PA=2√3 cm，PO=4 cm，
根据勾股定理：OA² + PA² = PO²，
∴ OA = √(PO² - PA²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2(cm)，
即⊙O的半径为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线性质的基础应用题型，解题的关键是通过连接圆心与切点构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知线段长度，熟练掌握切线的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

(3) 如图，AB是$\odot O$的直径，EF是$\odot O$的切线，图中相等的角有.

1.(3) ∠C=∠BAE=∠BAF=90°,∠B=∠CAE

【分析】
解题时先从题目的已知条件入手：①看到“AB是⊙O的直径”，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得到∠C=90°；②看到“EF是⊙O的切线”，优先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，若切点为A，则AB⊥EF，可得到∠BAE=∠BAF=90°，先推出第一组相等的直角。接下来观察直角中的互余角：∠B与∠BAC互余，∠CAE与∠BAC也互余，根据同角的余角相等，就能推出第二组相等的角。
【解析】
解：1. 由AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得：
$∠ C=90°$
2. 由EF是⊙O的切线，切点为A，根据“切线垂直于过切点的半径”，可得$AB⊥ EF$，因此：
$∠ BAE=∠ BAF=90°$
综上可得$∠ C=∠ BAE=∠ BAF=90°$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B + ∠ BAC=90°$；
又$∠ BAE=90°$，即$∠ CAE + ∠ BAC=90°$；
根据“同角的余角相等”，可得$∠ B=∠ CAE$。
【答案】
$∠ C=∠ BAE=∠ BAF=90°,∠ B=∠ CAE$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，切线的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是圆相关角的等量关系基础题，解题核心是熟练掌握直径、切线的相关性质，结合直角的互余关系推导角的等量关系，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8