(2) ⊙O的半径为6 cm，点P在直线l上.若OP=6 cm，则直线l与⊙O的位置关系是().

A.相切
B.相交
C.相离
D.相交或相切

D

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题已知圆半径r=6cm，OP=6cm且P在直线l上，注意OP是圆心到直线上一点的连线，不是圆心到直线的距离，只有当OP垂直于l时，OP的长度才等于d。根据垂线段最短可得d≤OP=6cm，即d≤r，据此分情况讨论即可得出结论。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
由题意可知r=6cm，
∵点P在直线l上，OP=6cm，根据垂线段最短的性质，可得圆心到直线的距离d≤OP=6cm，即d≤r，分两种情况：
①若OP⊥l，此时d=OP=6cm=r，直线l与⊙O相切；
②若OP与l不垂直，此时d＜OP=6cm＜r，直线l与⊙O相交。
因此直线l与⊙O的位置关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定 2.垂线段最短
【点评】
本题易错选A，错误原因是直接将OP的长度当成圆心到直线的距离，忽略了OP不一定与直线l垂直的情况，解题时要明确点到直线的距离是垂线段的长度，需结合分类讨论思想分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

（3）已知$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$.如果$\odot O$与$l$有公共点，那么$r$与$d$之间的关系是（）.

A.$d＞r$
B.$d=r$
C.$d＜r$
D.$d≤ r$

D

【分析】
解题时首先回忆直线与圆的三种位置关系对应的圆心到直线的距离d、半径r的大小关系，以及每种位置下公共点的数量：首先明确“有公共点”包含有1个公共点和2个公共点两种情况，再对应找到对应的d与r的关系即可得出答案。
【解析】
直线与圆的位置关系有三种，对应关系如下：
1. 当直线与圆相离时，$d＞r$，此时直线与圆没有公共点；
2. 当直线与圆相切时，$d=r$，此时直线与圆有1个公共点；
3. 当直线与圆相交时，$d＜r$，此时直线与圆有2个公共点。
已知$\odot O$与直线$l$有公共点，说明位置关系为相切或相交，因此对应的$d$与$r$的关系是$d=r$或$d＜r$，即$d≤ r$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，解题时注意“有公共点”同时包含相切、相交两种情况，不要漏记相切时也有1个公共点，避免误选C选项。
【难度系数】
0.9

3. 在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ BAC=90°$.若以点$A$为圆心，半径为$R$的圆与$BC$相切，则$R$是多少？

$2\sqrt{2}$

【分析】
要解决这个问题，首先根据直线与圆相切的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，可知所求R就是点A到直线BC的垂线段的长度。接下来结合△ABC是等腰直角三角形的特征，我们可以先通过勾股定理求出斜边BC的长度，再利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出R的值。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D。
∵$\odot A$与$BC$相切，
∴圆心A到切线$BC$的距离等于半径，即$AD=R$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
又
∵$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×4=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× R$，
化简得：$8=2\sqrt{2}R$，
解得：$R=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题核心是将求圆半径的问题转化为求点到直线的距离问题，解题关键是熟练掌握直线与圆相切的性质，结合等腰直角三角形的特点，用面积法快速求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

4. 如图，直线$ l $与$ \odot O $相交于$ A $，$ B $两点.
（1）已知点$ O $到直线$ l $的距离为$ 3 $，$ AB=8 $，求$ \odot O $的半径；
（2）已知$ \odot O $的半径为$ 5 $，点$ O $到直线$ l $的距离为$ 3 $，则$ \odot O $上到直线$ l $的距离为$ 2 $的点有多少个？

(1) 5 (2) 3个

【分析】
（1）对于圆中已知弦长和圆心到弦所在直线的距离求半径的问题，首先想到利用垂径定理：过圆心作弦的垂线，平分弦，从而得到弦长的一半，再结合直角三角形的勾股定理，即可求出半径长度。
（2）要找圆上到直线l距离为2的点，可转化为：作两条与直线l平行、且到直线l的距离为2的直线，判断这两条直线与圆的交点个数，交点个数就是符合条件的点的个数。
【解析】
（1）过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$，
由题意知$OC=3$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{OC^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$，
即$\odot O$的半径为5。
（2）作两条与直线l平行的直线$l_1$、$l_2$，使得$l_1$在l与O之间，且到l的距离为2；$l_2$在l的另一侧，且到l的距离为2。
已知O到l的距离为3，则$l_1$到圆心O的距离为$3-2=1$，因为$1＜5$（半径），所以$l_1$与$\odot O$相交，有2个交点；
$l_2$到圆心O的距离为$3+2=5$，等于$\odot O$的半径，所以$l_2$与$\odot O$相切，只有1个交点；
综上，符合条件的点共有$2+1=3$个。
【答案】
（1）$\boxed{5}$；（2）$\boxed{3个}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是利用垂径定理建立弦长、圆心距、半径的数量关系，第二问将点到直线的距离问题转化为直线与圆的交点问题，能有效降低思考难度，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

5. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$.
（1）以点$C$为圆心作圆，当半径为多长时，$AB$与$\odot C$相切？
（2）以点$C$为圆心，分别以$1\ \mathrm{cm}$和$2\ \mathrm{cm}$的长为半径作两个圆，这两个圆分别与$AB$有怎样的位置关系？

(1) $\sqrt{3}\mathrm{cm}$
(2) 相离，相交

【分析】
解决直线与圆的位置关系问题，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d=r$时直线与圆相切，$d＞r$时直线与圆相离，$d＜r$时直线与圆相交。针对本题：
1. 第(1)问要找$AB$与$\odot C$相切时的半径，只需先求出点$C$到$AB$的距离，该距离就是所求的相切半径；
2. 第(2)问将两个给定半径和上述距离比较，即可直接判断位置关系。
具体计算时，先利用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ ABC$的另一条直角边$BC$，再通过直角三角形面积法求出斜边$AB$上的高，也就是点$C$到$AB$的距离$d$，再按要求解答即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$，则$CD$为圆心$C$到直线$AB$的距离$d$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4× CD$，
解得$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
当$AB$与$\odot C$相切时，半径$r=d=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可知圆心$C$到$AB$的距离$d=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$：
① 当半径$r_1=1\ \mathrm{cm}$时，$r_1＜d$，此时$\odot C$与$AB$相离；
② 当半径$r_2=2\ \mathrm{cm}$时，$r_2＞d$，此时$\odot C$与$AB$相交。
【答案】
(1) $\sqrt{3}\mathrm{cm}$
(2) 半径为$1\mathrm{cm}$时相离，半径为$2\mathrm{cm}$时相交
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是掌握不同位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，结合直角三角形的性质求解即可，重点考查基础概念的掌握程度和简单运算能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$∠ O=30°$，点$M$在$OB$上，且$OM=5\ \mathrm{cm}$，以点$M$为圆心，$r$为半径画圆.
（1）讨论射线$OA$与$\odot M$的公共点个数，并写出$r$相应的取值范围；
（2）若$C$是$OA$上一点，$OC=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，讨论线段$OC$与$\odot M$的公共点个数，并写出$r$相应的取值范围.

（1）当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$无公共点;当$r=2.5\ \mathrm{cm}$或$r＞5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$有一个公共点;当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$有两个公共点
（2）当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$无公共点;当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$有一个公共点;当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$有两个公共点;当$r＞5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$无公共点

【分析】
解决本题的核心是先求出圆心M到直线OA的距离d，再结合直线与圆位置关系的判定规则（d＞r相离、d=r相切、d＜r相交），同时注意区分射线、线段和直线的差异，结合端点与圆的位置关系分情况讨论公共点个数：
1. 先过M作OA的垂线，利用30°直角三角形的性质求出d=2.5cm；
2. 第一问讨论射线OA时，除了基础的相切、相交、相离情况，还要考虑半径大于OM时，射线仅与圆有1个交点的情况；
3. 第二问讨论线段OC时，先求出C到M的距离，结合线段两个端点O、C与圆的位置关系，调整分类讨论的范围。
【解析】
过点M作$MP⊥ OA$于点P，在$\mathrm{Rt}△ OMP$中，$∠ O=30°$，$OM=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MP=OM·\sin30°=5×\frac{1}{2}=2.5\ \mathrm{cm}$，即圆心M到直线OA的距离$d=2.5\ \mathrm{cm}$。
（1）讨论射线$OA$与$\odot M$的公共点个数：
①当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时，$d＞r$，直线$OA$与$\odot M$相离，故射线$OA$与$\odot M$无公共点；
②当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，直线$OA$与$\odot M$相切，切点在射线$OA$上，故有1个公共点；
③当$2.5\ \mathrm{cm}＜r\le5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，直线$OA$与$\odot M$相交，此时点$O$到$M$的距离为$5\mathrm{cm}\ge r$，$O$在圆上或圆外，故射线$OA$与$\odot M$有2个公共点；
④当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，直线$OA$与$\odot M$相交，但$OM=5\mathrm{cm}＜r$，点$O$在圆内，射线$OA$从圆内出发仅与圆相交1次，故有1个公共点。
（2）先求$MC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ OMP$中，$OP=OM·\cos30°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\because OC=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$\therefore PC=OC-OP=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ MPC$中，$MC=\sqrt{MP^2+PC^2}=\sqrt{2.5^2+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2}=5\ \mathrm{cm}$，即$MC=OM=5\ \mathrm{cm}$。
讨论线段$OC$与$\odot M$的公共点个数：
①当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时，$d＞r$，直线$OA$与$\odot M$相离，故线段$OC$与$\odot M$无公共点；
②当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，直线$OA$与$\odot M$相切，切点在线段$OC$上，故有1个公共点；
③当$2.5\ \mathrm{cm}＜r\le5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，直线$OA$与$\odot M$相交，且$O$、$C$到$M$的距离均为$5\mathrm{cm}\ge r$，两点在圆上或圆外，两个交点均在线段$OC$上，故有2个公共点；
④当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，$OM=MC=5\mathrm{cm}＜r$，$O$、$C$均在圆内，线段$OC$全部在圆内，故无公共点。
【答案】
（1）当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$无公共点;当$r=2.5\ \mathrm{cm}$或$r＞5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$有一个公共点;当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与射线$OA$有两个公共点
（2）当$0＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$无公共点;当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$有一个公共点;当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$有两个公共点;当$r＞5\ \mathrm{cm}$时,$\odot M$与线段$OC$无公共点
【知识点】
直线与圆的位置关系、解直角三角形、分类讨论思想
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型题型，易错点是忽略射线、线段与直线的差异，仅按照直线与圆的位置关系判定漏算端点的影响，解题时要结合边界点与圆的位置关系完整分类，避免漏解。
【难度系数】
0.65