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（1）下列说法中，正确的是（
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于圆的半径
C.切线垂直于半径
D.经过切点的半径垂直于切线
D
）。A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于圆的半径
C.切线垂直于半径
D.经过切点的半径垂直于切线
答案
2.(1) D
解析
【分析】
要解决这道题，需准确掌握切线的判定定理和性质定理的完整表述，逐一比对每个选项是否符合定理的限定条件：首先回忆核心定理，切线的性质是“圆的切线垂直于经过切点的半径”，切线的判定是“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，接下来逐个排查选项的表述是否缺少必要限定条件即可判断对错。
【解析】
我们结合切线的相关定理逐一分析选项：
A选项：垂直于半径的直线，若没有经过半径的外端（即切点），则不是圆的切线，不符合切线的判定定理，表述错误；
B选项：圆有无数条半径，切线仅垂直于经过切点的半径，并非垂直于所有半径，表述缺少限定条件，错误；
C选项：和B选项同理，没有指明是“经过切点的半径”，表述不严谨，错误；
D选项：“经过切点的半径垂直于切线”完全符合切线的性质定理，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1.切线的性质定理
2.切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略切线相关定理中“经过切点”“经过半径外端”这类关键限定条件，学习时要准确记忆定理的完整表述，避免因漏记前提条件出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需准确掌握切线的判定定理和性质定理的完整表述，逐一比对每个选项是否符合定理的限定条件：首先回忆核心定理，切线的性质是“圆的切线垂直于经过切点的半径”，切线的判定是“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，接下来逐个排查选项的表述是否缺少必要限定条件即可判断对错。
【解析】
我们结合切线的相关定理逐一分析选项：
A选项：垂直于半径的直线，若没有经过半径的外端（即切点），则不是圆的切线，不符合切线的判定定理，表述错误；
B选项：圆有无数条半径，切线仅垂直于经过切点的半径，并非垂直于所有半径，表述缺少限定条件，错误；
C选项：和B选项同理，没有指明是“经过切点的半径”，表述不严谨，错误；
D选项：“经过切点的半径垂直于切线”完全符合切线的性质定理，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1.切线的性质定理
2.切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略切线相关定理中“经过切点”“经过半径外端”这类关键限定条件，学习时要准确记忆定理的完整表述，避免因漏记前提条件出错。
【难度系数】
0.7
（2）如图，AB为$\odot O$的直径，BC为$\odot O$的切线，AC交$\odot O$于点D.图中互余的角有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[第2(2)题]
[第2(3)题]
D
).A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[第2(2)题]
[第2(3)题]
答案
2.(2) D
解析
【分析】
要找出图中互余的角，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。解题时先结合已知条件推导图中的直角：①根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥BC，即∠ABC=90°；②根据直径所对的圆周角是直角，连接BD可得∠ADB=∠BDC=90°。再从每个直角对应的直角三角形中，找出两个锐角和为90°的组合，逐一计数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知，BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，因此AB⊥BC，∠ABC=90°：
∴ ∠A + ∠C = 90°，∠ABD + ∠CBD = 90°，得到2对互余的角；
2. 由直径所对的圆周角是直角，AB为直径，因此∠ADB=90°，△ABD为直角三角形：
∴ ∠A + ∠ABD = 90°，得到第3对互余的角；
3. 由∠BDC=180°-∠ADB=90°，△BCD为直角三角形：
∴ ∠C + ∠CBD = 90°，得到第4对互余的角。
综上，共有4对互余的角。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，余角的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，找到图中的所有直角，再按规律梳理互余的角，避免漏数。
【难度系数】
0.7
要找出图中互余的角，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。解题时先结合已知条件推导图中的直角：①根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥BC，即∠ABC=90°；②根据直径所对的圆周角是直角，连接BD可得∠ADB=∠BDC=90°。再从每个直角对应的直角三角形中，找出两个锐角和为90°的组合，逐一计数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知，BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，因此AB⊥BC，∠ABC=90°：
∴ ∠A + ∠C = 90°，∠ABD + ∠CBD = 90°，得到2对互余的角；
2. 由直径所对的圆周角是直角，AB为直径，因此∠ADB=90°，△ABD为直角三角形：
∴ ∠A + ∠ABD = 90°，得到第3对互余的角；
3. 由∠BDC=180°-∠ADB=90°，△BCD为直角三角形：
∴ ∠C + ∠CBD = 90°，得到第4对互余的角。
综上，共有4对互余的角。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，余角的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，找到图中的所有直角，再按规律梳理互余的角，避免漏数。
【难度系数】
0.7
(3)如图，AE切$\odot D$于点E，$AC=CD=DB=10$，线段AE的长为(
A.$10\sqrt{2}$
B.$15$
C.$10\sqrt{3}$
D.$20$
C
).A.$10\sqrt{2}$
B.$15$
C.$10\sqrt{3}$
D.$20$
答案
2.(3) C
解析
【分析】
遇到圆的切线相关的线段计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此第一步先连接圆心D和切点E，得到直角三角形AED。接下来根据已知的线段长度，先求出直角三角形的斜边AD和直角边DE的长度，最后利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：连接DE，
∵AE切⊙D于点E，根据切线的性质可得DE⊥AE，即△AED为直角三角形，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=AC+CD=10+10=20，DE是⊙D的半径，故DE=CD=10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，再结合勾股定理完成计算，是切线相关计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关的线段计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此第一步先连接圆心D和切点E，得到直角三角形AED。接下来根据已知的线段长度，先求出直角三角形的斜边AD和直角边DE的长度，最后利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：连接DE，
∵AE切⊙D于点E，根据切线的性质可得DE⊥AE，即△AED为直角三角形，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=AC+CD=10+10=20，DE是⊙D的半径，故DE=CD=10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，再结合勾股定理完成计算，是切线相关计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$OA=OB=13\ \mathrm{cm}$，$AB=24\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$. 求证：$AB$是$\odot O$的切线.
答案
提示:作OC⊥AB,垂足为C,易求得OC=5 cm
解析
【分析】要证明AB是⊙O的切线，可根据切线的判定方法：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。本题未明确AB与⊙O的公共点，因此先过圆心O作AB的垂线OC，只需证明OC的长度等于⊙O的半径即可。首先利用等腰三角形三线合一的性质求出AC的长度，再通过勾股定理计算OC的长度，最后将OC与半径比较即可完成证明。
【解析】
证明：过点$O$作$OC⊥ AB$，垂足为$C$。
$\because OA=OB=13\ \mathrm{cm}$，$OC⊥ AB$，
$\therefore △ OAB$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because AB=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
$\because \odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，即$OC=r$。
又$\because OC⊥ AB$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
AB是$\odot O$的切线，得证。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于切线判定的基础常考题，核心考查切线的判定思路：当未明确直线与圆的公共点时，优先选择“作垂线，证距离等于半径”的方法，结合等腰三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：过点$O$作$OC⊥ AB$，垂足为$C$。
$\because OA=OB=13\ \mathrm{cm}$，$OC⊥ AB$，
$\therefore △ OAB$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because AB=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
$\because \odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，即$OC=r$。
又$\because OC⊥ AB$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
AB是$\odot O$的切线，得证。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于切线判定的基础常考题，核心考查切线的判定思路：当未明确直线与圆的公共点时，优先选择“作垂线，证距离等于半径”的方法，结合等腰三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$\odot O$的半径是3 cm，B是$\odot O$外一点，OB交$\odot O$于点A，$AB=OA$，动点P从点A出发，以$π$ cm/s的速度在$\odot O$上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动多少时间时，BP与$\odot O$相切？
答案
1 s或5 s
解析
【分析】
要判断BP与⊙O相切时的运动时间，首先根据切线的性质可知，相切时过切点的半径OP与BP垂直，得到直角三角形OPB。结合已知线段长度可求出圆心角∠POB的度数，再考虑点P逆时针运动的两种相切位置（短弧AP和长弧AP两种情况），分别计算对应弧长，最后根据“时间=路程÷速度”即可求出运动时间。
【解析】
连接OP，当BP与⊙O相切时，根据切线的性质可得∠OPB=90°。
已知⊙O半径OP=OA=3cm，又AB=OA，因此OB=OA+AB=3+3=6cm。
在Rt△OPB中，OP=3cm=$\frac{1}{2}$OB，因此∠POB=60°。
分两种情况计算点P的运动时间：
1. 点P从A出发逆时针运动到第一次相切的位置时，转过的圆心角为60°，对应弧长$l_1=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×3}{180}=π$cm，已知运动速度为$π$cm/s，因此时间$t_1=\frac{π}{π}=1$s。
2. 点P继续逆时针运动，到OB另一侧的相切位置时，转过的圆心角为$360°-60°=300°$，对应弧长$l_2=\frac{300π×3}{180}=5π$cm，因此时间$t_2=\frac{5π}{π}=5$s。
点P运动一周即停止，两种情况均符合要求。
【答案】
1 s或5 s
【知识点】
切线的性质，弧长计算，直角三角形性质
【点评】
本题易错点是容易忽略点P运动的第二种相切情况，解题时要结合动点的运动轨迹全面分析所有可能的相切位置，再结合几何性质和公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要判断BP与⊙O相切时的运动时间，首先根据切线的性质可知，相切时过切点的半径OP与BP垂直，得到直角三角形OPB。结合已知线段长度可求出圆心角∠POB的度数，再考虑点P逆时针运动的两种相切位置（短弧AP和长弧AP两种情况），分别计算对应弧长，最后根据“时间=路程÷速度”即可求出运动时间。
【解析】
连接OP，当BP与⊙O相切时，根据切线的性质可得∠OPB=90°。
已知⊙O半径OP=OA=3cm，又AB=OA，因此OB=OA+AB=3+3=6cm。
在Rt△OPB中，OP=3cm=$\frac{1}{2}$OB，因此∠POB=60°。
分两种情况计算点P的运动时间：
1. 点P从A出发逆时针运动到第一次相切的位置时，转过的圆心角为60°，对应弧长$l_1=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×3}{180}=π$cm，已知运动速度为$π$cm/s，因此时间$t_1=\frac{π}{π}=1$s。
2. 点P继续逆时针运动，到OB另一侧的相切位置时，转过的圆心角为$360°-60°=300°$，对应弧长$l_2=\frac{300π×3}{180}=5π$cm，因此时间$t_2=\frac{5π}{π}=5$s。
点P运动一周即停止，两种情况均符合要求。
【答案】
1 s或5 s
【知识点】
切线的性质，弧长计算，直角三角形性质
【点评】
本题易错点是容易忽略点P运动的第二种相切情况，解题时要结合动点的运动轨迹全面分析所有可能的相切位置，再结合几何性质和公式计算即可。
【难度系数】
0.6
