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8.如图,将一副三角尺的两个锐角(45°角和60°角)的顶点叠放在一起,没有重叠的部分的角分别记作∠1和∠2.若∠1=23°,则∠2的度数为().
A.23°
B.22°
C.38°
D.37°
A.23°
B.22°
C.38°
D.37°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确两个三角尺叠放的锐角分别是45°和60°，两个角存在公共的重叠部分，我们可以把重叠部分设为中间量，先根据45°角与已知的∠1求出重叠角的度数，再结合60°角即可求出∠2的度数。
【解析】
设两个锐角重叠的部分为∠α，
根据等腰直角三角尺的锐角度数可知：$∠ 1 + ∠ α = 45°$，
已知$∠ 1=23°$，代入得$∠ α = 45° - 23° = 22°$，
再根据另一三角尺的锐角度数可知：$∠ 2 + ∠ α = 60°$，
将$∠ α=22°$代入得$∠ 2 = 60° - 22° = 38°$。
【答案】
C
【知识点】
1.角的和差运算 2.三角板角度特征
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题的核心是找到两个叠放角的公共重叠部分作为中间过渡量，结合三角板固定的角度数值即可快速计算，解题时注意不要混淆两个三角板的锐角度数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个三角尺叠放的锐角分别是45°和60°，两个角存在公共的重叠部分，我们可以把重叠部分设为中间量，先根据45°角与已知的∠1求出重叠角的度数，再结合60°角即可求出∠2的度数。
【解析】
设两个锐角重叠的部分为∠α，
根据等腰直角三角尺的锐角度数可知：$∠ 1 + ∠ α = 45°$，
已知$∠ 1=23°$，代入得$∠ α = 45° - 23° = 22°$，
再根据另一三角尺的锐角度数可知：$∠ 2 + ∠ α = 60°$，
将$∠ α=22°$代入得$∠ 2 = 60° - 22° = 38°$。
【答案】
C
【知识点】
1.角的和差运算 2.三角板角度特征
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题的核心是找到两个叠放角的公共重叠部分作为中间过渡量，结合三角板固定的角度数值即可快速计算，解题时注意不要混淆两个三角板的锐角度数。
【难度系数】
0.8
9.如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合.若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为$40°$，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是().
A.$20°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$150°$
A.$20°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$150°$
答案
D
解析
【分析】
首先明确已知角度：三角尺①的∠CAB=30°，三角尺②的直角为90°，二者顶点重合在A点。解题时需要分类讨论：和AC夹角为40°的直角边有在AC两侧两种位置情况，结合角的和差运算，分别计算另一条直角边与AB的夹角，排除能得到的角度，即可选出不可能的选项。
【解析】
由三角尺的特征可知：∠CAB=30°，三角尺②的直角为90°，且其直角顶点与点A重合。
分情况讨论：
1. 若与AC夹角为40°的直角边在AC远离AB的一侧：
该直角边与AB的夹角为$30°+40°=70°$，则另一条直角边与AB的夹角为$90°-70°=20°$，故A选项可能。
2. 若与AC夹角为40°的直角边在AC靠近AB的一侧：
此时该直角边位于AB下方，与AB的夹角为$40°-30°=10°$：
(1) 若另一条直角边在AB上方，它与AB的夹角为$90°-10°=80°$，故B选项可能；
(2) 若另一条直角边在AB下方，它与AB的夹角为$90°+10°=100°$，故C选项可能。
综上，只有150°无法得到，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，三角尺角度特征
【点评】
本题考查角的相关运算，解题的关键是考虑到直角边位置的多种可能性，避免漏解，通过分类讨论逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.6
首先明确已知角度：三角尺①的∠CAB=30°，三角尺②的直角为90°，二者顶点重合在A点。解题时需要分类讨论：和AC夹角为40°的直角边有在AC两侧两种位置情况，结合角的和差运算，分别计算另一条直角边与AB的夹角，排除能得到的角度，即可选出不可能的选项。
【解析】
由三角尺的特征可知：∠CAB=30°，三角尺②的直角为90°，且其直角顶点与点A重合。
分情况讨论：
1. 若与AC夹角为40°的直角边在AC远离AB的一侧：
该直角边与AB的夹角为$30°+40°=70°$，则另一条直角边与AB的夹角为$90°-70°=20°$，故A选项可能。
2. 若与AC夹角为40°的直角边在AC靠近AB的一侧：
此时该直角边位于AB下方，与AB的夹角为$40°-30°=10°$：
(1) 若另一条直角边在AB上方，它与AB的夹角为$90°-10°=80°$，故B选项可能；
(2) 若另一条直角边在AB下方，它与AB的夹角为$90°+10°=100°$，故C选项可能。
综上，只有150°无法得到，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，三角尺角度特征
【点评】
本题考查角的相关运算，解题的关键是考虑到直角边位置的多种可能性，避免漏解，通过分类讨论逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.6
10.已知$∠ AOB=70°$,以OA为一边画$∠ AOC=50°$,则$∠ BOC$的度数为.
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB的内部时，
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 70° - 50° = 20°$；
2. 当OC在∠AOB的外部时，
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 70° + 50° = 120°$。
综上，$∠ BOC$的度数为$20°$或$120°$。
1. 当OC在∠AOB的内部时，
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 70° - 50° = 20°$；
2. 当OC在∠AOB的外部时，
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 70° + 50° = 120°$。
综上，$∠ BOC$的度数为$20°$或$120°$。
解析
【分析】
本题没有明确说明OC的位置，因此需要分两种情况讨论：一是OC在∠AOB的内部，二是OC在∠AOB的外部，再结合角的和差关系分别计算∠BOC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB的内部时，∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，即：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 70° - 50° = 20°$；
2. 当OC在∠AOB的外部时，∠BOC是∠AOB与∠AOC的和，即：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 70° + 50° = 120°$。
综上，∠BOC的度数为20°或120°。
【答案】
$20°$或$120°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的基础易错题，解题的关键是注意题干未明确角的位置时，要考虑所有符合条件的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题没有明确说明OC的位置，因此需要分两种情况讨论：一是OC在∠AOB的内部，二是OC在∠AOB的外部，再结合角的和差关系分别计算∠BOC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB的内部时，∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，即：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 70° - 50° = 20°$；
2. 当OC在∠AOB的外部时，∠BOC是∠AOB与∠AOC的和，即：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 70° + 50° = 120°$。
综上，∠BOC的度数为20°或120°。
【答案】
$20°$或$120°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的基础易错题，解题的关键是注意题干未明确角的位置时，要考虑所有符合条件的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.如图,将一个三角尺$60°$角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合,若$∠ DAC=30°$,则$∠ BAE$的度数是。
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确常见三角尺的固定角度：题中两个三角尺顶点A重合，其中含60°角的三角尺对应$∠ BAC=60°$，等腰直角三角尺的直角对应$∠ EAD=90°$。解题思路为先通过$∠ BAC$和已知的$∠ DAC$的度数求出$∠ BAD$的度数，再结合$∠ EAD$是直角，利用角的和差关系计算$∠ BAE$的度数即可。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可得：$∠ BAC=60°$，$∠ EAD=90°$。
根据角的和差关系，$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC$，已知$∠ DAC=30°$，代入得：
$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 60° - 30° = 30°$。
又因为$∠ BAE = ∠ EAD + ∠ BAD$，代入数值计算：
$∠ BAE = 90° + 30° = 120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
角的和差运算、三角尺的角度特征
【点评】
本题属于角的运算基础题型，结合常见三角尺的固定角度，考查学生对图形中角的组成关系的识别能力，只要理清各角之间的和差关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要明确常见三角尺的固定角度：题中两个三角尺顶点A重合，其中含60°角的三角尺对应$∠ BAC=60°$，等腰直角三角尺的直角对应$∠ EAD=90°$。解题思路为先通过$∠ BAC$和已知的$∠ DAC$的度数求出$∠ BAD$的度数，再结合$∠ EAD$是直角，利用角的和差关系计算$∠ BAE$的度数即可。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可得：$∠ BAC=60°$，$∠ EAD=90°$。
根据角的和差关系，$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC$，已知$∠ DAC=30°$，代入得：
$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 60° - 30° = 30°$。
又因为$∠ BAE = ∠ EAD + ∠ BAD$，代入数值计算：
$∠ BAE = 90° + 30° = 120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
角的和差运算、三角尺的角度特征
【点评】
本题属于角的运算基础题型，结合常见三角尺的固定角度，考查学生对图形中角的组成关系的识别能力，只要理清各角之间的和差关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
12.如图，OA的方向是北偏东$15°$,OB的方向是北偏西$40°$.若$∠ AOC=∠ AOB$,则OC的方向是.
答案
北偏东70°
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义，先求出∠AOB的度数：OB是北偏西40°，OA是北偏东15°，两者的夹角就是两个角度数相加。再根据∠AOC=∠AOB得到∠AOC的度数，最后计算OC与正北方向的夹角，结合方向角的表示规则即可得到OC的方向。
【解析】
第一步：计算∠AOB的度数
已知OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，因此正北方向OD与OB的夹角为40°，OD与OA的夹角为15°，所以：
$∠ AOB = 40° + 15° = 55°$
第二步：计算∠AOC的度数
由题可知$∠ AOC = ∠ AOB$，因此$∠ AOC = 55°$
第三步：计算OC与正北方向的夹角，确定OC方向
OC在OA的东侧，因此正北方向OD与OC的夹角为：
$∠ DOC = ∠ DOA + ∠ AOC = 15° + 55° = 70°$
所以OC的方向是北偏东70°
【答案】
北偏东$70°$
【知识点】
方向角的识别，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查方向角的表示和角的简单运算，解题的核心是理清各个角的位置关系，结合已知的角度相等关系逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合方向角的定义，先求出∠AOB的度数：OB是北偏西40°，OA是北偏东15°，两者的夹角就是两个角度数相加。再根据∠AOC=∠AOB得到∠AOC的度数，最后计算OC与正北方向的夹角，结合方向角的表示规则即可得到OC的方向。
【解析】
第一步：计算∠AOB的度数
已知OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，因此正北方向OD与OB的夹角为40°，OD与OA的夹角为15°，所以：
$∠ AOB = 40° + 15° = 55°$
第二步：计算∠AOC的度数
由题可知$∠ AOC = ∠ AOB$，因此$∠ AOC = 55°$
第三步：计算OC与正北方向的夹角，确定OC方向
OC在OA的东侧，因此正北方向OD与OC的夹角为：
$∠ DOC = ∠ DOA + ∠ AOC = 15° + 55° = 70°$
所以OC的方向是北偏东70°
【答案】
北偏东$70°$
【知识点】
方向角的识别，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查方向角的表示和角的简单运算，解题的核心是理清各个角的位置关系，结合已知的角度相等关系逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
13.计算：
(1)$32°45'+20°15'$；
(2)$23°41'×3-32°30'$；
(3)$28°17'-31°48'÷2$。
(1)$32°45'+20°15'$；
(2)$23°41'×3-32°30'$；
(3)$28°17'-31°48'÷2$。
答案
解：
(1) 原式$=(32°+20°)+(45'+15')$
$=52°+60'$
$=52°+1°$
$=53°$
(2) 原式$=69°123'-32°30'$
$=71°3'-32°30'$
$=70°63'-32°30'$
$=38°33'$
(3) 原式$=28°17'-15°54'$
$=27°77'-15°54'$
$=12°23'$
(1) 原式$=(32°+20°)+(45'+15')$
$=52°+60'$
$=52°+1°$
$=53°$
(2) 原式$=69°123'-32°30'$
$=71°3'-32°30'$
$=70°63'-32°30'$
$=38°33'$
(3) 原式$=28°17'-15°54'$
$=27°77'-15°54'$
$=12°23'$
解析
【分析】
本题考查角的度分秒四则运算，核心规则是度、分、秒为60进制，即$1°=60'$。运算逻辑如下：①加减运算时同单位分别计算，分满60向度进1，不够减时借1度当作60分再减；②乘法运算时分别用乘数乘度、分，再按60进制进位整理；③除法运算时先除度，余数换算为分和原有分合并后再除分。具体解题思路：(1)直接按度加度、分加分计算，再进位即可；(2)先算乘法、整理进位后，再借位做减法；(3)先算除法得到结果后，再借位做减法。
【解析】
(1) 原式$=(32°+20°)+(45'+15')$
$=52°+60'$
$=52°+1°$
$=53°$
(2) 原式$=69°123'-32°30'$
$=71°3'-32°30'$
$=70°63'-32°30'$
$=38°33'$
(3) 原式$=28°17'-15°54'$
$=27°77'-15°54'$
$=12°23'$
【答案】
(1)$\boxed{53°}$；(2)$\boxed{38°33'}$；(3)$\boxed{12°23'}$
【知识点】
度分秒的换算、角的和差运算、角的乘除运算
【点评】
本题属于角度运算的基础题型，重点考察度分秒60进制的应用，只要熟练掌握进位、借位规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查角的度分秒四则运算，核心规则是度、分、秒为60进制，即$1°=60'$。运算逻辑如下：①加减运算时同单位分别计算，分满60向度进1，不够减时借1度当作60分再减；②乘法运算时分别用乘数乘度、分，再按60进制进位整理；③除法运算时先除度，余数换算为分和原有分合并后再除分。具体解题思路：(1)直接按度加度、分加分计算，再进位即可；(2)先算乘法、整理进位后，再借位做减法；(3)先算除法得到结果后，再借位做减法。
【解析】
(1) 原式$=(32°+20°)+(45'+15')$
$=52°+60'$
$=52°+1°$
$=53°$
(2) 原式$=69°123'-32°30'$
$=71°3'-32°30'$
$=70°63'-32°30'$
$=38°33'$
(3) 原式$=28°17'-15°54'$
$=27°77'-15°54'$
$=12°23'$
【答案】
(1)$\boxed{53°}$；(2)$\boxed{38°33'}$；(3)$\boxed{12°23'}$
【知识点】
度分秒的换算、角的和差运算、角的乘除运算
【点评】
本题属于角度运算的基础题型，重点考察度分秒60进制的应用，只要熟练掌握进位、借位规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
14.(几何直观、运算能力)如图,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内的一条射线,且∠AOC:∠BOC=1:2.
(1)求∠AOC的度数；
(2)过点O作射线OD,若∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB,求∠COD的度数.
(1)求∠AOC的度数；
(2)过点O作射线OD,若∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB,求∠COD的度数.
答案
解：
(1) 已知∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 120°，且∠AOC:∠BOC = 1:2，
则∠BOC = 2∠AOC，
代入得：∠AOC + 2∠AOC = 120°，
即3∠AOC = 120°，
解得：∠AOC = 40°。
(2) 由题意得：∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，分两种情况：
① 当射线OD在∠AOB内部时：
∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 60° - 40° = 20°；
② 当射线OD在∠AOB外部，与OB分别在OA两侧时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 40° + 60° = 100°。
综上，∠COD的度数为20°或100°。
(1) 已知∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 120°，且∠AOC:∠BOC = 1:2，
则∠BOC = 2∠AOC，
代入得：∠AOC + 2∠AOC = 120°，
即3∠AOC = 120°，
解得：∠AOC = 40°。
(2) 由题意得：∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，分两种情况：
① 当射线OD在∠AOB内部时：
∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 60° - 40° = 20°；
② 当射线OD在∠AOB外部，与OB分别在OA两侧时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 40° + 60° = 100°。
综上，∠COD的度数为20°或100°。
解析
【分析】
(1) 已知∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，且二者的比例为1:2，可将∠AOC看作1份，∠BOC看作2份，那么∠AOB总共对应3份，对应度数为120°，即可求出1份对应的度数也就是∠AOC的度数，也可通过设未知数列方程求解。
(2) 首先计算出∠AOD的度数，题目仅说明过点O作射线OD，未明确OD的位置，因此需要分两种情况讨论：一种是OD在∠AOB内部，另一种是OD在∠AOB外部，分别根据角的和差关系计算∠COD的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：(1) 因为$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 120°$，且$∠ AOC:∠ BOC = 1:2$，
所以$∠ BOC = 2∠ AOC$，
代入得：$∠ AOC + 2∠ AOC = 120°$，
即$3∠ AOC = 120°$，
解得：$∠ AOC = 40°$。
(2) 由题意得：$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×120° = 60°$，分两种情况讨论：
① 当射线OD在$∠ AOB$内部时：
$∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = 60° - 40° = 20°$；
② 当射线OD在$∠ AOB$外部，与OB分别在OA两侧时：
$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOD = 40° + 60° = 100°$。
综上，$∠ COD$的度数为$20°$或$100°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{20°}$或$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
角的和差运算，比例求角度，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础的角度比例计算，掌握角的和差关系即可求解；第二问是易错题，需要注意射线位置的不确定性，养成分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，且二者的比例为1:2，可将∠AOC看作1份，∠BOC看作2份，那么∠AOB总共对应3份，对应度数为120°，即可求出1份对应的度数也就是∠AOC的度数，也可通过设未知数列方程求解。
(2) 首先计算出∠AOD的度数，题目仅说明过点O作射线OD，未明确OD的位置，因此需要分两种情况讨论：一种是OD在∠AOB内部，另一种是OD在∠AOB外部，分别根据角的和差关系计算∠COD的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：(1) 因为$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 120°$，且$∠ AOC:∠ BOC = 1:2$，
所以$∠ BOC = 2∠ AOC$，
代入得：$∠ AOC + 2∠ AOC = 120°$，
即$3∠ AOC = 120°$，
解得：$∠ AOC = 40°$。
(2) 由题意得：$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×120° = 60°$，分两种情况讨论：
① 当射线OD在$∠ AOB$内部时：
$∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = 60° - 40° = 20°$；
② 当射线OD在$∠ AOB$外部，与OB分别在OA两侧时：
$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOD = 40° + 60° = 100°$。
综上，$∠ COD$的度数为$20°$或$100°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{20°}$或$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
角的和差运算，比例求角度，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础的角度比例计算，掌握角的和差关系即可求解；第二问是易错题，需要注意射线位置的不确定性，养成分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
