角的平分线
从一个角的出发，把这个角分成两个的角的射线，叫做这个角的平分线。

解：顶点；相等

【分析】
本题考查角平分线的基础定义，解题时首先回忆角平分线的概念：角是由公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点就是角的顶点，角平分线作为一条特殊的射线，它的端点必然和角的顶点重合，它的作用是将原角平均分成两部分，因此分成的两个角大小相等，结合定义即可直接填出两个空。
【解析】
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。因此第一个空填“顶点”，第二个空填“相等”。
【答案】
顶点；相等
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，难度较低，掌握核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例题】如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE，且OC平分∠AOD，∠2=3∠1，∠COE=75°，求∠2的度数.

解：设∠1 = x，则∠2 = 3∠1 = 3x。
因为O为直线AB上一点，所以∠AOB = 180°，
所以∠AOD = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 4x。
因为OC平分∠AOD，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}(180° - 4x)$ = 90° - 2x。
又因为∠COE = ∠COD + ∠1 = 75°，
代入得：$90° - 2x + x = 75°$，
解得：$x = 15°$，
所以∠2 = 3x = 3×15° = 45°。

【分析】
本题可通过方程思想求解：首先观察已知条件，存在角度的倍分关系∠2=3∠1，同时有平角（直线AB对应平角∠AOB=180°）、角平分线OC平分∠AOD的条件，因此可设最小的未知角∠1为x，将其余相关角度用含x的代数式表示，再结合已知∠COE=75°的等量关系列方程，解出x后即可求出∠2的度数。
【解析】
设∠1 = x，则∠2 = 3∠1 = 3x。
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - x - 3x = 180° - 4x。
∵ OC平分∠AOD，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}(180° - 4x)$ = 90° - 2x。
又
∵ ∠COE = ∠COD + ∠1 = 75°，
代入得：$90° - 2x + x = 75°$，
解得：$x = 15°$，
∴ ∠2 = 3x = 3×15° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算的基础典型题，解题核心是理清角度之间的倍分关系、和差关系，结合平角和角平分线的性质，利用方程思想将几何角度计算转化为代数方程求解，能有效考查学生对角度基本性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

【变式】如图，OC是$∠ AOB$的平分线，OD是$∠ BOC$的平分线.若$∠ AOB=120°$，则$∠ AOD$的度数为().


A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$90°$

D

【分析】
解题时我们可以结合角平分线的定义逐步推导相关角的度数，再通过角的和差关系求出目标角。首先，根据OC是∠AOB的平分线，结合已知∠AOB的度数，先算出∠AOC和∠BOC的大小；接着，依据OD是∠BOC的平分线，算出∠COD的度数；最后，观察图形可知∠AOD是∠AOC与∠COD的和，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=120°，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又
∵OD是∠BOC的平分线，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=60°+30°=90°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角平分线定义的应用，解题核心是熟练掌握角平分线把一个角分为两个相等的角的性质，再结合角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8

1.如图,射线OA的方向是北偏东$16°$,射线OB的方向是北偏西$26°$,已知射线OB平分$∠ AOC$,则射线OC的方向是().

A.北偏西$68°$
B.西偏北$48°$
C.北偏西$48°$
D.西偏北$52°$

A

【分析】
解题时先明确方向角的含义，即方向角是射线与正北、正南、正西、正东基准方向的夹角。第一步先计算出∠AOB的度数，第二步根据角平分线的定义得到∠BOC和∠AOB相等，第三步计算出OC与正北方向的夹角，最后确定OC的方向即可。
【解析】
解：
∵射线OA的方向是北偏东$16°$，射线OB的方向是北偏西$26°$
∴$∠ AOB=16°+26°=42°$
∵OB平分$∠ AOC$
∴$∠ BOC=∠ AOB=42°$
∴OC与正北方向的夹角为$26°+42°=68°$，且OC在正北方向西侧
∴射线OC的方向是北偏西$68°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
方向角；角平分线的定义
【点评】
本题是方向角与角平分线定义的结合应用题，解题关键是先明确各射线与正北基准方向的夹角，再结合角平分线平分角的性质计算所求射线与基准方向的夹角，即可判断对应方向。
【难度系数】
0.7

2.(2024昆明五华区期末)根据题意,补全解题过程:
如图,已知射线OB,OM,ON在∠AOD内部,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.若∠AOD=156°,∠DON=48°,求∠AOM的度数.
解:因为ON平分∠BOD,
所以=2∠DON.
因为∠DON=48°,
所以∠BOD=.
因为∠AOB=−∠BOD,
∠AOD=156°,
所以∠AOB=.
因为OM平分∠AOB,
所以$∠AOM=\frac{1}{2} $=.

解:因为ON平分∠BOD,
所以$\boldsymbol{∠BOD}=2∠DON.$
因为$∠DON=48°,$
所以$∠BOD=\boldsymbol{96°}.$
因为$∠AOB=\boldsymbol{∠AOD}-∠BOD,$
$∠AOD=156°,$
所以$∠AOB=\boldsymbol{60°}.$
因为OM平分$∠AOB,$
所以$∠AOM=\frac{1}{2}\boldsymbol{∠AOB}=\boldsymbol{30°}.$

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知两个角平分线，以及∠AOD和∠DON的度数，我们可以根据角平分线的定义和角的和差关系逐步推导：首先利用ON平分∠BOD求出∠BOD的度数，再通过∠AOD与∠BOD的差求出∠AOB的度数，最后利用OM平分∠AOB求出∠AOM的度数即可。
【解析】
因为ON平分∠BOD，根据角平分线的定义，所以$\boldsymbol{∠BOD}=2∠DON$。
因为$∠DON=48°$，所以$∠BOD=2×48°=\boldsymbol{96°}$。
由图中角的和差关系可知$∠AOB=\boldsymbol{∠AOD}-∠BOD$。
已知$∠AOD=156°$，所以$∠AOB=156°-96°=\boldsymbol{60°}$。
因为OM平分$∠AOB$，根据角平分线的定义，所以$∠AOM=\frac{1}{2}\boldsymbol{∠AOB}=\frac{1}{2}×60°=\boldsymbol{30°}$。
【答案】
∠BOD；96°；∠AOD；60°；∠AOB；30°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算基础题，核心是结合角平分线的性质和角的和差关系推导未知角的度数，掌握相关基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8