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3.(2024昆明官渡区期末)如图,将直角三角尺OMN的直角顶点O放在直线AB上,∠BON=60°,射线OC平分∠AON.
(1)求∠AOM的度数;
(2)试说明OM平分∠AOC.
(1)求∠AOM的度数;
(2)试说明OM平分∠AOC.
答案
解：
(1) ∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AON + ∠BON = 180°。
∵ ∠BON = 60°，
∴ ∠AON = 180° - 60° = 120°。
∵ 直角三角尺OMN中∠MON = 90°，
∴ ∠AOM = ∠AON - ∠MON = 120° - 90° = 30°。
(2) ∵ OC平分∠AON，∠AON = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AON = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
又∵ ∠AOM = 30°，
∴ ∠MOC = ∠AOC - ∠AOM = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠AOM = ∠MOC，
∴ OM平分∠AOC。
(1) ∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AON + ∠BON = 180°。
∵ ∠BON = 60°，
∴ ∠AON = 180° - 60° = 120°。
∵ 直角三角尺OMN中∠MON = 90°，
∴ ∠AOM = ∠AON - ∠MON = 120° - 90° = 30°。
(2) ∵ OC平分∠AON，∠AON = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AON = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
又∵ ∠AOM = 30°，
∴ ∠MOC = ∠AOC - ∠AOM = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠AOM = ∠MOC，
∴ OM平分∠AOC。
解析
【分析】
（1）求∠AOM的度数时，首先利用平角的度数为180°，结合已知的∠BON=60°，先求出∠AON的度数；再根据直角三角尺的直角为90°，用∠AON减去∠MON的度数，就能得到∠AOM的度数。
（2）要说明OM平分∠AOC，只需证明∠AOM和∠MOC度数相等即可。首先根据角平分线的定义，由OC平分∠AON求出∠AOC的度数，再用∠AOC减去∠AOM的度数得到∠MOC的度数，对比两个角的度数，若相等则可证明OM平分∠AOC。
【解析】
(1)
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AON + ∠BON = 180°。
∵ ∠BON = 60°，
∴ ∠AON = 180° - 60° = 120°。
∵ 直角三角尺OMN中∠MON = 90°，
∴ ∠AOM = ∠AON - ∠MON = 120° - 90° = 30°。
(2)
∵ OC平分∠AON，∠AON = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AON = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
又
∵ ∠AOM = 30°，
∴ ∠MOC = ∠AOC - ∠AOM = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠AOM = ∠MOC，
∴ OM平分∠AOC。
【答案】
(1) ∠AOM=30°；
(2) OM平分∠AOC，理由如上。
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角的相关计算与证明的基础题，解题关键是熟练运用平角、直角的性质以及角平分线的定义，逐步推导角度间的数量关系即可完成求解。
【难度系数】
0.8
（1）求∠AOM的度数时，首先利用平角的度数为180°，结合已知的∠BON=60°，先求出∠AON的度数；再根据直角三角尺的直角为90°，用∠AON减去∠MON的度数，就能得到∠AOM的度数。
（2）要说明OM平分∠AOC，只需证明∠AOM和∠MOC度数相等即可。首先根据角平分线的定义，由OC平分∠AON求出∠AOC的度数，再用∠AOC减去∠AOM的度数得到∠MOC的度数，对比两个角的度数，若相等则可证明OM平分∠AOC。
【解析】
(1)
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AON + ∠BON = 180°。
∵ ∠BON = 60°，
∴ ∠AON = 180° - 60° = 120°。
∵ 直角三角尺OMN中∠MON = 90°，
∴ ∠AOM = ∠AON - ∠MON = 120° - 90° = 30°。
(2)
∵ OC平分∠AON，∠AON = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AON = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
又
∵ ∠AOM = 30°，
∴ ∠MOC = ∠AOC - ∠AOM = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠AOM = ∠MOC，
∴ OM平分∠AOC。
【答案】
(1) ∠AOM=30°；
(2) OM平分∠AOC，理由如上。
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角的相关计算与证明的基础题，解题关键是熟练运用平角、直角的性质以及角平分线的定义，逐步推导角度间的数量关系即可完成求解。
【难度系数】
0.8
1.(2026怒江期末)如图,点O在直线AB上,OD平分∠AOC.若∠1=50°,则∠2的度数为().
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
D
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：①先识别平角：点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，度数为180°，即∠AOC与∠2的和为180°；②再用角平分线性质：OD平分∠AOC，可得∠AOC是∠1的2倍；③代入已知∠1的度数求出∠AOC，再用平角的度数减去∠AOC即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即$∠ AOC + ∠ 2 = 180°$。
∵OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ AOC = 2∠ 1$。
又
∵$∠ 1=50°$，
∴$∠ AOC=2×50°=100°$，
∴$∠ 2=180° - ∠ AOC=180° - 100°=80°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查平角的性质和角平分线定义的综合运用，熟练掌握相关基础概念即可快速解题，计算时注意角度运算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题思路可按以下步骤梳理：①先识别平角：点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，度数为180°，即∠AOC与∠2的和为180°；②再用角平分线性质：OD平分∠AOC，可得∠AOC是∠1的2倍；③代入已知∠1的度数求出∠AOC，再用平角的度数减去∠AOC即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即$∠ AOC + ∠ 2 = 180°$。
∵OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ AOC = 2∠ 1$。
又
∵$∠ 1=50°$，
∴$∠ AOC=2×50°=100°$，
∴$∠ 2=180° - ∠ AOC=180° - 100°=80°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查平角的性质和角平分线定义的综合运用，熟练掌握相关基础概念即可快速解题，计算时注意角度运算的准确性。
【难度系数】
0.8
2.如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数为（）。
A.140°
B.145°
C.150°
D.155°
A.140°
B.145°
C.150°
D.155°
答案
D
解析
【分析】
首先，点A、O、B在同一直线上，根据平角的定义可得到∠AOB的度数；其次已知OD平分∠AOC，结合角平分线的定义就能求出∠AOD的度数；最后用平角∠AOB的度数减去∠AOD的度数，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
解：
∵点A，O，B在一条直线上
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∵OD平分∠AOC，且∠AOC=50°
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
∴$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-25°=155°$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础类角度计算题，结合平角性质和角平分线的定义即可求解，掌握基础概念是解题的核心。
【难度系数】
0.85
首先，点A、O、B在同一直线上，根据平角的定义可得到∠AOB的度数；其次已知OD平分∠AOC，结合角平分线的定义就能求出∠AOD的度数；最后用平角∠AOB的度数减去∠AOD的度数，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
解：
∵点A，O，B在一条直线上
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∵OD平分∠AOC，且∠AOC=50°
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
∴$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-25°=155°$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础类角度计算题，结合平角性质和角平分线的定义即可求解，掌握基础概念是解题的核心。
【难度系数】
0.85
3.如图，OB,OC是∠AOD的两条三等分线，
则下列式子不正确的是().
A.∠AOD=3∠BOC
B.∠AOD=2∠AOC
C.∠AOB=∠BOC
D.∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC
则下列式子不正确的是().
A.∠AOD=3∠BOC
B.∠AOD=2∠AOC
C.∠AOB=∠BOC
D.∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC
答案
B
解析
【分析】
解题前首先明确角的三等分线的含义：它可以将∠AOD平均分成3个大小相等的角，即∠AOB=∠BOC=∠COD。我们可以通过设每个小角的度数为参数，分别计算每个选项中等式两边的角度，判断是否相等，即可找出不正确的式子。
【解析】
解：
∵OB、OC是∠AOD的两条三等分线，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
设∠AOB=∠BOC=∠COD=α，则∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=3α。
A选项：$3∠BOC=3α=∠AOD$，等式成立，不符合题意；
B选项：$∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+α=2α$，$2∠AOC=4α≠3α=∠AOD$，等式不成立，符合题意；
C选项：由三等分线性质可得∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：$∠COD=α$，$∠AOC=2α$，故$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，等式成立，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线、角的和差计算
【点评】
本题解题核心是理解角的三等分线的性质，通过设参数表示各个角的大小，结合角的和差逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确角的三等分线的含义：它可以将∠AOD平均分成3个大小相等的角，即∠AOB=∠BOC=∠COD。我们可以通过设每个小角的度数为参数，分别计算每个选项中等式两边的角度，判断是否相等，即可找出不正确的式子。
【解析】
解：
∵OB、OC是∠AOD的两条三等分线，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
设∠AOB=∠BOC=∠COD=α，则∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=3α。
A选项：$3∠BOC=3α=∠AOD$，等式成立，不符合题意；
B选项：$∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+α=2α$，$2∠AOC=4α≠3α=∠AOD$，等式不成立，符合题意；
C选项：由三等分线性质可得∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：$∠COD=α$，$∠AOC=2α$，故$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，等式成立，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线、角的和差计算
【点评】
本题解题核心是理解角的三等分线的性质，通过设参数表示各个角的大小，结合角的和差逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.把一副透明的三角尺按如图所示拼在一起，其中B,C,D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN=.
答案
$\boldsymbol{105°}$
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：第一步先明确三角尺的固有角度，本题中两个三角尺的直角顶点均为C，因此∠ACB=90°，∠DCE=60°；第二步结合角平分线的定义，分别求出∠MCB和∠DCN的度数；第三步根据B、C、D共线得到∠BCD为180°的平角，用平角的度数减去∠MCB和∠DCN的度数，即可求出∠MCN的大小。
【解析】
解：根据三角尺的角度特征，得$∠ ACB=90°$，$∠ DCE=60°$。
$\because$ CM平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
$\because$ CN平分$∠ DCE$，
$\therefore ∠ DCN=\frac{1}{2}∠ DCE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because$ B、C、D三点在同一直线上，
$\therefore ∠ BCD=180°$（平角的定义）。
$\therefore ∠ MCN=∠ BCD-∠ MCB-∠ DCN=180°-45°-30°=105°$。
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，三角尺的角度特征
【点评】
本题是角的计算基础题，解题的关键是熟练掌握三角尺的固定角度，结合角平分线的性质和平角的度数梳理清楚各角之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路如下：第一步先明确三角尺的固有角度，本题中两个三角尺的直角顶点均为C，因此∠ACB=90°，∠DCE=60°；第二步结合角平分线的定义，分别求出∠MCB和∠DCN的度数；第三步根据B、C、D共线得到∠BCD为180°的平角，用平角的度数减去∠MCB和∠DCN的度数，即可求出∠MCN的大小。
【解析】
解：根据三角尺的角度特征，得$∠ ACB=90°$，$∠ DCE=60°$。
$\because$ CM平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
$\because$ CN平分$∠ DCE$，
$\therefore ∠ DCN=\frac{1}{2}∠ DCE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because$ B、C、D三点在同一直线上，
$\therefore ∠ BCD=180°$（平角的定义）。
$\therefore ∠ MCN=∠ BCD-∠ MCB-∠ DCN=180°-45°-30°=105°$。
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，三角尺的角度特征
【点评】
本题是角的计算基础题，解题的关键是熟练掌握三角尺的固定角度，结合角平分线的性质和平角的度数梳理清楚各角之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知$∠AOB=90°,∠BOC=40°,OD$平分$∠AOC$,求$∠BOD$的度数.
答案
解：
∵ ∠AOB=90°，∠BOC=40°
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 40° = 130°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 65° = 25°
∵ ∠AOB=90°，∠BOC=40°
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 40° = 130°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 65° = 25°
解析
【分析】
要计算∠BOD的度数，首先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，先求出∠AOC的总度数；再利用角平分线的性质算出∠AOD的度数；最后通过∠AOB与∠AOD的差，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵ ∠AOB=90°，∠BOC=40°
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 40° = 130°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是理清图中各角的位置与和差关系，结合角平分线的定义逐步推导即可，解题时需注意不要混淆各角的对应关系。
【难度系数】
0.8
要计算∠BOD的度数，首先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，先求出∠AOC的总度数；再利用角平分线的性质算出∠AOD的度数；最后通过∠AOB与∠AOD的差，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵ ∠AOB=90°，∠BOC=40°
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 40° = 130°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是理清图中各角的位置与和差关系，结合角平分线的定义逐步推导即可，解题时需注意不要混淆各角的对应关系。
【难度系数】
0.8
6.如图，OA的方向是北偏东$20°$，OB的方向是北偏西$35°$，OA平分$∠ BOC$，则OC的方向是。
答案
解：
设正北方向对应的射线为ON，
由题意得：∠NOB=35°，∠NOA=20°，
∴ ∠AOB = ∠NOB + ∠NOA = 35° + 20° = 55°，
∵ OA平分∠BOC，
∴ ∠AOC = ∠AOB = 55°，
∴ ∠NOC = ∠NOA + ∠AOC = 20° + 55° = 75°，
∴ OC的方向是北偏东75°。
设正北方向对应的射线为ON，
由题意得：∠NOB=35°，∠NOA=20°，
∴ ∠AOB = ∠NOB + ∠NOA = 35° + 20° = 55°，
∵ OA平分∠BOC，
∴ ∠AOC = ∠AOB = 55°，
∴ ∠NOC = ∠NOA + ∠AOC = 20° + 55° = 75°，
∴ OC的方向是北偏东75°。
解析
【分析】
解题时首先明确方向角是以正北、正南方向为基准描述物体方向的，第一步先计算OA与OB的夹角∠AOB的度数，将正北到OB的偏角与正北到OA的偏角相加即可；第二步根据角平分线的定义，可得∠AOC和∠AOB度数相等；第三步计算正北方向到OC的夹角，用正北到OA的偏角加上∠AOC的度数，就能得到OC相对于正北方向向东偏移的角度，进而确定OC的方向。
【解析】
设正北方向对应的射线为ON，
由题意得：$∠ NOB=35°$，$∠ NOA=20°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ NOB + ∠ NOA = 35° + 20° = 55°$，
$\because$ OA平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ AOB = 55°$，
$\therefore ∠ NOC = ∠ NOA + ∠ AOC = 20° + 55° = 75°$，
即OC的方向是北偏东$75°$。
【答案】
北偏东$75°$
【知识点】
方向角，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题结合方位场景考查角的相关计算，解题的关键是找准方向角的基准，理清各角之间的和差关系，熟练运用角平分线的性质，是方位角与角计算结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方向角是以正北、正南方向为基准描述物体方向的，第一步先计算OA与OB的夹角∠AOB的度数，将正北到OB的偏角与正北到OA的偏角相加即可；第二步根据角平分线的定义，可得∠AOC和∠AOB度数相等；第三步计算正北方向到OC的夹角，用正北到OA的偏角加上∠AOC的度数，就能得到OC相对于正北方向向东偏移的角度，进而确定OC的方向。
【解析】
设正北方向对应的射线为ON，
由题意得：$∠ NOB=35°$，$∠ NOA=20°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ NOB + ∠ NOA = 35° + 20° = 55°$，
$\because$ OA平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ AOB = 55°$，
$\therefore ∠ NOC = ∠ NOA + ∠ AOC = 20° + 55° = 75°$，
即OC的方向是北偏东$75°$。
【答案】
北偏东$75°$
【知识点】
方向角，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题结合方位场景考查角的相关计算，解题的关键是找准方向角的基准，理清各角之间的和差关系，熟练运用角平分线的性质，是方位角与角计算结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
