7.如图,两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O,下列结论:①∠AOB=∠COD;②∠AOB+∠COD=90°;③若OB平分∠AOC,则OC平分∠BOD;④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线.其中正确的是(填序号).

解：
已知∠AOC和∠BOD都是直角，即∠AOC=∠BOD=90°。
① 因为∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 90°，∠COD + ∠BOC = ∠BOD = 90°，
所以∠AOB = 90° - ∠BOC，∠COD = 90° - ∠BOC，
因此∠AOB = ∠COD，①正确。
② 由①知∠AOB=∠COD，∠AOB+∠COD=2∠AOB，不一定等于90°，②错误。
③ 若OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=45°，
又因为∠BOD=90°，所以∠COD=∠BOD - ∠BOC = 90° - 45° = 45°，
即∠BOC=∠COD=45°，因此OC平分∠BOD，③正确。
④ 设∠AOB=∠COD=α，则∠AOD=∠AOC + ∠COD = 90°+α，
∠AOD的平分线分得的角为$\frac{1}{2}∠AOD=45°+\frac{α}{2}$，
即该射线与OA的夹角为$45°+\frac{α}{2}$，它与OB的夹角为$45°+\frac{α}{2}-α=45°-\frac{α}{2}$。
又∠BOC=90°-α，∠BOC的平分线分得的角为$\frac{1}{2}∠BOC=45°-\frac{α}{2}$，
即该射线与OB的夹角为$45°-\frac{α}{2}$，两条射线位置完全相同，是同一条射线，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④}$。

【分析】
首先明确已知条件：∠AOC和∠BOD都是直角，即度数都为90°，我们结合角的和差关系、角平分线的定义逐个验证4个结论：①找∠AOB、∠COD与公共角∠BOC的关系，利用同角的余角相等判断；②结合①的结论，判断两个角的和是否一定为90°；③若OB平分∠AOC，先算出∠BOC的度数，再推导∠COD的度数，判断OC是否平分∠BOD；④设相同的角为参数，分别计算∠AOD的平分线、∠BOC的平分线与已知边的夹角，判断两条射线是否重合。
【解析】
已知∠AOC和∠BOD都是直角，即∠AOC=∠BOD=90°。
① 因为∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 90°，∠COD + ∠BOC = ∠BOD = 90°，所以∠AOB = 90° - ∠BOC，∠COD = 90° - ∠BOC，因此∠AOB = ∠COD，①正确。
② 由①知∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠COD=2∠AOB，只有当∠AOB=45°时和为90°，并非恒等于90°，②错误。
③ 若OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，又因为∠BOD=90°，所以∠COD=∠BOD - ∠BOC = 90° - 45° = 45°，即∠BOC=∠COD，因此OC平分∠BOD，③正确。
④ 设∠AOB=∠COD=α，则∠AOD=∠AOC + ∠COD = 90°+α，∠AOD的平分线分得的每个角为$\frac{1}{2}$∠AOD=45°+$\frac{α}{2}$，即该射线与OA的夹角为45°+$\frac{α}{2}$，它与OB的夹角为$(45°+\frac{α}{2})-α=45°-\frac{α}{2}$。又∠BOC=∠AOC - ∠AOB=90°-α，∠BOC的平分线分得的每个角为$\frac{1}{2}$∠BOC=45°-$\frac{α}{2}$，即该射线与OB的夹角也为45°-$\frac{α}{2}$，两条射线都从O出发、夹角相同且在对应角的内部，因此是同一条射线，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
直角的定义，角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题需要结合图形分析角的数量关系，逐个推导验证结论，不要仅凭直观感受判断对错，其中结论②容易误判，结论④需要通过计算确认两条射线的位置是否重合。
【难度系数】
0.7

8.如图，射线OC，OD是∠AOB的三等分线，若如图中所有的锐角之和为$150°$，则$∠ AOC$的度数为。

解：设∠AOC = x，
∵ 射线OC，OD是∠AOB的三等分线，
∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = x，
图中所有锐角为∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，对应度数分别为x、2x、3x、x、2x、x，
根据题意列方程：
x + 2x + 3x + x + 2x + x = 150°，
合并同类项得10x = 150°，
解得x = 15°。
故∠AOC的度数为15°。

【分析】
解决本题可按以下思路思考：首先要找全图中所有的锐角，避免漏数或多数；再利用角的三等分线的性质，可知三个最小的角度数相等，因此可以设∠AOC的度数为x，将所有锐角都用含x的式子表示；最后根据所有锐角之和为150°的条件列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：设∠AOC = x，
∵ 射线OC，OD是∠AOB的三等分线，
∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = x，
图中所有锐角为∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，对应度数分别为x、2x、3x、x、2x、x，
根据题意列方程：
x + 2x + 3x + x + 2x + x = 150°，
合并同类项得10x = 150°，
解得x = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
角的计数；角的三等分线；一元一次方程应用
【点评】
本题的易错点是数锐角时出现漏数、多数的问题，解题时可以按顺序列举所有锐角，再结合角的等分线性质用方程法求解，对细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.7

9.定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成$1:2$的两个角的射线,叫作这个角的三等分线,显然,一个角的三等分线有两条.例如:如图(1),若$∠ BOC=2∠ AOC$,则$OC$是$∠ AOB$的一条三等分线.
(1)如图(1),$OC$是$∠ AOB$的一条三等分线,且$∠ BOC＞∠ AOC$,若$∠ AOB=60°$,求$∠ AOC$的度数;
(2)$∠ AOB=90°$,如图(2),若$OC,OD$是$∠ AOB$的两条三等分线,求$∠ COD$的度数.

解：
(1) ∵ OC是∠AOB的一条三等分线，且∠BOC＞∠AOC，
∴ ∠AOC:∠BOC = 1:2，即∠BOC = 2∠AOC。
∵ ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 60°，
∴ ∠AOC + 2∠AOC = 60°，
即3∠AOC = 60°，
∴ ∠AOC = 20°。
(2) ∵ OC，OD是∠AOB的两条三等分线，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{3}$∠AOB，∠AOD = $\frac{1}{3}$∠AOB。
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = 30°，∠AOD = 30°，
∴ ∠COD = ∠AOB - ∠BOC - ∠AOD = 90° - 30° - 30° = 30°。

【分析】
(1) 首先结合三等分线的定义和∠BOC＞∠AOC的条件，可得出∠AOC与∠BOC的比例为1:2，整个∠AOB被分为3等份，∠AOC占1份，可通过角的和差关系列等式计算∠AOC的度数。
(2) 两条三等分线会把∠AOB平均分成3个相等的小角，要求中间的∠COD，可先算出两边两个小角的度数，再用总角的度数减去这两个角的度数即可求解。
【解析】
(1)
∵ OC是∠AOB的一条三等分线，且∠BOC＞∠AOC，
∴ ∠AOC:∠BOC = 1:2，即∠BOC = 2∠AOC。
∵ ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 60°，
∴ ∠AOC + 2∠AOC = 60°，
即3∠AOC = 60°，
∴ ∠AOC = 20°。
(2)
∵ OC，OD是∠AOB的两条三等分线，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{3}$∠AOB，∠AOD = $\frac{1}{3}$∠AOB。
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠BOC = 30°，∠AOD = 30°，
∴ ∠COD = ∠AOB - ∠BOC - ∠AOD = 90° - 30° - 30° = 30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角的三等分线定义、角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，解题关键是准确理解三等分线的定义，明确分得的角的比例关系，结合角的和差运算即可求解，解题时要注意题干中对三等分线分得角的大小的限定条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.85

10.(几何直观、推理能力)(1)如图(1),点C在线段AB上,AC=9,CB=5,M,N分别是线段AC,BC的中点.求线段MN的长.
(2)点C在线段AB上,若AC+CB=a,M,N分别是线段AC,BC的中点.你能得出MN的长度吗?请说明理由.
(3)类似地,如图(2),∠AOB是直角,射线OC在∠AOB外部,且∠AOC是锐角,ON是∠AOC的平分线,OM是∠BOC的平分线.当∠AOC的大小发生改变时,∠MON的大小也会发生改变吗?为什么?

解：
(1) 因为M是线段AC的中点，AC=9，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$。
因为N是线段BC的中点，CB=5，
所以$NC=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×5=2.5$。
所以$MN=MC+NC=4.5+2.5=7$。
(2) 能得出$MN=\frac{1}{2}a$，理由如下：
因为M是线段AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为N是线段BC的中点，所以$NC=\frac{1}{2}BC$。
所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为$AC+CB=a$，
所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(3) $∠ MON$的大小不会发生改变，理由如下：
因为ON是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC$。
因为OM是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)$。
又因为$∠ BOC-∠ AOC=∠ AOB$，$∠ AOB=90°$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因此当$∠ AOC$的大小发生改变时，$∠ MON$恒为$45°$，不会发生改变。

【分析】
本题三个小问均围绕“中点（线段中点、角平分线）分原图形为相等的两部分”这一性质展开，解题思路如下：
(1) 已知AC、CB的长度，先根据线段中点的性质分别求出MC、NC的长度，再利用线段和的关系MN=MC+NC计算即可；
(2) 将具体数值替换为字母a，和(1)思路一致，先分别用AC、BC表示MC、NC，再提取公因式，将AC+BC替换为a即可推导得出MN的长度；
(3) 类比线段中点的解题思路，利用角平分线的性质分别表示出∠MOC和∠NOC，再根据角的差的关系∠MON=∠MOC-∠NOC，化简后发现∠MON仅和固定的∠AOB有关，因此大小不随∠AOC变化。
【解析】
(1) 因为M是线段AC的中点，AC=9，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$。
因为N是线段BC的中点，CB=5，
所以$NC=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×5=2.5$。
所以$MN=MC+NC=4.5+2.5=7$。
(2) 能得出$MN=\frac{1}{2}a$，理由如下：
因为M是线段AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为N是线段BC的中点，所以$NC=\frac{1}{2}BC$。
所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为$AC+CB=a$，
所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(3) $∠ MON$的大小不会发生改变，理由如下：
因为ON是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC$。
因为OM是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)$。
又因为$∠ BOC-∠ AOC=∠ AOB$，$∠ AOB=90°$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因此当$∠ AOC$的大小发生改变时，$∠ MON$恒为$45°$，不会发生改变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}a}$；(3) $\boldsymbol{∠MON}$大小不会发生改变，恒为$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
线段中点的性质、角平分线的性质、线段与角的和差计算
【点评】
本题考查线段中点和角平分线的基础应用，渗透了从特殊到一般、类比的数学思想，解题的核心是熟练掌握中点、角平分线的定义，能准确梳理线段、角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7