1.若一个三角形的三边长分别为3、4、5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（）

A.6
B.18
C.54
D.108

1.C

【分析】
解题思路可分为三步：①先根据勾股定理逆定理判断三边长为3、4、5的三角形是直角三角形，计算出它的面积；②两个三角形相似，最长边的比就是相似比，先求出两个三角形的相似比；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出较大三角形的面积，也可先通过相似比求出较大三角形的两条直角边长，再计算面积。
【解析】
第一步：判断原三角形形状
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
∴ 三边长为3、4、5的三角形是直角三角形，直角边长为3和4
它的面积$S_1 = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
第二步：求相似比
两个相似三角形的最长边分别为5和15，因此相似比$k = 5:15 = 1:3$
第三步：求较大三角形的面积
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $S_1:S_2 = k^2 = (1:3)^2 = 1:9$
即 $6:S_2 = 1:9$，解得$S_2 = 6×9 = 54$
也可通过相似比求较大三角形的直角边：$3×3=9$，$4×3=12$，面积为$\frac{1}{2}×9×12=54$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理、相似三角形的性质、直角三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先确定原三角形为直角三角形，再结合相似比与面积比的关系求解，熟练掌握相似三角形的边长比、面积比和相似比的对应关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.75

2. 如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD、BE分别是$△ ABC$的高和中线，$A'D'$、$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和中线，且$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$，则$B'E'$的长为。

2.$\frac{9}{2}$

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应高、对应中线的比值都等于相似比。我们可以先通过已知的对应高AD、A'D'的长度确定两个三角形的相似比，再利用对应中线的比等于相似比这一规律，列比例式即可求出B'E'的长度。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD、$A'D'$是两个三角形的对应高，BE、$B'E'$是两个三角形的对应中线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，
∴ $\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$，
将$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$代入上式，得：
$\frac{4}{3}=\frac{6}{B'E'}$，
解得$B'E'=\frac{6×3}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是准确识别对应高、对应中线这两类对应线段，利用对应线段比等于相似比列比例式求解即可。
【难度系数】
0.8

3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是。

3.18 cm、24 cm

【分析】
首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的相似比等于对应边的比，且对应角平分线的比等于相似比。本题已知两个相似三角形的一组对应边长，可先求出相似比，进而得到两条对应角平分线的长度比；再结合两条角平分线的和为42cm，通过设未知数列方程即可求出两条角平分线的长度。
【解析】
解：
∵两个三角形相似，两条对应边的长分别为6 cm和8 cm
∴两个相似三角形的相似比为 $ \frac{6}{8}=\frac{3}{4} $
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴这两条对应角平分线的长度比为3:4
设较短的角平分线长为$ 3x \, \mathrm{cm} $，较长的角平分线长为$ 4x \, \mathrm{cm} $
由题意得：$ 3x + 4x = 42 $
合并同类项得：$ 7x = 42 $
解得：$ x = 6 $
∴ $ 3x = 3×6 = 18 \, \mathrm{cm} $，$ 4x = 4×6 = 24 \, \mathrm{cm} $
【答案】
18 cm、24 cm
【知识点】
相似三角形的性质，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比这一性质，再结合已知的线段和关系，通过设比例系数的方法列方程求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O。若$S_{△ DOE}: S_{△ COA}=1:25$，求$S_{△ BDE}$与$S_{△ CDE}$的比。

4. 解:$\because DE// AC,\therefore △ DOE∽ △ COA.$
$\because S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25,\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{1}{5}.$
$\because DE// AC,\therefore △ BDE∽ △ BAC,$
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{5},\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{1}{4},$
$\therefore S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:4.$

【分析】
解题时首先从已知条件DE//AC入手，首先可得到△DOE与△COA相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合给出的面积比1:25，可求出两条平行线DE与AC的长度比；接着再次利用DE//AC得到△BDE与△BAC相似，对应边成比例可求出BE与BC的比值，进而得到BE与EC的比值；最后观察△BDE和△CDE，二者等高，面积比就等于底边长BE与EC的比，即可得到最终结果。
【解析】
解：$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ ODE=∠ OCA，∠ OED=∠ OAC$，
$\therefore △ DOE ∽ △ COA$。
$\because S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{DE}{AC}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ BDE=∠ BAC，∠ BED=∠ BCA$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{5}$，
$\therefore BE:EC=1:(5-1)=1:4$。
又$\because △ BDE$和$△ CDE$以BE、EC为底时，高相同，
$\therefore S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，核心是通过平行线构造相似三角形，将面积比与线段比进行灵活转化，需要注意区分相似三角形的面积比是相似比的平方，而同高三角形的面积比等于对应底的比，避免混淆两类面积比的规律。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边AB、AC上，且$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，则$S_{△ ADE}:S_{四边形BCED}=$（）

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$

5.C

【分析】
首先观察图形，△ADE和△ACB有公共角∠A，已知两组对应边的比相等，可先根据相似三角形的边角边判定定理证明两个三角形相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比；最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形BCED的面积，进而求出两者的比值。
【解析】
解：在△ADE和△ACB中：
∵ ∠A = ∠A（公共角），$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
∴ △ADE ∽ △ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $S_{△ADE}:S_{△ACB}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
设$S_{△ADE}=k$，则$S_{△ACB}=4k$
∴ $S_{四边形BCED}=S_{△ACB}-S_{△ADE}=4k - k = 3k$
∴ $S_{△ADE}:S_{四边形BCED}=k:3k=1:3$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积性质；比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确判定相似三角形，再利用面积比与相似比的关系计算，需要注意所求的是三角形与四边形的面积比，不要误算为两个三角形的面积比。
【难度系数】
0.7

6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G.若EF=$\frac{1}{2}AD$,则图中阴影部分的面积为 （）

A.25
B.30
C.35
D.40

6.C

【分析】
直接计算阴影部分的不规则图形面积难度较大，因此采用“整体减空白”的思路求解。第一步先计算矩形ABCD的总面积；第二步由AD//BC可证△EFG与△CBG相似，结合EF=½AD=½BC得到相似比；第三步利用相似三角形对应高的比等于相似比，结合两个三角形的高之和等于矩形的宽AB，求出两个空白三角形的高，进而算出空白部分总面积；最后用矩形总面积减去空白面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 计算矩形总面积：
矩形ABCD中，AB=6，BC=10，因此$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×10=60$。
2. 证明相似并求相似比：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=10，
∴$EF=\frac{1}{2}AD=5$，且∠FEG=∠BCG，∠EFG=∠CBG，
∴△EFG∽△CBG，相似比$k=\frac{EF}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
3. 求空白三角形的高：
设△EFG的高为$h_1$，△CBG的高为$h_2$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{2}$，
又
∵两个三角形的高之和等于矩形的宽，即$h_1+h_2=AB=6$，
联立解得$h_1=2$，$h_2=4$。
4. 计算阴影面积：
空白部分总面积$S_{空白}=S_{△ EFG}+S_{△ CBG}=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×10×4=5+20=25$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{空白}=60-25=35$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；割补法求面积
【点评】
本题是典型的几何面积计算类习题，采用间接求面积的思路可大幅降低解题难度，解题核心是利用平行线得到相似三角形，再结合相似比求出对应线段长度，对学生的图形观察能力和转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$△ ABC$中，$AC＞AB$，点$D$在$BC$上，且$BD=BA$，$∠ ABC$的平分线$BE$交$AD$于点$E$，$F$是$AC$的中点，连接$EF$。如果四边形$DCFE$和$△ BDE$的面积都为$3$，那么$△ ABC$的面积为________。

7.10

【分析】
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由BD=BA、BE平分∠ABC可推出E是AD的中点，因此△ABE和△BDE面积相等，可先求出△ABD的面积。再结合F是AC中点，可得EF是△ADC的中位线，进而得到△AEF和△ADC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合四边形DCFE的面积求出△ADC的面积，最后将△ABD和△ADC的面积相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△ABD的面积：
∵ BD=BA，BE是∠ABC的平分线，
∴ 根据等腰三角形三线合一，BE是AD边上的中线，即E为AD的中点，
∴ △ABE和△BDE等底（AE=ED）同高（B到AD的距离），面积相等，
∴ $S_{△ ABE} = S_{△ BDE} = 3$，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ABE} + S_{△ BDE} = 3+3=6$。
2. 求△ADC的面积：
∵ E是AD中点，F是AC中点，
∴ EF是△ADC的中位线，
∴ $EF// DC$，且$EF = \frac{1}{2} DC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ADC$，相似比为$1:2$，
∴ 面积比$S_{△ AEF}:S_{△ ADC} = (1:2)^2 = 1:4$。
设$S_{△ AEF} = x$，则$S_{△ ADC} = 4x$，
∵ 四边形DCFE的面积 $= S_{△ ADC} - S_{△ AEF} = 4x - x = 3x = 3$，
解得$x=1$，
∴ $S_{△ ADC} = 4×1 =4$。
3. 求△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC} = 6 +4 =10$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质
【点评】
本题将等腰三角形、中位线、相似三角形的知识点结合考查，解题的突破口是先利用等腰三角形三线合一得到AD中点，再通过中位线推出相似关系，进而通过面积比例求解未知部分面积，整体综合性较强，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6