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8.如图，D、E分别是$△ ABC$的边AB、AC上的点，且$DE // BC$，BE、CD相交于点O，若$S_{△ DOE}: S_{△ DOB}=1:3$，求$\frac{DE}{BC}$。
答案
8. 解:过点D作$DH⊥ BE$于H,图略.设$DH=h$,
$\therefore S_{△ DOE}=\frac{1}{2}OE· h,S_{△ DOB}=\frac{1}{2}OB· h,$
$\therefore \frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DOB}}=\frac{\frac{1}{2}OE· h}{\frac{1}{2}OB· h}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ ODE=∠ OCB,∠ OED=∠ OBC,$
$\therefore △ DOE∽ △ COB,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}.$
$\therefore S_{△ DOE}=\frac{1}{2}OE· h,S_{△ DOB}=\frac{1}{2}OB· h,$
$\therefore \frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DOB}}=\frac{\frac{1}{2}OE· h}{\frac{1}{2}OB· h}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ ODE=∠ OCB,∠ OED=∠ OBC,$
$\therefore △ DOE∽ △ COB,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知面积比的两个三角形△DOE和△DOB，二者共顶点D，底边均在直线BE上，属于同高三角形，同高三角形的面积比等于对应底边长的比，因此可先求出OE与OB的比值；再结合DE//BC的条件，可判定△DOE与△COB相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出DE与BC的比值。
【解析】
过点D作$DH ⊥ BE$于H，设$DH=h$。
根据三角形面积公式，可得：
$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}OE· h$，$S_{△ DOB}=\frac{1}{2}OB· h$
因此$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DOB}}=\frac{\frac{1}{2}OE· h}{\frac{1}{2}OB· h}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ODE=∠ OCB$，$∠ OED=∠ OBC$，
$\therefore △ DOE ∽ △ COB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同高三角形面积性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是先利用同高三角形的面积与底边的关系得到线段比，再结合平行线的性质证明三角形相似，最终通过相似三角形的性质求出对应边的比值，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知面积比的两个三角形△DOE和△DOB，二者共顶点D，底边均在直线BE上，属于同高三角形，同高三角形的面积比等于对应底边长的比，因此可先求出OE与OB的比值；再结合DE//BC的条件，可判定△DOE与△COB相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出DE与BC的比值。
【解析】
过点D作$DH ⊥ BE$于H，设$DH=h$。
根据三角形面积公式，可得：
$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}OE· h$，$S_{△ DOB}=\frac{1}{2}OB· h$
因此$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DOB}}=\frac{\frac{1}{2}OE· h}{\frac{1}{2}OB· h}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ODE=∠ OCB$，$∠ OED=∠ OBC$，
$\therefore △ DOE ∽ △ COB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同高三角形面积性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是先利用同高三角形的面积与底边的关系得到线段比，再结合平行线的性质证明三角形相似，最终通过相似三角形的性质求出对应边的比值，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
9 如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点E,点F在BD上,且∠BAF=∠DBC,$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$.
(1)求证:△ABC∽△AFD;
(2)若AD=2,BC=5,△ADE的面积为20,求△BCE的面积.
(1)求证:△ABC∽△AFD;
(2)若AD=2,BC=5,△ADE的面积为20,求△BCE的面积.
答案
9.(1)证明:$\because ∠ BAF=∠ DBC,$
$\therefore ∠ BAF+∠ ABF=∠ DBC+∠ ABF,$
即$∠ AFD=∠ ABC.$
$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD},\therefore △ ABC∽ △ AFD.$
(2)解:由(1)得$△ ABC∽ △ AFD,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB.$
$\because ∠ AED=∠ BEC,\therefore △ ADE∽ △ BCE.$
$\because AD=2,BC=5,\therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BEC}}=(\frac{AD}{BC})^2=\frac{4}{25}.$
$\because S_{△ ADE}=20,\therefore S_{△ BCE}=125.$
$\therefore ∠ BAF+∠ ABF=∠ DBC+∠ ABF,$
即$∠ AFD=∠ ABC.$
$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD},\therefore △ ABC∽ △ AFD.$
(2)解:由(1)得$△ ABC∽ △ AFD,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB.$
$\because ∠ AED=∠ BEC,\therefore △ ADE∽ △ BCE.$
$\because AD=2,BC=5,\therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BEC}}=(\frac{AD}{BC})^2=\frac{4}{25}.$
$\because S_{△ ADE}=20,\therefore S_{△ BCE}=125.$
解析
【分析】
(1)要证明△ABC∽△AFD，已知给出两边对应成比例$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$，根据相似三角形SAS判定定理，只需证明两组比例边的夹角∠AFD和∠ABC相等即可。结合已知∠BAF=∠DBC，利用三角形外角性质：∠AFD是△ABF的外角等于∠BAF+∠ABF，而∠ABC=∠ABF+∠DBC，等量代换即可得到夹角相等，完成相似证明。
(2)要求△BCE的面积，已知△ADE的面积，先借助(1)的相似结论得到对应角∠ADE=∠ACB，再结合对顶角∠AED=∠BEC，可证△ADE∽△BCE，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入AD、BC的长度求出面积比，即可算出△BCE的面积。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BAF=∠DBC$
$\therefore ∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF$
根据三角形外角性质，$∠AFD=∠BAF+∠ABF$，$∠ABC=∠ABF+∠DBC$，因此$∠AFD=∠ABC$
又$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$
$\therefore △ABC∽△AFD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
(2)解：
由(1)的相似结论可得对应角相等：$∠ADE=∠ACB$
在△ADE和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADE=∠BCE \\∠AED=∠BEC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ADE∽△BCE$（两角分别相等的两个三角形相似）
已知$AD=2,BC=5$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△BCE}}=(\frac{AD}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ADE}=20$代入得：
$\frac{20}{S_{△BCE}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△BCE}=125$
【答案】
(1)证明成立；
(2)$\boldsymbol{125}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题型，解题核心是结合已知条件寻找相等的角，先后两次证明三角形相似，再利用相似三角形的面积性质求解未知量，熟练掌握相似的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC∽△AFD，已知给出两边对应成比例$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$，根据相似三角形SAS判定定理，只需证明两组比例边的夹角∠AFD和∠ABC相等即可。结合已知∠BAF=∠DBC，利用三角形外角性质：∠AFD是△ABF的外角等于∠BAF+∠ABF，而∠ABC=∠ABF+∠DBC，等量代换即可得到夹角相等，完成相似证明。
(2)要求△BCE的面积，已知△ADE的面积，先借助(1)的相似结论得到对应角∠ADE=∠ACB，再结合对顶角∠AED=∠BEC，可证△ADE∽△BCE，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入AD、BC的长度求出面积比，即可算出△BCE的面积。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BAF=∠DBC$
$\therefore ∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF$
根据三角形外角性质，$∠AFD=∠BAF+∠ABF$，$∠ABC=∠ABF+∠DBC$，因此$∠AFD=∠ABC$
又$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$
$\therefore △ABC∽△AFD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
(2)解：
由(1)的相似结论可得对应角相等：$∠ADE=∠ACB$
在△ADE和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADE=∠BCE \\∠AED=∠BEC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ADE∽△BCE$（两角分别相等的两个三角形相似）
已知$AD=2,BC=5$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△BCE}}=(\frac{AD}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ADE}=20$代入得：
$\frac{20}{S_{△BCE}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△BCE}=125$
【答案】
(1)证明成立；
(2)$\boldsymbol{125}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题型，解题核心是结合已知条件寻找相等的角，先后两次证明三角形相似，再利用相似三角形的面积性质求解未知量，熟练掌握相似的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10小明和几名同学做手影游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关。因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的距离。于是，他们做了以下尝试。
(1)如图
，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30 cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B、D'C的长度和为6 cm。求灯泡离地面的高度；解题思维：利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度。
(2)不改变中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按摆放，请计算此时横向影子A'B、D'C的长度和；
(3)有n个边长为a cm的正方形按摆放，测得横向影子A'B、D'C的长度和为b cm，求灯泡离地面的高度。(写出解题过程，结果用含a、b、n的代数式表示)
(1)如图
，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30 cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B、D'C的长度和为6 cm。求灯泡离地面的高度；解题思维：利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度。(2)不改变中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按摆放，请计算此时横向影子A'B、D'C的长度和；
(3)有n个边长为a cm的正方形按摆放，测得横向影子A'B、D'C的长度和为b cm，求灯泡离地面的高度。(写出解题过程，结果用含a、b、n的代数式表示)
答案
10.解:(1)设灯泡离地面的高度为x cm，
$\because AD// A'D',$
$\therefore ∠ PAD=∠ PA'D',∠ PDA=∠ PD'A'.$
$\therefore △ PAD∽ △ PA'D'.$
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，
可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM},\therefore \frac{30}{36}=\frac{x-30}{x},解得x=180.$
故灯泡离地面的高度为180 cm.
(2)设横向影子A'B、D'C的长度和为y cm，
同理可得$\frac{60}{60+y}=\frac{150}{180},解得y=12.$
故此时横向影子A'B、D'C的长度和为12 cm.
(3)同理可得$△ PAD∽ △ PA'D',\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}.$
设灯泡离地面的高度为z cm，
由题意,得$PM=z cm,PN=(z-a) cm,AD=na cm,A'D'=(na+b) cm,$
$\therefore \frac{na}{na+b}=\frac{z-a}{z}=1-\frac{a}{z},\therefore z=\frac{na^2+ab}{b}.$
故灯泡离地面的高度为$\frac{na^2+ab}{b}$ cm.
$\because AD// A'D',$
$\therefore ∠ PAD=∠ PA'D',∠ PDA=∠ PD'A'.$
$\therefore △ PAD∽ △ PA'D'.$
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，
可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM},\therefore \frac{30}{36}=\frac{x-30}{x},解得x=180.$
故灯泡离地面的高度为180 cm.
(2)设横向影子A'B、D'C的长度和为y cm，
同理可得$\frac{60}{60+y}=\frac{150}{180},解得y=12.$
故此时横向影子A'B、D'C的长度和为12 cm.
(3)同理可得$△ PAD∽ △ PA'D',\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}.$
设灯泡离地面的高度为z cm，
由题意,得$PM=z cm,PN=(z-a) cm,AD=na cm,A'D'=(na+b) cm,$
$\therefore \frac{na}{na+b}=\frac{z-a}{z}=1-\frac{a}{z},\therefore z=\frac{na^2+ab}{b}.$
故灯泡离地面的高度为$\frac{na^2+ab}{b}$ cm.
解析
【分析】
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题核心是利用平行关系判定相似三角形，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列比例式求解：
(1) 由正方形边AD与影子所在的A'D'平行，可判定△PAD∽△PA'D'，设灯泡离地面高度为x，分别表示出两个三角形的对应边和对应高，列比例式解方程即可；
(2) 灯泡高度不变，两个正方形并排摆放时AD长度为两个边长之和，同样利用相似三角形的比例关系，设影子长度和为y，代入已知量求解即可；
(3) 推广到n个正方形的情况，先表示出AD、A'D'的长度，设灯泡高度为z，对应高分别为z（灯泡到地面）和z-a（灯泡到正方形），代入比例式化简即可得到结果。
【解析】
(1) 设灯泡离地面的高度为$ x $ cm，
$\because AD// A'D'$，
$\therefore ∠ PAD=∠ PA'D'$，$∠ PDA=∠ PD'A'$，
$\therefore △ PAD ∽ △ PA'D'$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}$，
已知$ AD=30\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=30+6=36\ \mathrm{cm} $，$ PN=x-30 $，$ PM=x $，
代入得$\frac{30}{36}=\frac{x-30}{x}$，解得$ x=180 $。
(2) 设横向影子$ A'B $、$ D'C $的长度和为$ y $ cm，
同理可得$△ PAD ∽ △ PA'D'$，此时$ AD=30×2=60\ \mathrm{cm} $，$ PM=180\ \mathrm{cm} $，$ PN=180-30=150\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=60+y $，
代入比例式$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}$得：
$\frac{60}{60+y}=\frac{150}{180}$，解得$ y=12 $。
(3) 设灯泡离地面的高度为$ z $ cm，
同理可得$△ PAD ∽ △ PA'D'$，
由题意可知：$ PM=z\ \mathrm{cm} $，$ PN=(z-a)\ \mathrm{cm} $，$ AD=na\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=(na+b)\ \mathrm{cm} $，
代入比例式得$\frac{na}{na+b}=\frac{z-a}{z}$，
整理化简可得$ z=\frac{na^2+ab}{b} $。
【答案】
(1) $\boxed{180\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boxed{12\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boxed{\frac{na^2+ab}{b}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，中心投影，比例方程求解
【点评】
本题结合手影游戏的实际场景，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题的关键是找准相似三角形的对应边和对应高的关系，设问从单个正方形到多个正方形，由特殊到一般，能很好地锻炼运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题核心是利用平行关系判定相似三角形，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列比例式求解：
(1) 由正方形边AD与影子所在的A'D'平行，可判定△PAD∽△PA'D'，设灯泡离地面高度为x，分别表示出两个三角形的对应边和对应高，列比例式解方程即可；
(2) 灯泡高度不变，两个正方形并排摆放时AD长度为两个边长之和，同样利用相似三角形的比例关系，设影子长度和为y，代入已知量求解即可；
(3) 推广到n个正方形的情况，先表示出AD、A'D'的长度，设灯泡高度为z，对应高分别为z（灯泡到地面）和z-a（灯泡到正方形），代入比例式化简即可得到结果。
【解析】
(1) 设灯泡离地面的高度为$ x $ cm，
$\because AD// A'D'$，
$\therefore ∠ PAD=∠ PA'D'$，$∠ PDA=∠ PD'A'$，
$\therefore △ PAD ∽ △ PA'D'$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}$，
已知$ AD=30\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=30+6=36\ \mathrm{cm} $，$ PN=x-30 $，$ PM=x $，
代入得$\frac{30}{36}=\frac{x-30}{x}$，解得$ x=180 $。
(2) 设横向影子$ A'B $、$ D'C $的长度和为$ y $ cm，
同理可得$△ PAD ∽ △ PA'D'$，此时$ AD=30×2=60\ \mathrm{cm} $，$ PM=180\ \mathrm{cm} $，$ PN=180-30=150\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=60+y $，
代入比例式$\frac{AD}{A'D'}=\frac{PN}{PM}$得：
$\frac{60}{60+y}=\frac{150}{180}$，解得$ y=12 $。
(3) 设灯泡离地面的高度为$ z $ cm，
同理可得$△ PAD ∽ △ PA'D'$，
由题意可知：$ PM=z\ \mathrm{cm} $，$ PN=(z-a)\ \mathrm{cm} $，$ AD=na\ \mathrm{cm} $，$ A'D'=(na+b)\ \mathrm{cm} $，
代入比例式得$\frac{na}{na+b}=\frac{z-a}{z}$，
整理化简可得$ z=\frac{na^2+ab}{b} $。
【答案】
(1) $\boxed{180\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boxed{12\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boxed{\frac{na^2+ab}{b}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，中心投影，比例方程求解
【点评】
本题结合手影游戏的实际场景，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题的关键是找准相似三角形的对应边和对应高的关系，设问从单个正方形到多个正方形，由特殊到一般，能很好地锻炼运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
