7. 如图，在$△ ABC$中，点P、D分别在边BC、AC上，$PA⊥ AB$，垂足为点A，$DP⊥ BC$，垂足为P，$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$。
(1)求证：$∠ APD=∠ C$；
(2)如果$AB=3$，$DC=2$，求$AP$的长。

7. (1)证明:
∵$PA⊥AB,DP⊥PC$,
∴$∠BAP=∠CPD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABP$与$\mathrm{Rt}△PCD$中,$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$,
∴$\mathrm{Rt}△ABP∽\mathrm{Rt}△PCD,∴∠APB=∠PDC$.
∵$∠DPB=∠APB+∠APD,∠DPB=∠PDC+∠C,∴∠APD=∠C$.
(2)解:
∵$\mathrm{Rt}△APB∽\mathrm{Rt}△PDC$,
∴$∠B=∠C,∴AB=AC$.
∵$AB=3,DC=2,∴AD=1$.
∵$∠APD=∠C,∠PAD=∠CAP$,
∴$△APD∽△ACP.∴\frac{AD}{AP}=\frac{AP}{AC}$,得$AP=\sqrt{3}$.

【分析】
(1)要证明∠APD=∠C，首先根据已知的两组垂直条件可得△ABP和△PCD均为直角三角形，结合给出的边成比例的条件，可先证这两个直角三角形相似，得到对应角∠APB=∠PDC；再利用三角形外角的性质，将∠DPB分别用含∠APD和含∠C的式子表示，等量代换即可推导出待证的角相等。
(2)由第一问得到的三角形相似可得∠B=∠C，推出AB=AC，结合已知长度可算出AC、AD的长度；再利用第一问的结论∠APD=∠C，加上公共角∠PAD=∠CAP，可证△APD与△ACP相似，根据相似三角形对应边成比例建立关于AP的等式，求解即可得到AP的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$PA⊥AB$，$DP⊥BC$，
∴$∠BAP=∠CPD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABP$与$\mathrm{Rt}△PCD$中，$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，
∴$\mathrm{Rt}△ABP∽\mathrm{Rt}△PCD$，
∴$∠APB=∠PDC$。
∵$∠DPB$是$△PDC$的外角，
∴$∠DPB=∠PDC+∠C$，
又
∵$∠DPB=∠APB+∠APD$，
∴$∠APB+∠APD=∠PDC+∠C$，
将$∠APB=∠PDC$代入上式，得$∠APD=∠C$。
(2)解：
∵$\mathrm{Rt}△ABP∽\mathrm{Rt}△PCD$，
∴$∠B=∠C$，
∴$AB=AC$。
∵$AB=3$，
∴$AC=3$，
又
∵$DC=2$，
∴$AD=AC-DC=3-2=1$。
在$△APD$和$△ACP$中：
$\begin{cases}∠APD=∠C \\∠PAD=∠CAP\end{cases}$
∴$△APD∽△ACP$，
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{AP}{AC}$，即$AP^2=AD· AC$，
代入$AD=1$，$AC=3$，得$AP^2=1×3=3$，
∵AP为线段长度，取正值，
∴$AP=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证$∠APD=∠C$；
(2) $AP=\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定与性质的综合应用，需要学生熟练掌握直角三角形相似的判定条件，能够灵活进行角的等量转化，解题过程中两次用到相似三角形，对逻辑推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6

8已知:如图,在平行四边形ABCD中,过点C分别作AD、AB的垂线,交边AD、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:$AD· DE=AB· BF$;
(2)连接AC,如果$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$,求证:$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$.

8. 证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD// AB,AD// BC$,
∴$∠CDE=∠DAB,∠CBF=∠DAB$,
∴$∠CDE=∠CBF$.
∵$CE⊥AE,CF⊥AF$,
∴$∠CED=∠CFB=90°$,
∴$△CDE∽△CBF,∴\frac{BC}{BF}=\frac{CD}{DE}$.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD,CD=AB,∴\frac{AD}{BF}=\frac{AB}{DE}$,
∴$AD· DE=AB· BF$.
(2)
∵$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD},∠CED=∠CFB=90°$,
∴$△ACF∽△CDE$.
又
∵$△CDE∽△CBF$,
∴$△ACF∽△CBF,∴\frac{S_{△ACF}}{S_{△CBF}}=\frac{AC^2}{BC^2}$.
∵$△ACF$与$△CBF$等高，
∴$\frac{S_{△ACF}}{S_{△CBF}}=\frac{AF}{BF}.∴\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$.

【分析】
(1) 要证明等积式$AD· DE=AB· BF$，可先转化为证明比例式$\frac{AD}{BF}=\frac{AB}{DE}$。结合平行四边形对边相等的性质，只需证明$\frac{BC}{BF}=\frac{CD}{DE}$，即证$△ CDE ∽ △ CBF$。利用平行四边形对边平行的性质可推导得$∠ CDE=∠ CBF$，再结合CE⊥AE、CF⊥AF得到的两组直角，即可证明两三角形相似，得到对应边的比例关系，替换平行四边形的等边后即可得证。
(2) 要证明$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$，首先根据已知的线段比例$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$和直角相等，证明$△ ACF ∽ △ CDE$；结合(1)中已证的$△ CDE ∽ △ CBF$，通过相似的传递性得到$△ ACF ∽ △ CBF$，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可得两三角形面积比为$\frac{AC^2}{BC^2}$；又因为$△ ACF$和$△ CBF$等高，面积比等于底边长的比$\frac{AF}{BF}$，联立两个面积比即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD// AB,AD// BC$，
∴$∠CDE=∠DAB,∠CBF=∠DAB$，
∴$∠CDE=∠CBF$。
∵$CE⊥AE,CF⊥AF$，
∴$∠CED=∠CFB=90°$，
∴$△ CDE∽△ CBF$，
∴$\frac{BC}{BF}=\frac{CD}{DE}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD,CD=AB$，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AB}{DE}$，
∴$AD· DE=AB· BF$。
(2) 证明：
∵$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD},∠CED=∠CFB=90°$，
∴$△ ACF∽△ CDE$。
由(1)知$△ CDE∽△ CBF$，
∴$△ ACF∽△ CBF$，
∴$\frac{S_{△ ACF}}{S_{△ CBF}}=\frac{AC^2}{BC^2}$（相似三角形面积比等于相似比的平方）。
∵$△ ACF$与$△ CBF$共顶点C，底边AF、BF在同一直线AF上，两三角形等高，
∴$\frac{S_{△ ACF}}{S_{△ CBF}}=\frac{AF}{BF}$（等高三角形面积比等于底边长的比），
∴$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$。
【答案】
(1) $AD· DE=AB· BF$得证；
(2) $\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$得证。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积比
【点评】
本题是几何综合证明题，核心考查相似三角形相关性质的应用，解题时要注意等积式和比例式的灵活转化，同时要区分相似三角形面积比、等高三角形面积比的不同应用场景，锻炼逻辑推导和几何关系转化的能力。
【难度系数】
0.6

9 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠C=90°，AB=2，CD=6，点P在边BC上。
(1)当BC=8时：
①当BP=3时，△ABP与△PCD ；(填“相似”或“不相似”)
②当△ABP与△PCD相似时，求BP的长。
(2)当△ABP与△PCD相似，满足条件的BP有三个不同的值时，求BC的取值范围。

9. 解:(1)①
∵$BC=8,BP=3$,
∴$CP=BC-BP=5,∴\frac{AB}{BP}=\frac{2}{3},\frac{CP}{CD}=\frac{5}{6}$,
∴$\frac{AB}{BP}≠\frac{CP}{CD},∴△ABP$与$△PCD$不相似.
故答案为不相似.
②
∵$∠B=∠C=90°$,
∴分两种情况：
当$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$时,$\frac{2}{8-BP}=\frac{BP}{6}$,解得$BP=2$或6，
当$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$时,$\frac{2}{6}=\frac{BP}{8-BP}$,解得$BP=2$,
∴当$△ABP$与$△PCD$相似时,$BP$的长为2或6.
(2)同②分两种情况讨论,设$BC=k$,
当$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$时,$\frac{2}{k-BP}=\frac{BP}{6}$,
∴$BP^2 -kBP +12=0$.
当$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$时,$\frac{2}{6}=\frac{BP}{k-BP}$,解得$BP=\frac{1}{4}k$.
可知第一种情况$BP$有两个不同的值,第二种情况$BP$有一个值,且该值不与第一种情况的值相同，
∴$Δ=k^2-4×1×12=k^2-48＞0$.
又
∵$k＞0,∴k＞\sqrt{48}=4\sqrt{3}$,
代入$BP=\frac{1}{4}k$,得$(\frac{1}{4}k)^2 -k·\frac{1}{4}k +12=0$,
解得$k=8$(负值已舍去)，
∴$k≠8,∴k＞4\sqrt{3}$,且$k≠8$,即$BC＞4\sqrt{3}$,且$BC≠8$.
故$BC＞4\sqrt{3}$,且$BC≠8$.

【分析】
(1)①要判断两个直角三角形是否相似，已知∠B=∠C=90°，只需验证两组直角边是否成比例即可，先求出CP的长度，再计算对应边的比值对比即可得出结论。
②两个直角三角形相似时，直角为固定对应角，剩余锐角的对应关系有两种，因此需分两种情况列比例式求解，再验证解是否符合边长的取值要求。
(2)设BC的长度为k，同样按两种相似情况分析：第一种对应关系可得到关于BP的一元二次方程，要得到两个不同的BP值需判别式大于0；第二种对应关系得到唯一的BP值，要保证该值与第一种情况的两个根不重复，排除对应的k值，最终得到BC的取值范围。
【解析】
(1)①已知BC=8，BP=3，因此$CP=BC-BP=8-3=5$。
计算边的比值：$\frac{AB}{BP}=\frac{2}{3}$，$\frac{CP}{CD}=\frac{5}{6}$，显然$\frac{2}{3}≠\frac{5}{6}$，即两组直角边不成比例，因此△ABP与△PCD不相似。
②已知∠B=∠C=90°，△ABP和△PCD相似分两种情况：
情况1：当$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$时，代入$AB=2$，$CD=6$，$PC=8-BP$，得：
$\frac{2}{8-BP}=\frac{BP}{6}$
整理得$BP^2-8BP+12=0$，解得$BP=2$或$BP=6$，均符合$0＜BP＜8$的要求。
情况2：当$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$时，代入得：
$\frac{2}{6}=\frac{BP}{8-BP}$
交叉相乘解得$BP=2$，符合要求。
综上，BP的长为2或6。
(2)设$BC=k(k＞0)$，$BP=x(0＜x＜k)$，分两种相似情况讨论：
情况1：当$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$时，代入$PC=k-x$，得$\frac{2}{k-x}=\frac{x}{6}$，整理得$x^2-kx+12=0$。
情况2：当$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$时，代入得$\frac{2}{6}=\frac{x}{k-x}$，解得$x=\frac{k}{4}$，为唯一解。
要满足条件的BP有三个不同的值，需情况1的一元二次方程有两个不同的正实根，且两个根均不等于$\frac{k}{4}$：
首先，情况1有两个不同正实根，需判别式$\Delta=k^2-4×1×12＞0$，结合$k＞0$，解得$k＞4\sqrt{3}$。
其次，保证$x=\frac{k}{4}$不是情况1的根，将$x=\frac{k}{4}$代入$x^2-kx+12=0$，解得$k=8$（负值舍去），因此$k≠8$。
综上，BC的取值范围是$BC＞4\sqrt{3}$且$BC≠8$。
【答案】
(1)①不相似；②BP的长为2或6；(2)$BC＞4\sqrt{3}$且$BC≠8$
【知识点】
相似三角形的判定，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题围绕直角三角形相似的判定展开，解题时需注意相似三角形对应边不明确时，要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解；同时结合一元二次方程根的情况求解参数范围，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.5