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5. 如图给出了一种机器零件的示意图，其中$CD=2$米，$BE=3$米，则$AB$的长为（
A.$(\sqrt{3}-1)$米
B.$(\sqrt{3}+1)$米
C.$(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3})$米
D.$(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$米
A
）A.$(\sqrt{3}-1)$米
B.$(\sqrt{3}+1)$米
C.$(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3})$米
D.$(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$米
答案
5.A
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确俯角的对应关系，将实际图形转化为直角三角形模型；第一步先在含45°角的直角三角形CEB中，用正切函数求出竖直边CE的长度，再结合已知CD的长度算出DE的长度；第二步构造以30°为内角的直角三角形，用正切函数求出D点到A点所在水平线的竖直距离；最后通过线段的和差关系即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AG⊥CE，垂足为G。由题意可知四边形AGEB为矩形，因此AG=BE=3米，AB=GE。
1. 在Rt△CEB中，C点俯角为45°，故∠CBE=45°：
$\tan45°=\frac{CE}{BE}$，代入BE=3米得：
$CE=BE·\tan45°=3×1=3$米
已知CD=2米，因此$DE=CE-CD=3-2=1$米。
2. 在Rt△AGD中，D点俯角为30°，故∠DAG=30°：
$\tan30°=\frac{DG}{AG}$，代入AG=3米得：
$DG=AG·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$米
3. 由线段差可得：$AB=GE=DG-DE=\sqrt{3}-1$米
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，俯角的概念，矩形性质
【点评】
本题侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是找准俯角对应的直角三角形内角，理清各线段之间的和差关系，计算时要熟记特殊角的三角函数值，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确俯角的对应关系，将实际图形转化为直角三角形模型；第一步先在含45°角的直角三角形CEB中，用正切函数求出竖直边CE的长度，再结合已知CD的长度算出DE的长度；第二步构造以30°为内角的直角三角形，用正切函数求出D点到A点所在水平线的竖直距离；最后通过线段的和差关系即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AG⊥CE，垂足为G。由题意可知四边形AGEB为矩形，因此AG=BE=3米，AB=GE。
1. 在Rt△CEB中，C点俯角为45°，故∠CBE=45°：
$\tan45°=\frac{CE}{BE}$，代入BE=3米得：
$CE=BE·\tan45°=3×1=3$米
已知CD=2米，因此$DE=CE-CD=3-2=1$米。
2. 在Rt△AGD中，D点俯角为30°，故∠DAG=30°：
$\tan30°=\frac{DG}{AG}$，代入AG=3米得：
$DG=AG·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$米
3. 由线段差可得：$AB=GE=DG-DE=\sqrt{3}-1$米
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，俯角的概念，矩形性质
【点评】
本题侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是找准俯角对应的直角三角形内角，理清各线段之间的和差关系，计算时要熟记特殊角的三角函数值，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
6 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示。无人机在距水平地面120 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为$22°$，再将无人机沿水平方向飞行73 m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为$45°$（点M、N、A、B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1 m。参考数据：$\sin 22° \approx 0.37$，$\cos 22° \approx 0.93$，$\tan 22° \approx 0.40$）（
A.41 m
B.42 m
C.43 m
D.77 m
第6题图 第7题图
C
）A.41 m
B.42 m
C.43 m
D.77 m
第6题图 第7题图
答案
6.C
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，将俯角转化为直角三角形的内角；先利用45°特殊角的三角函数性质求出点N到潮汐塔所在竖直线的水平距离，结合MN的长度得到点M到该竖直线的水平距离；再利用22°的正切值求出潮汐塔顶端到MN所在水平线的垂直距离；最后用MN到地面的总高度减去该距离即可得到潮汐塔的高度。
【解析】
延长BA交MN所在直线于点C，由题意可知BC⊥MN，且BC = 120 m（MN距水平地面高度为120 m，AB垂直地面）。
1. 在Rt△BCN中，∠BNC = 45°，∠C = 90°，
∴ ∠NBC = 45°，因此NC = BC = 120 m。
2. 已知MN = 73 m，
∴ MC = MN + NC = 73 + 120 = 193 m。
3. 在Rt△ACM中，∠AMC = 22°，∠C = 90°，
根据正切定义：$\tan∠ AMC=\frac{AC}{MC}$，
代入数据得：$AC = MC·\tan22°\approx193×0.40=77.2\ \mathrm{m}$。
4. 潮汐塔高度$AB = BC - AC = 120 - 77.2\approx43\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角三角函数
3. 俯角的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的常规应用题，核心是将实际场景中的角度、距离条件转化为直角三角形的边角关系，解题时要注意辅助线的合理构造，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，将俯角转化为直角三角形的内角；先利用45°特殊角的三角函数性质求出点N到潮汐塔所在竖直线的水平距离，结合MN的长度得到点M到该竖直线的水平距离；再利用22°的正切值求出潮汐塔顶端到MN所在水平线的垂直距离；最后用MN到地面的总高度减去该距离即可得到潮汐塔的高度。
【解析】
延长BA交MN所在直线于点C，由题意可知BC⊥MN，且BC = 120 m（MN距水平地面高度为120 m，AB垂直地面）。
1. 在Rt△BCN中，∠BNC = 45°，∠C = 90°，
∴ ∠NBC = 45°，因此NC = BC = 120 m。
2. 已知MN = 73 m，
∴ MC = MN + NC = 73 + 120 = 193 m。
3. 在Rt△ACM中，∠AMC = 22°，∠C = 90°，
根据正切定义：$\tan∠ AMC=\frac{AC}{MC}$，
代入数据得：$AC = MC·\tan22°\approx193×0.40=77.2\ \mathrm{m}$。
4. 潮汐塔高度$AB = BC - AC = 120 - 77.2\approx43\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角三角函数
3. 俯角的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的常规应用题，核心是将实际场景中的角度、距离条件转化为直角三角形的边角关系，解题时要注意辅助线的合理构造，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端点P的仰角是$45°$，向前走60米到达点B，测得点P的仰角是$60°$，测得发射塔底部点Q的仰角是$30°$，则信号发射塔PQ的高度为
94.6
米.（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$，结果精确到0.1米）答案
7.94.6 解析:设 PC 为 x 米.
在 Rt△APC 中,∠PAC=45°,则 AC=PC=x 米.
∵∠PBC=60°,
∴∠BPC=30°.
在 Rt△BPC 中,BC=√3/3 PC=√3/3 x 米.
∵AB=AC-BC=60 米,则 x - √3/3 x=60,
解得 x=90+30√3,则 BC=(30√3+30)米.
在 Rt△BCQ 中,QC=√3/3 BC=√3/3 (30√3+30)=
(30+10√3)米.
∴PQ=PC-QC=90+30√3-
(30+10√3)=60+20√3≈94.6(米).
在 Rt△APC 中,∠PAC=45°,则 AC=PC=x 米.
∵∠PBC=60°,
∴∠BPC=30°.
在 Rt△BPC 中,BC=√3/3 PC=√3/3 x 米.
∵AB=AC-BC=60 米,则 x - √3/3 x=60,
解得 x=90+30√3,则 BC=(30√3+30)米.
在 Rt△BCQ 中,QC=√3/3 BC=√3/3 (30√3+30)=
(30+10√3)米.
∴PQ=PC-QC=90+30√3-
(30+10√3)=60+20√3≈94.6(米).
解析
【分析】
本题是仰角类解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 首先确定图中△APC、△BPC、△BQC均为直角三角形（PC垂直地面AC）；2. 设PC的长度为未知数x，利用特殊角的三角函数值，用含x的式子表示AC、BC的长度；3. 结合AB=AC-BC=60米的数量关系列方程，求出PC的长度；4. 再在Rt△BQC中求出QC的长度，最终用PC减去QC即可得到发射塔PQ的高度，最后按要求取近似值。
【解析】
设PC的长度为x米。
∵PC⊥AC，∠PAC=45°，
∴Rt△APC为等腰直角三角形，$AC=PC=x$米。
在Rt△BPC中，∠PBC=60°，
∴$\tan60°=\frac{PC}{BC}$，即$\sqrt{3}=\frac{x}{BC}$，得$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}x$米。
已知$AB=AC-BC=60$米，代入得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=60$
解得$x=90+30\sqrt{3}$，则$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}×(90+30\sqrt{3})=30\sqrt{3}+30$米。
在Rt△BQC中，∠QBC=30°，
∴$\tan30°=\frac{QC}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{QC}{30\sqrt{3}+30}$，
解得$QC=30+10\sqrt{3}$米。
∴$PQ=PC-QC=(90+30\sqrt{3})-(30+10\sqrt{3})=60+20\sqrt{3}\approx60+20×1.732=94.6$米。
【答案】
94.6
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，特殊角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际测量的典型题型，解题核心是抓住公共直角边PC作为桥梁，结合线段和差关系建立方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.65
本题是仰角类解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 首先确定图中△APC、△BPC、△BQC均为直角三角形（PC垂直地面AC）；2. 设PC的长度为未知数x，利用特殊角的三角函数值，用含x的式子表示AC、BC的长度；3. 结合AB=AC-BC=60米的数量关系列方程，求出PC的长度；4. 再在Rt△BQC中求出QC的长度，最终用PC减去QC即可得到发射塔PQ的高度，最后按要求取近似值。
【解析】
设PC的长度为x米。
∵PC⊥AC，∠PAC=45°，
∴Rt△APC为等腰直角三角形，$AC=PC=x$米。
在Rt△BPC中，∠PBC=60°，
∴$\tan60°=\frac{PC}{BC}$，即$\sqrt{3}=\frac{x}{BC}$，得$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}x$米。
已知$AB=AC-BC=60$米，代入得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=60$
解得$x=90+30\sqrt{3}$，则$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}×(90+30\sqrt{3})=30\sqrt{3}+30$米。
在Rt△BQC中，∠QBC=30°，
∴$\tan30°=\frac{QC}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{QC}{30\sqrt{3}+30}$，
解得$QC=30+10\sqrt{3}$米。
∴$PQ=PC-QC=(90+30\sqrt{3})-(30+10\sqrt{3})=60+20\sqrt{3}\approx60+20×1.732=94.6$米。
【答案】
94.6
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，特殊角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际测量的典型题型，解题核心是抓住公共直角边PC作为桥梁，结合线段和差关系建立方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.65
8. 如图1是某小车后备厢开启状态，图2是该车后备厢开启时侧面示意图，具体数据如图所示(单位:cm)，且$AF// BE$，$∠ BAF=60°$，$BD=10$，厢盖开启过程中，点$A、C、F$不随厢盖转动，点$B、D、E$绕点$A$沿逆时针方向转动$90°$(即$∠ BAB'=90°$)，分别到点$B'、D'、E'$的位置，气簧活塞杆$CD$随之伸长至$CD'$.已知直线$BE⊥ B'E'$，$CD'=CB$，求$AB、CD'$的长.
答案
8.解:如图,过点 A 作 AP⊥EB 的延长线于点 P.
∵AF//BE,
∴∠ABP=∠BAF=60°,
∴BP=1/2 AB.
由题意知 BE 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到 B'E',
过 B'作 B'H⊥AP,交 AP 于点 H.
∵∠PAB+∠ABP=90°,∠D'AP+∠PAB=90°,
∴∠D'AP=∠ABP=60°,
∴B'H=AB'sin60°=√3/2 AB'=√3/2 AB,
∴20+20√3=B'H+PB=√3/2 AB+1/2 AB=(√3+1)/2 AB,
∴AB=40 cm.
设 CD=x cm,则 CD'=BC=BD+CD=(10+x) cm,
∴AC=AB-BC=40-(10+x)=(30-x) cm,
AD'=AD=AB-BD=40-10=30(cm).
∵∠D'AC=90°,
∴AC²+AD'²=CD'²,
∴(30-x)²+30²=(10+x)²,解得 x=21.25,
∴CD'=10+x=31.25(cm).
解析
【分析】
本题可分两步求解：①求AB的长度：首先过A作AP垂直EB的延长线，由AF//BE得内错角∠ABP=∠BAF=60°，在Rt△ABP中可将BP用AB表示；再根据旋转的性质，AB=AB'、∠BAB'=90°，过B'作B'H垂直AP，可得∠B'AH=∠ABP=60°，即可将B'H也用AB表示，已知B'到BE的总高度为$20+20\sqrt{3}$，等于B'H与BP的和，列方程即可求出AB。②求CD'的长度：设CD=x，由CD'=CB可得CD'=10+x，再根据旋转性质得AD'=AD=AB-BD，且∠D'AC=90°，在Rt△ACD'中利用勾股定理列方程求解x，即可得到CD'的长度。
【解析】
如图，过点A作$AP⊥ EB$的延长线于点P。
$\because AF// BE$，
$\therefore ∠ ABP=∠ BAF=60°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABP$中，$BP=\frac{1}{2}AB$。
由题意知BE绕点A逆时针旋转$90°$后得到$B'E'$，
过$B'$作$B'H⊥ AP$，交AP于点H。
$\because ∠ PAB+∠ ABP=90°$，$∠ B'AP+∠ PAB=90°$，
$\therefore ∠ B'AP=∠ ABP=60°$，
又$\because AB'=AB$，
$\therefore$ 在$Rt△ AB'H$中，$B'H=AB'·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB'=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
由图可知$B'$到BE的竖直距离为$B'H+BP=20+20\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}AB+\frac{1}{2}AB=20+20\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}+1}{2}AB=20(\sqrt{3}+1)$，
解得$AB=40\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，
$\because CD'=CB$，$CB=BD+CD=10+x$，
$\therefore CD'=(10+x)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=AB-BC=40-(10+x)=(30-x)\ \mathrm{cm}$，
由旋转性质得$AD'=AD=AB-BD=40-10=30\ \mathrm{cm}$，$∠ D'AC=∠ BAB'=90°$，
在$Rt△ ACD'$中，由勾股定理得$AC^2+AD'^2=CD'^2$，
$\therefore (30-x)^2+30^2=(10+x)^2$，
展开整理得：$80x=1700$，
解得$x=21.25$，
$\therefore CD'=10+21.25=31.25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AB的长为$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$，CD'的长为$\boldsymbol{31.25\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题结合汽车后备箱开启的实际场景，将几何知识与生活实际相结合，解题时需要合理添加辅助线构造直角三角形，结合旋转的性质找到边与角的等量关系，再利用勾股定理列方程求解，较好地考查了几何建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题可分两步求解：①求AB的长度：首先过A作AP垂直EB的延长线，由AF//BE得内错角∠ABP=∠BAF=60°，在Rt△ABP中可将BP用AB表示；再根据旋转的性质，AB=AB'、∠BAB'=90°，过B'作B'H垂直AP，可得∠B'AH=∠ABP=60°，即可将B'H也用AB表示，已知B'到BE的总高度为$20+20\sqrt{3}$，等于B'H与BP的和，列方程即可求出AB。②求CD'的长度：设CD=x，由CD'=CB可得CD'=10+x，再根据旋转性质得AD'=AD=AB-BD，且∠D'AC=90°，在Rt△ACD'中利用勾股定理列方程求解x，即可得到CD'的长度。
【解析】
如图，过点A作$AP⊥ EB$的延长线于点P。
$\because AF// BE$，
$\therefore ∠ ABP=∠ BAF=60°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABP$中，$BP=\frac{1}{2}AB$。
由题意知BE绕点A逆时针旋转$90°$后得到$B'E'$，
过$B'$作$B'H⊥ AP$，交AP于点H。
$\because ∠ PAB+∠ ABP=90°$，$∠ B'AP+∠ PAB=90°$，
$\therefore ∠ B'AP=∠ ABP=60°$，
又$\because AB'=AB$，
$\therefore$ 在$Rt△ AB'H$中，$B'H=AB'·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB'=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
由图可知$B'$到BE的竖直距离为$B'H+BP=20+20\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}AB+\frac{1}{2}AB=20+20\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}+1}{2}AB=20(\sqrt{3}+1)$，
解得$AB=40\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，
$\because CD'=CB$，$CB=BD+CD=10+x$，
$\therefore CD'=(10+x)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=AB-BC=40-(10+x)=(30-x)\ \mathrm{cm}$，
由旋转性质得$AD'=AD=AB-BD=40-10=30\ \mathrm{cm}$，$∠ D'AC=∠ BAB'=90°$，
在$Rt△ ACD'$中，由勾股定理得$AC^2+AD'^2=CD'^2$，
$\therefore (30-x)^2+30^2=(10+x)^2$，
展开整理得：$80x=1700$，
解得$x=21.25$，
$\therefore CD'=10+21.25=31.25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AB的长为$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$，CD'的长为$\boldsymbol{31.25\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题结合汽车后备箱开启的实际场景，将几何知识与生活实际相结合，解题时需要合理添加辅助线构造直角三角形，结合旋转的性质找到边与角的等量关系，再利用勾股定理列方程求解，较好地考查了几何建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
