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1. 侦察机在P处观测目标R的俯角为$30°$，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R的俯角为$45°$，符合条件的示意图是 （
A
）答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确俯角的定义：俯角是观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角。本题中侦察机从P向东航行到Q，因此PQ为水平东西走向（左西右东），观测R的俯角分别为30°、45°，说明R在PQ的南侧（即图中PQ的下方），且P点处水平线PQ与视线PR的夹角为30°，Q点处水平线QP与视线QR的夹角为45°，据此逐一判断选项即可。
【解析】
1. 依据俯角定义判断目标位置：俯角是向下观测的夹角，因此目标R应在PQ的下方，首先排除R在PQ上方的D选项；
2. 明确角度要求：PQ为东西向水平线，P在西侧、Q在东侧，因此P处俯角30°即∠RPQ=30°，Q处俯角45°即∠RQP=45°；
3. 逐一验证剩余选项：
选项A：∠RPQ=30°，∠RQP=45°，R在PQ下方，符合所有条件；
选项B：标注角度为45°和50°，角度不匹配，排除；
选项C：标注的是视线与正北方向（竖直线）的夹角，不符合俯角是与水平线夹角的定义，排除。
因此符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念，方向角识别
【点评】
本题核心是对俯角概念的准确理解，易错点是混淆俯角是视线与水平线的夹角，而非与竖直线的夹角，掌握基础概念结合航行方向即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确俯角的定义：俯角是观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角。本题中侦察机从P向东航行到Q，因此PQ为水平东西走向（左西右东），观测R的俯角分别为30°、45°，说明R在PQ的南侧（即图中PQ的下方），且P点处水平线PQ与视线PR的夹角为30°，Q点处水平线QP与视线QR的夹角为45°，据此逐一判断选项即可。
【解析】
1. 依据俯角定义判断目标位置：俯角是向下观测的夹角，因此目标R应在PQ的下方，首先排除R在PQ上方的D选项；
2. 明确角度要求：PQ为东西向水平线，P在西侧、Q在东侧，因此P处俯角30°即∠RPQ=30°，Q处俯角45°即∠RQP=45°；
3. 逐一验证剩余选项：
选项A：∠RPQ=30°，∠RQP=45°，R在PQ下方，符合所有条件；
选项B：标注角度为45°和50°，角度不匹配，排除；
选项C：标注的是视线与正北方向（竖直线）的夹角，不符合俯角是与水平线夹角的定义，排除。
因此符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念，方向角识别
【点评】
本题核心是对俯角概念的准确理解，易错点是混淆俯角是视线与水平线的夹角，而非与竖直线的夹角，掌握基础概念结合航行方向即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在点F处看建筑物D处的仰角为$32°$,向建筑物走近了$a$米到达点E处,在点E处看点D处的仰角为$64°$,则CD的高度值可以表示为（
A.$a\sin 32°$
B.$a\sin 64°$
C.$a\tan 32°$
D.$a\tan 64°$
B
）A.$a\sin 32°$
B.$a\sin 64°$
C.$a\tan 32°$
D.$a\tan 64°$
答案
2.B
解析
【分析】
这是解直角三角形的仰角应用问题，解题思路分两步：①先利用三角形外角性质推导角的等量关系：已知∠F=32°，∠DEC=64°，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得∠EDF=∠DEC-∠F=32°，即∠F=∠EDF，由等角对等边得DE=EF=a；②再在Rt△DCE中，结合三角函数定义即可求出CD的表达式。
【解析】
解：
∵∠DEC是△DEF的外角，
∴∠DEC=∠F+∠EDF。
已知∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=64°-32°=32°，即∠EDF=∠F，
∴DE=EF=a（等角对等边）。
在Rt△DCE中，∠DCE=90°，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ DEC=\frac{CD}{DE}$，
代入DE=a、∠DEC=64°，可得：
$CD=DE·\sin64°=a\sin64°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 仰角俯角问题
2. 等腰三角形判定
3. 三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，解题的核心是通过角的倍数关系推导得到等腰三角形，进而得到线段DE的长度，只要熟练掌握三角形外角性质和锐角三角函数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形的仰角应用问题，解题思路分两步：①先利用三角形外角性质推导角的等量关系：已知∠F=32°，∠DEC=64°，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得∠EDF=∠DEC-∠F=32°，即∠F=∠EDF，由等角对等边得DE=EF=a；②再在Rt△DCE中，结合三角函数定义即可求出CD的表达式。
【解析】
解：
∵∠DEC是△DEF的外角，
∴∠DEC=∠F+∠EDF。
已知∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=64°-32°=32°，即∠EDF=∠F，
∴DE=EF=a（等角对等边）。
在Rt△DCE中，∠DCE=90°，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ DEC=\frac{CD}{DE}$，
代入DE=a、∠DEC=64°，可得：
$CD=DE·\sin64°=a\sin64°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 仰角俯角问题
2. 等腰三角形判定
3. 三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，解题的核心是通过角的倍数关系推导得到等腰三角形，进而得到线段DE的长度，只要熟练掌握三角形外角性质和锐角三角函数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，小明用无人机测量大楼高度，无人机悬停在A处时，看这栋楼底的俯角为45°，而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的B处，此时看这栋楼底的俯角为60°，则这栋楼的高度CD约为
47.3
米.($\sqrt{3}\approx1.732$，结果精确到0.1)答案
3.47.3
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，首先明确俯角的含义，注意A、B两点在同一竖直线上，到大楼的水平距离相等，这是解题的关键隐含条件。我们可以设大楼高度CD为h米，两点到大楼的水平距离为d米，先结合45°俯角的直角三角形，利用tan45°得到h与d的第一个等量关系，再结合60°俯角的直角三角形，利用tan60°得到h与d的第二个等量关系，联立两个关系式即可求解h，最后代入近似值得到结果。
【解析】
设大楼高度$ CD = h $米，A、B两点到大楼CD的水平距离为$ d $米。
1. 无人机在A处时，距离地面高度为$ h-20 $米，看楼底D的俯角为45°，在对应的直角三角形中：
$ \tan45° = \frac{\mathrm{竖直高度差}}{\mathrm{水平距离}} = \frac{h-20}{d} = 1 $，可得$ d = h - 20 $。
2. 无人机上升到B处时，高度与楼高平齐为$ h $米，看楼底D的俯角为60°，在对应的直角三角形中：
$ \tan60° = \frac{\mathrm{竖直高度差}}{\mathrm{水平距离}} = \frac{h}{d} = \sqrt{3} $，可得$ h = \sqrt{3}d $。
3. 将$ d = h - 20 $代入$ h = \sqrt{3}d $，得：
$ h = \sqrt{3}(h - 20) $
移项整理：$ h(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3} $
解得：$ h = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} $
对分母有理化，分子分母同乘$ \sqrt{3}+1 $：
$ h = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30 + 10\sqrt{3} $
代入$ \sqrt{3}\approx1.732 $，得$ h\approx30 + 10×1.732 = 47.32\approx47.3 $（米）
【答案】
47.3
【知识点】
俯角的定义，锐角三角函数，解直角三角形应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，解题核心是抓住两个观测点水平距离相等的隐含条件，将俯角转化为直角三角形内角，通过三角函数建立等量关系求解，计算时注意分母有理化和结果的精度要求。
【难度系数】
0.65
本题是解直角三角形的实际应用问题，首先明确俯角的含义，注意A、B两点在同一竖直线上，到大楼的水平距离相等，这是解题的关键隐含条件。我们可以设大楼高度CD为h米，两点到大楼的水平距离为d米，先结合45°俯角的直角三角形，利用tan45°得到h与d的第一个等量关系，再结合60°俯角的直角三角形，利用tan60°得到h与d的第二个等量关系，联立两个关系式即可求解h，最后代入近似值得到结果。
【解析】
设大楼高度$ CD = h $米，A、B两点到大楼CD的水平距离为$ d $米。
1. 无人机在A处时，距离地面高度为$ h-20 $米，看楼底D的俯角为45°，在对应的直角三角形中：
$ \tan45° = \frac{\mathrm{竖直高度差}}{\mathrm{水平距离}} = \frac{h-20}{d} = 1 $，可得$ d = h - 20 $。
2. 无人机上升到B处时，高度与楼高平齐为$ h $米，看楼底D的俯角为60°，在对应的直角三角形中：
$ \tan60° = \frac{\mathrm{竖直高度差}}{\mathrm{水平距离}} = \frac{h}{d} = \sqrt{3} $，可得$ h = \sqrt{3}d $。
3. 将$ d = h - 20 $代入$ h = \sqrt{3}d $，得：
$ h = \sqrt{3}(h - 20) $
移项整理：$ h(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3} $
解得：$ h = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} $
对分母有理化，分子分母同乘$ \sqrt{3}+1 $：
$ h = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30 + 10\sqrt{3} $
代入$ \sqrt{3}\approx1.732 $，得$ h\approx30 + 10×1.732 = 47.32\approx47.3 $（米）
【答案】
47.3
【知识点】
俯角的定义，锐角三角函数，解直角三角形应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，解题核心是抓住两个观测点水平距离相等的隐含条件，将俯角转化为直角三角形内角，通过三角函数建立等量关系求解，计算时注意分母有理化和结果的精度要求。
【难度系数】
0.65
4 图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=100 cm，CD//EF，∠CDE=140°，∠CGF=25°，求CG的长.（参考数据：$\sin 25° \approx 0.42$，$\cos 25° \approx 0.91$，$\tan 25° \approx 0.47$）
答案
4.解:
∵ 正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积相等，
∴CD=EF=FG=AB=100 cm,∠EFG=90°.
又
∵CD//EF,
∴四边形 CFED 是平行四边形，
∴∠EFC=∠CDE=140°,
∴∠CFG=360°-∠EFG-∠EFC=130°,
∴∠FCG=180°-∠CFG-∠CGF=25°=∠CGF,
∴CF=FG=100 cm.
如图,作 FM⊥CG 于点 M，
则 CG=2MG.
在 Rt△FGM 中，
∵cos∠FGM=GM/FG,
∴cos25°=GM/100,解得 GM≈91 cm,
∴CG=2GM≈2×91=182(cm).
解析
【分析】
解题时先从已知条件“两个正方形面积相等”入手，可得两个正方形边长相等；再结合CD//EF，可判定四边形CFED是平行四边形，得到对应角相等；接下来通过周角、三角形内角和计算角度，推导得出△CFG是等腰三角形；最后作等腰三角形底边上的高，利用三线合一将CG转化为2倍的MG，在直角三角形中利用余弦三角函数求出MG的长度，即可得到CG的长。
【解析】
∵ 正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，
∴CD=EF=FG=AB=100 cm，∠EFG=90°。
∵CD//EF，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴∠EFC=∠CDE=140°，
∴∠CFG=360°-∠EFG-∠EFC=360°-90°-140°=130°，
∴∠FCG=180°-∠CFG-∠CGF=180°-130°-25°=25°=∠CGF，
∴CF=FG=100 cm。
如图，作FM⊥CG于点M，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CG=2MG。
在Rt△FGM中，
∵cos∠FGM=$\frac{GM}{FG}$，
∴cos25°=$\frac{GM}{100}$，解得GM≈100×0.91=91 cm，
∴CG=2GM≈2×91=182(cm)。
【答案】
CG的长约为182 cm。
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题将特殊四边形的性质与解直角三角形相结合，解题的核心是通过角度关系推导得到等腰三角形，再结合三角函数求解线段长度，能够有效考查几何综合推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“两个正方形面积相等”入手，可得两个正方形边长相等；再结合CD//EF，可判定四边形CFED是平行四边形，得到对应角相等；接下来通过周角、三角形内角和计算角度，推导得出△CFG是等腰三角形；最后作等腰三角形底边上的高，利用三线合一将CG转化为2倍的MG，在直角三角形中利用余弦三角函数求出MG的长度，即可得到CG的长。
【解析】
∵ 正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，
∴CD=EF=FG=AB=100 cm，∠EFG=90°。
∵CD//EF，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴∠EFC=∠CDE=140°，
∴∠CFG=360°-∠EFG-∠EFC=360°-90°-140°=130°，
∴∠FCG=180°-∠CFG-∠CGF=180°-130°-25°=25°=∠CGF，
∴CF=FG=100 cm。
如图，作FM⊥CG于点M，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CG=2MG。
在Rt△FGM中，
∵cos∠FGM=$\frac{GM}{FG}$，
∴cos25°=$\frac{GM}{100}$，解得GM≈100×0.91=91 cm，
∴CG=2GM≈2×91=182(cm)。
【答案】
CG的长约为182 cm。
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题将特殊四边形的性质与解直角三角形相结合，解题的核心是通过角度关系推导得到等腰三角形，再结合三角函数求解线段长度，能够有效考查几何综合推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
