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9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 上一点,AB=5,BD=1,tan B=$\frac{3}{4}$.
(1)求 AD 的长;
(2)设∠BAD=α,求 sin α 的值.
(1)求 AD 的长;
(2)设∠BAD=α,求 sin α 的值.
答案
9.解:(1)$\because \tan B=\frac {3}{4}$,可设 $AC=3x$,则 $BC=4x$.
在 $Rt△ABC$ 中,由勾股定理,得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$,
解得 $x_{1}=-1$(舍去),$x_{2}=1$,$\therefore AC=3$,$BC=4$.
$\because BD=1$,$\therefore CD=3$,
在 $Rt△ACD$ 中,由勾股定理,
得 $AD=\sqrt {CD^{2}+AC^{2}}=3\sqrt {2}.$
(2)过点 $D$ 作 $DE⊥AB$ 于点 $E$,如图.
$\because \tan B=\frac {3}{4}$,可设 $DE=3y$,
则 $BE=4y$.
在 $Rt△BDE$ 中,由勾股定理,
得 $(3y)^{2}+(4y)^{2}=1^{2}$,
解得 $y_{1}=-\frac {1}{5}$(舍去),$y_{2}=\frac {1}{5}$,
$\therefore DE=\frac {3}{5},\therefore \sin α =\frac {DE}{AD}=\frac {\sqrt {2}}{10}.$
解析
【分析】
(1) 求AD的长需先明确AD在Rt△ACD中，∠C=90°，因此只要算出AC、CD的长度，即可通过勾股定理求解AD。首先结合Rt△ABC中tanB的比值和AB的长度，设未知数利用勾股定理求出AC、BC的长，再根据BD的长度算出CD，最后代入勾股定理计算AD即可。
(2) 求sinα的值时，∠BAD=α不在直角三角形内，因此需要作辅助线构造含α的直角三角形：过D作DE⊥AB于E，此时sinα=DE/AD，AD已在第一问求出，只需在Rt△BDE中，结合tanB的比值和BD的长度，用勾股定理求出DE的长度，代入即可得到sinα的值。
【解析】
(1) $\because \tan B=\frac {3}{4}$，可设 $AC=3x$，则 $BC=4x$。
在 $Rt△ABC$ 中，由勾股定理，得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$，
解得 $x_{1}=-1$（舍去），$x_{2}=1$，$\therefore AC=3$，$BC=4$。
$\because BD=1$，$\therefore CD=BC-BD=4-1=3$，
在 $Rt△ACD$ 中，由勾股定理，
得 $AD=\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
(2) 过点 $D$ 作 $DE⊥AB$ 于点 $E$，如图。
$\because \tan B=\frac {3}{4}$，可设 $DE=3y$，则 $BE=4y$。
在 $Rt△BDE$ 中，由勾股定理，
得 $(3y)^{2}+(4y)^{2}=1^{2}$，
解得 $y_{1}=-\frac {1}{5}$（舍去），$y_{2}=\frac {1}{5}$，
$\therefore DE=3×\frac{1}{5}=\frac {3}{5}$，$\therefore \sin α =\frac {DE}{AD}=\frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
【答案】
(1) $AD=3\sqrt{2}$；
(2) $\sinα=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
辅助线图示：
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、解直角三角形
【点评】
本题主要考查解直角三角形的应用，解题核心是熟练运用锐角三角函数的意义和勾股定理计算边长，对于非直角三角形内角的三角函数值，作垂线构造直角三角形是常用的解题思路，整体逻辑清晰，考查的都是基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求AD的长需先明确AD在Rt△ACD中，∠C=90°，因此只要算出AC、CD的长度，即可通过勾股定理求解AD。首先结合Rt△ABC中tanB的比值和AB的长度，设未知数利用勾股定理求出AC、BC的长，再根据BD的长度算出CD，最后代入勾股定理计算AD即可。
(2) 求sinα的值时，∠BAD=α不在直角三角形内，因此需要作辅助线构造含α的直角三角形：过D作DE⊥AB于E，此时sinα=DE/AD，AD已在第一问求出，只需在Rt△BDE中，结合tanB的比值和BD的长度，用勾股定理求出DE的长度，代入即可得到sinα的值。
【解析】
(1) $\because \tan B=\frac {3}{4}$，可设 $AC=3x$，则 $BC=4x$。
在 $Rt△ABC$ 中，由勾股定理，得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$，
解得 $x_{1}=-1$（舍去），$x_{2}=1$，$\therefore AC=3$，$BC=4$。
$\because BD=1$，$\therefore CD=BC-BD=4-1=3$，
在 $Rt△ACD$ 中，由勾股定理，
得 $AD=\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
(2) 过点 $D$ 作 $DE⊥AB$ 于点 $E$，如图。
$\because \tan B=\frac {3}{4}$，可设 $DE=3y$，则 $BE=4y$。
在 $Rt△BDE$ 中，由勾股定理，
得 $(3y)^{2}+(4y)^{2}=1^{2}$，
解得 $y_{1}=-\frac {1}{5}$（舍去），$y_{2}=\frac {1}{5}$，
$\therefore DE=3×\frac{1}{5}=\frac {3}{5}$，$\therefore \sin α =\frac {DE}{AD}=\frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
【答案】
(1) $AD=3\sqrt{2}$；
(2) $\sinα=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
辅助线图示：
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、解直角三角形
【点评】
本题主要考查解直角三角形的应用，解题核心是熟练运用锐角三角函数的意义和勾股定理计算边长，对于非直角三角形内角的三角函数值，作垂线构造直角三角形是常用的解题思路，整体逻辑清晰，考查的都是基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
10 将一副直角三角尺如图所示放置，点 C、D、F 在同一条直线上，AB//CF，∠ACB=∠F=90°，∠A=60°，∠E=45°，若 AB=20，求 CD 的长.
答案
10.解:如图,作 $BH⊥CF$ 于点 $H$.
在 $Rt△ABC$ 中,$∠ACB=90^{\circ },∠A=60^{\circ }$,
$\therefore ∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB// CF,\therefore ∠BCH=∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB=20,\therefore BC=AB· \sin 60^{\circ }=20×\frac {\sqrt {3}}{2}=10\sqrt {3}.$
在 $Rt△BCH$ 中,$\because ∠BCH=30^{\circ }$,
$\therefore BH=BC· \sin 30^{\circ }=5\sqrt {3},CH=BC· \cos 30^{\circ }=15.$
在 $Rt△DEF$ 中,$\because ∠E=45^{\circ }$,
$\therefore ∠EDF=∠E=45^{\circ },\therefore DH=BH=5\sqrt {3},$
$\therefore CD=CH-DH=15-5\sqrt {3}.$
解析
【分析】
要求线段CD的长度，由于CD在直线CF上，无法直接计算，因此我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：首先过点B作BH垂直CF于点H，将CD转化为CH与DH的差。第一步先利用Rt△ABC的已知角度和AB的长度，结合三角函数算出BC的长；第二步利用AB平行CF的平行线性质得到∠BCH的度数，再在Rt△BCH中算出CH和BH的长度；第三步根据等腰直角三角尺的角度特征，得到△BHD为等腰直角三角形，即DH=BH；最后代入CD=CH-DH即可求出结果。
【解析】
如图,作 $BH⊥CF$ 于点 $H$.
在 $Rt△ABC$ 中,$∠ACB=90^{\circ },∠A=60^{\circ }$,
$\therefore ∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB// CF,\therefore ∠BCH=∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB=20,\therefore BC=AB· \sin 60^{\circ }=20×\frac {\sqrt {3}}{2}=10\sqrt {3}.$
在 $Rt△BCH$ 中,$\because ∠BCH=30^{\circ }$,
$\therefore BH=BC· \sin 30^{\circ }=5\sqrt {3},CH=BC· \cos 30^{\circ }=15.$
在 $Rt△DEF$ 中,$\because ∠E=45^{\circ }$,
$\therefore ∠EDF=∠E=45^{\circ },\therefore DH=BH=5\sqrt {3},$
$\therefore CD=CH-DH=15-5\sqrt {3}.$
【答案】
$CD=15-5\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合常见的直角三角尺场景命题，重点考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值，能有效提升学生对几何图形的分析能力和三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求线段CD的长度，由于CD在直线CF上，无法直接计算，因此我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：首先过点B作BH垂直CF于点H，将CD转化为CH与DH的差。第一步先利用Rt△ABC的已知角度和AB的长度，结合三角函数算出BC的长；第二步利用AB平行CF的平行线性质得到∠BCH的度数，再在Rt△BCH中算出CH和BH的长度；第三步根据等腰直角三角尺的角度特征，得到△BHD为等腰直角三角形，即DH=BH；最后代入CD=CH-DH即可求出结果。
【解析】
如图,作 $BH⊥CF$ 于点 $H$.
在 $Rt△ABC$ 中,$∠ACB=90^{\circ },∠A=60^{\circ }$,
$\therefore ∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB// CF,\therefore ∠BCH=∠ABC=30^{\circ }.$
$\because AB=20,\therefore BC=AB· \sin 60^{\circ }=20×\frac {\sqrt {3}}{2}=10\sqrt {3}.$
在 $Rt△BCH$ 中,$\because ∠BCH=30^{\circ }$,
$\therefore BH=BC· \sin 30^{\circ }=5\sqrt {3},CH=BC· \cos 30^{\circ }=15.$
在 $Rt△DEF$ 中,$\because ∠E=45^{\circ }$,
$\therefore ∠EDF=∠E=45^{\circ },\therefore DH=BH=5\sqrt {3},$
$\therefore CD=CH-DH=15-5\sqrt {3}.$
【答案】
$CD=15-5\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合常见的直角三角尺场景命题，重点考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值，能有效提升学生对几何图形的分析能力和三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
11 在直角三角形中,如果已知2个元素(其中至少有一个是边),那么就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形,我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢?思考并解答下列问题:
(1)下列四幅图,根据图中已知元素,可以求出其余未知元素的三角形是
(2)如图,在$△ ABC$中,已知$∠ B=40°$,$BC=12$,$AB=10$,能否求出$AC$的长度?如果能,请求出$AC$的长度;如果不能,还需要增加哪个条件?(结果保留根号,参考数据:$\sin 40°\approx0.6$,$\cos 40°\approx0.8$,$\tan 40°\approx0.8$)
(1)下列四幅图,根据图中已知元素,可以求出其余未知元素的三角形是
②③
;(填序号)(2)如图,在$△ ABC$中,已知$∠ B=40°$,$BC=12$,$AB=10$,能否求出$AC$的长度?如果能,请求出$AC$的长度;如果不能,还需要增加哪个条件?(结果保留根号,参考数据:$\sin 40°\approx0.6$,$\cos 40°\approx0.8$,$\tan 40°\approx0.8$)
答案
11.解:(1)②③
(2)能.如图,作 $AD⊥BC$,垂足为 $D$.
在 $Rt△ABD$ 中,$\because \sin B=\frac {AD}{AB},\cos B=\frac {BD}{AB},AB=10$,
$\therefore AD=AB· \sin B\approx 10×0.6=6,$
$BD=AB· \cos B\approx 10×0.8=8.$
$\because BC=12,\therefore CD=BC-BD\approx 12-8=4.$
在 $Rt△ADC$ 中,根据勾股定理,
得 $AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}\approx \sqrt {36+16}=2\sqrt {13}.$
解析
【分析】
(1) 要判断能否求出三角形的其余未知元素，本质是判断给定条件下三角形是否唯一确定：首先至少需要已知1条边（仅知道角的话只能确定三角形形状，无法确定大小），其次条件需符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），满足这两点就能确定唯一三角形，求出所有未知元素。
(2) 已知△ABC的两边AB、BC以及它们的夹角∠B，三角形唯一确定，因此可以求出AC的长度。解题思路为：过点A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形，先在含已知角∠B的Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD、BD的长度，再结合BC的长度求出CD的长度，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 根据“三角形唯一确定且至少含1条已知边”的解三角形前提，可知②③的条件满足要求，能求出其余未知元素。
(2) 能求出AC的长度，求解过程如下：
作 $AD⊥BC$，垂足为 $D$。
在 $Rt△ABD$ 中，$∠ ADB=90°$，$\because \sin B=\frac {AD}{AB},\cos B=\frac {BD}{AB},AB=10$，
$\therefore AD=AB· \sin B\approx 10×0.6=6$，
$BD=AB· \cos B\approx 10×0.8=8$。
$\because BC=12$，$\therefore CD=BC-BD\approx 12-8=4$。
在 $Rt△ADC$ 中，$∠ ADC=90°$，根据勾股定理，
得 $AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}\approx \sqrt {36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\boxed{②③}$
(2) 能，AC的长度为$\boxed{2\sqrt{13}}$。求解过程：如图,作 $AD⊥BC$,垂足为 $D$.
在 $Rt△ABD$ 中,$\because \sin B=\frac {AD}{AB},\cos B=\frac {BD}{AB},AB=10$,
$\therefore AD=AB· \sin B\approx 10×0.6=6,$
$BD=AB· \cos B\approx 10×0.8=8.$
$\because BC=12,\therefore CD=BC-BD\approx 12-8=4.$
在 $Rt△ADC$ 中,根据勾股定理,
得 $AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}\approx \sqrt {36+16}=2\sqrt{13}.$
【知识点】
解三角形；锐角三角函数应用；勾股定理
【点评】
本题考查解三角形的判定条件和斜三角形的求解方法，核心是理解“三角形唯一确定才可解”的规律，掌握将斜三角形通过作高转化为直角三角形的转化思想，结合三角函数和勾股定理求解未知边长。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断能否求出三角形的其余未知元素，本质是判断给定条件下三角形是否唯一确定：首先至少需要已知1条边（仅知道角的话只能确定三角形形状，无法确定大小），其次条件需符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），满足这两点就能确定唯一三角形，求出所有未知元素。
(2) 已知△ABC的两边AB、BC以及它们的夹角∠B，三角形唯一确定，因此可以求出AC的长度。解题思路为：过点A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形，先在含已知角∠B的Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD、BD的长度，再结合BC的长度求出CD的长度，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 根据“三角形唯一确定且至少含1条已知边”的解三角形前提，可知②③的条件满足要求，能求出其余未知元素。
(2) 能求出AC的长度，求解过程如下：
作 $AD⊥BC$，垂足为 $D$。
在 $Rt△ABD$ 中，$∠ ADB=90°$，$\because \sin B=\frac {AD}{AB},\cos B=\frac {BD}{AB},AB=10$，
$\therefore AD=AB· \sin B\approx 10×0.6=6$，
$BD=AB· \cos B\approx 10×0.8=8$。
$\because BC=12$，$\therefore CD=BC-BD\approx 12-8=4$。
在 $Rt△ADC$ 中，$∠ ADC=90°$，根据勾股定理，
得 $AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}\approx \sqrt {36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\boxed{②③}$
(2) 能，AC的长度为$\boxed{2\sqrt{13}}$。求解过程：如图,作 $AD⊥BC$,垂足为 $D$.
在 $Rt△ABD$ 中,$\because \sin B=\frac {AD}{AB},\cos B=\frac {BD}{AB},AB=10$,
$\therefore AD=AB· \sin B\approx 10×0.6=6,$
$BD=AB· \cos B\approx 10×0.8=8.$
$\because BC=12,\therefore CD=BC-BD\approx 12-8=4.$
在 $Rt△ADC$ 中,根据勾股定理,
得 $AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}\approx \sqrt {36+16}=2\sqrt{13}.$
【知识点】
解三角形；锐角三角函数应用；勾股定理
【点评】
本题考查解三角形的判定条件和斜三角形的求解方法，核心是理解“三角形唯一确定才可解”的规律，掌握将斜三角形通过作高转化为直角三角形的转化思想，结合三角函数和勾股定理求解未知边长。
【难度系数】
0.7
