9.如图,某景区为方便游客上下山,现在从甲山A处向乙山B处拉一段缆绳.已知甲山上A点到CD的垂直距离AC=100米;从D处往B处看的仰角为$60°$,乙山上B点到河边D的距离BD=500米,从B处看A处的俯角为$25°$.
(A、B、C、D在同一平面内,参考数据:$\sin 25° \approx 0.4$,$\cos 25° \approx 0.9$,$\tan 25° \approx 0.5$,$\sqrt{3} \approx 1.7$)
(1)求乙山B处到河面CD的垂直距离;(结果保留根号)
(2)求甲山与乙山所拉缆绳AB的长度.(结果保留整数)

9.解:(1)如图,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,
∴tan∠BDE=BE/DE=√3.
设 BE=√3k 米,则 DE=k 米.
在 Rt△BDE 中,由勾股定理,
得 BD=√(DE²+BE²)=√((√3k)²+k²)=2k=500,
∴k=250,
∴BE=250√3米,
∴乙山 B 处到河面 CD 的垂直距离为 250√3米.
(2)如图,过点 A 作 AF⊥BE,垂足为 F.
由题意得 AF=CE,EF=AC=100 米,BG//AF,
∴∠BAF=∠ABG=25°.
∵BE=250√3米≈425 米,
∴BF=BE-EF≈425-100=325(米).
在 Rt△ABF 中,AB=BF/sin25°≈325/0.4≈813(米),
∴甲山与乙山所拉缆绳 AB 的长度约为 813 米.

【分析】
(1)求乙山B处到河面CD的垂直距离，可通过作辅助线过B作CD的垂线，构造含60°角的直角三角形，结合已知的BD长度，利用直角三角形的边角关系或勾股定理即可求解。
(2)求缆绳AB的长度，可过A作BE的垂线，将AB置于直角三角形中，先计算出直角边BF的长度，再结合俯角对应的角度，利用三角函数即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥CD，垂足为E，在Rt△BDE中，∠BDE=60°，因此$\tan∠BDE=\frac{BE}{DE}=\sqrt{3}$。
设$BE=\sqrt{3}k$米，则$DE=k$米，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{(\sqrt{3}k)^2+k^2}=2k$，
已知$BD=500$米，因此$2k=500$，解得$k=250$，故$BE=250\sqrt{3}$米。
(2) 过点A作AF⊥BE，垂足为F，易得四边形ACEF为矩形，因此$EF=AC=100$米。
由俯角定义可知，B处看A处的俯角为25°，且水平线BG平行于AF，故$∠BAF=25°$。
$BE=250\sqrt{3}\approx250×1.7=425$米，因此$BF=BE-EF\approx425-100=325$米。
在Rt△ABF中，$\sin∠BAF=\frac{BF}{AB}$，因此$AB=\frac{BF}{\sin25°}\approx\frac{325}{0.4}=812.5\approx813$米。
【答案】
9.解:(1)如图,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,
∴tan∠BDE=BE/DE=√3.
设 BE=√3k 米,则 DE=k 米.
在 Rt△BDE 中,由勾股定理,
得 BD=√(DE²+BE²)=√((√3k)²+k²)=2k=500,
∴k=250,
∴BE=250√3米,
∴乙山 B 处到河面 CD 的垂直距离为 250√3米.
(2)如图,过点 A 作 AF⊥BE,垂足为 F.
由题意得 AF=CE,EF=AC=100 米,BG//AF,
∴∠BAF=∠ABG=25°.
∵BE=250√3米≈425 米,
∴BF=BE-EF≈425-100=325(米).
在 Rt△ABF 中,AB=BF/sin25°≈325/0.4≈813(米),
∴甲山与乙山所拉缆绳 AB 的长度约为 813 米.
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角概念，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景中的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数、勾股定理计算对应边长，解题时要注意参考数据的合理使用。
【难度系数】
0.7

10波浪能转换器是一种将海浪的动能转换成电能的技术装置.如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线MN轴对称，线段PE和PF是可伸缩连接杆，点E、F的位置固定不变，在海浪的带动下，点P处的齿轮组可以在MN上来回滑动生成动力.已知AB//CD，AB=2 m，CD=4.8 m，MN=9.82 m，∠EAB=127°，∠ECD=118°，求连接杆PE＋PF的最小值.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）

10.解:如图,连接 EF 交 MN 于点O,过点 C 作 CG⊥EF 于点 G,过点 A 作 AH⊥EF 于点 H.
由题意可知四边形 CGON 和四边形 AMOH 是矩形，
∴OG=CN,OH=AM,CG=ON,AH=MO.
由轴对称的性质可得，
CN=DN=1/2 CD,AM=BM=1/2 AB,OE=OF.
∵AB=2 m,CD=4.8 m,
∴OG=CN=2.4 m,OH=AM=1 m,
∴HG=OG-OH=2.4-1=1.4(m).
∵∠EAB=127°,∠ECD=118°,∠GCN=∠HAM=90°,
∴∠ECG=∠ECD-∠GCN=118°-90°=28°,
∠EAH=∠EAB-∠HAM=127°-90°=37°.
在 Rt△ECG 中,∠CEG=90°-28°=62°,
tan∠CEG=CG/EG,
∴CG=EGtan∠CEG=EGtan62°≈1.88EG.
在 Rt△EAH 中,∠AEH=90°-37°=53°,
tan∠AEH=AH/EH,
∴AH=EHtan∠AEH=(EG+1.4)tan53°≈1.33EG+1.862.
∵MN=ON+OM=CG+AH=9.82 m,
∴1.88EG+1.33EG+1.862=9.82,
解得 EG≈2.48 m.
∴EF=2OE=2×(2.48+2.4)≈9.8(m).
当点 P 运动到点 O 处,即 P、E、F 三点共线时，PE+PF 取得最小值,此时 PE+PF=EF≈9.8 m.
故连接杆 PE+PF 的最小值约是 9.8 m.

【分析】
要计算PE+PF的最小值，首先根据“两点之间线段最短”的原理，可知当点P为EF与MN的交点时，PE+PF取得最小值，最小值等于EF的长度，因此问题可转化为求EF的长度。接下来结合图形的轴对称性质、AB//CD的条件，通过作垂线构造直角三角形和矩形，利用已知角度表示出相关线段的长度，再根据MN的总长度建立方程求解，最终即可得到EF的长度，也就是PE+PF的最小值。
【解析】
如图，连接EF交MN于点O，过点C作CG⊥EF于点G，过点A作AH⊥EF于点H。
由题意可知四边形CGON和四边形AMOH是矩形，
∴OG=CN，OH=AM，CG=ON，AH=MO。
由轴对称的性质可得，
CN=DN=1/2 CD，AM=BM=1/2 AB，OE=OF。
∵AB=2 m，CD=4.8 m，
∴OG=CN=2.4 m，OH=AM=1 m，
∴HG=OG-OH=2.4-1=1.4(m)。
∵∠EAB=127°，∠ECD=118°，∠GCN=∠HAM=90°，
∴∠ECG=∠ECD-∠GCN=118°-90°=28°，
∠EAH=∠EAB-∠HAM=127°-90°=37°。
在Rt△ECG中，∠CEG=90°-28°=62°，
tan∠CEG=CG/EG，
∴CG=EG·tan∠CEG=EG·tan62°≈1.88EG。
在Rt△EAH中，∠AEH=90°-37°=53°，
tan∠AEH=AH/EH，
∴AH=EH·tan∠AEH=(EG+1.4)·tan53°≈1.33EG+1.862。
∵MN=ON+OM=CG+AH=9.82 m，
∴1.88EG+1.33EG+1.862=9.82，
解得EG≈2.48 m。
∴EF=2OE=2×(2.48+2.4)≈9.8(m)。
当点P运动到点O处，即P、E、F三点共线时，PE+PF取得最小值，此时PE+PF=EF≈9.8 m。
【答案】
连接杆PE＋PF的最小值约是9.8 m。
【知识点】
最短路径问题，解直角三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合实际生产场景命题，将几何最短路径模型和解直角三角形知识融合，需要学生合理构造辅助线梳理线段间的数量关系，通过建立方程求解，对学生的几何建模能力和运算能力都有一定考查。
【难度系数】
0.6