1. 如图，$∠ C = ∠ D = 90°$，$AC = AD$，那么$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ABD$全等的理由是（）

A.ASA
B.SAS
C.HL
D.AAS

第1题图 第2题图

1.C

【分析】
首先观察两个三角形的类型，△ABC和△ABD均为直角三角形，判定直角三角形全等可优先考虑特殊判定定理HL。先梳理已知条件：已知直角边AC=AD，两个三角形的斜边AB为公共边，即斜边也相等，符合HL定理的使用条件，据此即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△ABD都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ABD中：
$\{\begin{array}{l}AC=AD(\mathrm{已知})\\ AB=AB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. HL判定定理
2. 公共边的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时要注意HL是直角三角形特有的判定方法，使用前需先确认两个三角形均为直角三角形，再验证斜边和一条直角边对应相等即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8

2.(教材第107页练习第3题改编)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，若要根据“HL”证明$Rt△ ABC$与$Rt△ BAD$全等，则需添加一个条件是.

2. $BC=AD$或$AC=BD$

【分析】
首先回忆“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。观察图形可知，Rt△ABC和Rt△BAD的斜边都是公共边AB，已经满足斜边相等的条件，因此只需再添加一组对应直角边相等，即可用HL证明两个三角形全等，结合两个三角形的直角边写出对应相等的条件即可。
【解析】
已知$AC⊥BC$，$BD⊥AD$，可得$∠ C=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ BAD$都是直角三角形。
两个直角三角形的斜边均为$AB$，因此$AB=BA$（公共边相等），已经满足HL判定中“斜边相等”的要求。
根据HL定理，还需补充一组直角边对应相等：
1. 若添加$BC=AD$，可通过HL判定$Rt△ ABC≌Rt△ BAD$；
2. 若添加$AC=BD$，也可通过HL判定$Rt△ ABC≌Rt△ BAD$。
因此可添加的条件为$BC=AD$或$AC=BD$。
【答案】
$BC=AD$或$AC=BD$
【知识点】
HL判定定理，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查HL判定定理的应用，解题时先确定两个直角三角形已有的相等斜边，再补充缺少的直角边相等条件即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8

3.如图，$AC⊥CB$，$DB⊥CB$，$AB=DC$.求证：$∠ ABD=∠ ACD$.

3. 证明: $\because AC ⊥ CB, DB ⊥ CB, \therefore ∠ ACB=∠ DBC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBC$ 中, $\begin{cases} AB=DC, \\ CB=BC, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DBC. (\mathrm{HL}), \therefore ∠ 1=∠ 2,$ 又 $\because ∠ DBC=∠ ACB, \therefore ∠ DBC-∠ 1=∠ ACB-∠ 2,$ 即 $∠ ABD=∠ ACD.$

【分析】
要证明∠ABD=∠ACD，首先从已知条件入手：由AC⊥CB、DB⊥CB可知△ACB和△DBC都是直角三角形，题目给出斜边AB=DC，且两个三角形有公共的直角边CB=BC，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，最后结合∠ACB和∠DBC都是90°，利用等角减等角差相等的性质，即可推出∠ABD=∠ACD。
【解析】
证明: $\because AC ⊥ CB, DB ⊥ CB, \therefore ∠ ACB=∠ DBC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBC$ 中,
$\begin{cases} AB=DC, \\ CB=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DBC \ (\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ 1=∠ 2,$
又 $\because ∠ DBC=∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ DBC-∠ 1=∠ ACB-∠ 2,$
即 $∠ ABD=∠ ACD.$
【答案】
证明: $\because AC ⊥ CB, DB ⊥ CB, \therefore ∠ ACB=∠ DBC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBC$ 中, $\begin{cases} AB=DC, \\ CB=BC, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DBC. (\mathrm{HL}), \therefore ∠ 1=∠ 2,$ 又 $\because ∠ DBC=∠ ACB, \therefore ∠ DBC-∠ 1=∠ ACB-∠ 2,$ 即 $∠ ABD=∠ ACD.$
【知识点】
HL判定定理、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用类题目，解题的关键是准确找到两个直角三角形全等的条件，再结合角的和差关系推导待证结论，有助于巩固直角三角形全等的判定及性质相关知识。
【难度系数】
0.7

4.(一题多设问)如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB.
(1)添加，根据是；
(2)添加，根据是；
(3)添加，根据是；
(4)添加，根据是.

4. (1)$AB=DC$ HL (2)$AC=DB$ HL (3)$∠ ABC=∠ DCB$ AAS (4)$∠ ACB=∠ DBC$ AAS

【分析】
首先根据题中垂直条件可得△ABC和△DCB均为直角三角形，且二者有公共斜边BC，即已有斜边相等的条件。若要证明两直角三角形全等，使用HL定理只需补充一组直角边相等即可；使用AAS定理时，已有一组直角相等、一组公共边相等，只需补充一组锐角相等即可。
【解析】
已知$AC⊥ AB$，$BD⊥ CD$，因此$∠ A=∠ D=90°$，$△ ABC$和$△ DCB$都是直角三角形，且二者有公共边$BC$，即$BC=CB$。
(1) 添加$AB=DC$：在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中，$\begin{cases} BC=CB \\ AB=DC \end{cases}$，根据HL可判定$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DCB$；
(2) 添加$AC=DB$：在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中，$\begin{cases} BC=CB \\ AC=DB \end{cases}$，根据HL可判定$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DCB$；
(3) 添加$∠ ABC=∠ DCB$：在$△ ABC$和$△ DCB$中，$\begin{cases} ∠ A=∠ D \\ ∠ ABC=∠ DCB \\ BC=CB \end{cases}$，根据AAS可判定$△ ABC≌△ DCB$；
(4) 添加$∠ ACB=∠ DBC$：在$△ ABC$和$△ DCB$中，$\begin{cases} ∠ A=∠ D \\ ∠ ACB=∠ DBC \\ BC=CB \end{cases}$，根据AAS可判定$△ ABC≌△ DCB$。
【答案】
(1)$AB=DC$，HL；
(2)$AC=DB$，HL；
(3)$∠ ABC=∠ DCB$，AAS；
(4)$∠ ACB=∠ DBC$，AAS
【知识点】
HL判定定理，AAS判定定理，直角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放类习题，解题核心是先明确题干中已有的相等边、相等角，再结合不同的全等判定规则补充缺少的条件，考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$CD// AB$,$DE⊥ AC$于点$E$,且$CE=AB$.求证:$△ CED≌△ ABC$.

5. 证明: $\because DE ⊥ AC, ∠ B=90°, \therefore ∠ DEC=∠ B=90°. \because CD // AB, \therefore ∠ A=∠ DCE.$ 在 $△ CED$ 和 $△ ABC$ 中, $\begin{cases} ∠ DCE=∠ A, \\ CE=AB, \\ ∠ DEC=∠ B, \end{cases}$ $\therefore △ CED ≌ △ ABC. (\mathrm{ASA})$

【分析】
要证明$△ CED≌△ ABC$，首先回忆三角形全等的判定定理，先梳理已知条件：已知$∠ B=90°$，$DE⊥ AC$，可得两个三角形有一组对应直角相等；已知$CE=AB$，可得一组对应边相等；再结合$CD// AB$的条件，利用平行线内错角相等的性质，可得到另一组对应角相等，三组条件刚好符合角边角（ASA）的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because DE ⊥ AC$，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ B=90°$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CED$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ DCE=∠ A \\CE=AB \\∠ DEC=∠ B\end{cases}$
$\therefore △ CED ≌ △ ABC \ (\mathrm{ASA})$
【答案】
$△ CED≌△ ABC$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形ASA判定、直角的定义
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是结合已知条件和图形性质，找准全等判定需要的对应相等的边和角，熟练掌握相关性质定理是解题的基础。
【难度系数】
0.8

6.如图,两根长度为12m的绳子(AB=AC=12m),一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上,两木桩离旗杆底部的距离相等吗?可用全等三角形证明的判定方法是 ()

A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL

6.D

【分析】
首先观察图形，旗杆与地面垂直，因此△AOB和△AOC都是直角三角形。已知两根绳子长度相等即AB=AC，且AO是两个直角三角形的公共直角边。要判断两个直角三角形全等的判定方法，结合已知条件：斜边相等，一条直角边相等，对应直角三角形全等的特殊判定定理即可得出答案。
【解析】
解：
∵ 旗杆AO垂直于地面BC，
∴ ∠AOB=∠AOC=90°，即△AOB和△AOC均为直角三角形。
在Rt△AOB和Rt△AOC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\AO=AO（公共边）\end{array} $
∴ Rt△AOB≌Rt△AOC（HL），
可得BO=CO，即两木桩离旗杆底部距离相等，所用的全等判定方法是HL。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL），全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先根据垂直定义确定待证全等的三角形是直角三角形，再结合已知的边相等条件选择对应的全等判定定理，要注意区分一般三角形全等判定和直角三角形特有的全等判定。
【难度系数】
0.85

7.如图,有两个长度相等的滑梯(即$BC=EF$),左边滑梯的高度$AC$与右边滑梯水平方向上的长度$DF$相等,若$∠ ABC=32°$,则$∠ DFE$的度数为.

7. $58°$

【分析】
首先观察图形可知，左边滑梯的高AC垂直地面BF，右边滑梯的立柱DE也垂直地面BF，因此△ABC和△DEF都是直角三角形。已知两个滑梯长度相等即BC=EF，AC=DF，可利用直角三角形全等的HL判定定理证明两个三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠DFE的度数。
【解析】
解：由题意得，AC⊥BF，DE⊥BF，
∴∠BAC=∠EDF=90°，即△ABC和△DEF均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}BC=EF\\ AC=DF\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC=32°。
又
∵在Rt△DEF中，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=90°-32°=58°。
【答案】
$58°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的判定与性质，解题时先从实际场景中抽象出直角三角形，再结合已知条件证明全等，最后利用直角三角形的性质计算角度即可，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在$△ ABC$和$△ DBC$中，$∠ BAC = ∠ BDC=90°$，$AB=CD$，$AC$交$BD$于点$G$，$AE⊥ BC$于点$E$，交$BD$于点$H$，$DF⊥ BC$于点$F$，交$AC$于点$I$，则图中全等三角形的对数为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

8.D

【分析】
解题时先从已知的直角、等边和公共边入手，先证明最易得到的大直角三角形全等，再利用全等得到的边、角相等的结论，依次推导其余的全等三角形，按从大到小、从易到难的顺序计数，避免漏算或多算。
【解析】
我们按顺序逐一证明全等三角形：
1. Rt△ABC ≌ Rt△DCB：已知∠BAC=∠BDC=90°，AB=CD，BC是两个三角形的公共斜边，根据HL判定定理可证全等。
由此可得：∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，AC=BD。
2. Rt△ABE ≌ Rt△DCF：已知AE⊥BC，DF⊥BC，故∠AEB=∠DFC=90°，结合已得的∠ABC=∠DCB，AB=CD，根据AAS判定定理可证全等。
由此可得：AE=DF，BE=CF。
3. Rt△AEC ≌ Rt△DFB：已知∠AEC=∠DFB=90°，结合已得的∠ACB=∠DBC，AC=BD，根据AAS判定定理可证全等。
4. △ABG ≌ △DCG：已知∠BAC=∠CDB=90°，∠AGB和∠DGC是对顶角故相等，又AB=CD，根据AAS判定定理可证全等。
由此可得：BG=CG，AG=DG。
5. △BHE ≌ △CIF：已知∠BEH=∠CFI=90°，结合已得的BE=CF，∠DBC=∠ACB，根据ASA判定定理可证全等。
由此可得：EH=FI，BH=CI。
6. △AHB ≌ △DIC：已知AB=CD，结合已得的∠ABH=∠DCI（∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB），BH=CI，根据SAS判定定理可证全等。
7. △BGH ≌ △CGI：结合已得的BG=CG，∠GBH=∠GCI，∠BGH和∠CGI是对顶角故相等，根据ASA判定定理可证全等。
综上共有7对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定，需要学生熟练掌握各类全等判定定理，按照逻辑顺序依次推导，避免遗漏或重复计数全等三角形，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6