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10.如图，平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点A(2,3)，点B在第四象限，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，则点B的坐标为
$(3,-2)$
。答案
10.$(3,-2)$
解析
【分析】
要求点B的坐标，可通过构造直角三角形，利用全等三角形转化线段长度求解。首先分别过点A、B作x轴的垂线，得到两个直角三角形；由∠AOB=90°可推出两个三角形的一组锐角相等，结合已知OA=OB、两个直角相等，即可证明两三角形全等；再根据点A的坐标得到对应线段的长度，最后结合点B所在象限确定其坐标。
【解析】
过点A作$AM ⊥ x$轴于点M，过点B作$BN ⊥ x$轴于点N，
则$∠ AMO = ∠ ONB = 90°$，
$\therefore ∠ OAM + ∠ AOM = 90°$，
$\because ∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ AOM + ∠ BON = 90°$，
$\therefore ∠ OAM = ∠ BON$，
在$△ AOM$和$△ OBN$中：
$\begin{cases}∠ AMO = ∠ ONB \\∠ OAM = ∠ BON \\OA = OB\end{cases}$
$\therefore △ AOM ≌ △ OBN \ (\mathrm{AAS})$，
$\because$点A的坐标为$(2,3)$，
$\therefore OM = 2$，$AM = 3$，
由全等三角形的性质得：$ON = AM = 3$，$BN = OM = 2$，
又$\because$点B在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
$\therefore$点B的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，点的坐标特征，同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的常考题，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，解题时需注意根据点所在象限确定坐标的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
要求点B的坐标，可通过构造直角三角形，利用全等三角形转化线段长度求解。首先分别过点A、B作x轴的垂线，得到两个直角三角形；由∠AOB=90°可推出两个三角形的一组锐角相等，结合已知OA=OB、两个直角相等，即可证明两三角形全等；再根据点A的坐标得到对应线段的长度，最后结合点B所在象限确定其坐标。
【解析】
过点A作$AM ⊥ x$轴于点M，过点B作$BN ⊥ x$轴于点N，
则$∠ AMO = ∠ ONB = 90°$，
$\therefore ∠ OAM + ∠ AOM = 90°$，
$\because ∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ AOM + ∠ BON = 90°$，
$\therefore ∠ OAM = ∠ BON$，
在$△ AOM$和$△ OBN$中：
$\begin{cases}∠ AMO = ∠ ONB \\∠ OAM = ∠ BON \\OA = OB\end{cases}$
$\therefore △ AOM ≌ △ OBN \ (\mathrm{AAS})$，
$\because$点A的坐标为$(2,3)$，
$\therefore OM = 2$，$AM = 3$，
由全等三角形的性质得：$ON = AM = 3$，$BN = OM = 2$，
又$\because$点B在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
$\therefore$点B的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，点的坐标特征，同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的常考题，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，解题时需注意根据点所在象限确定坐标的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
11.(湖北省中考改编)如图①是小明和小颖所玩跷跷板的正面示意图,可将其简化为如图②所示的几何图,O是横板AB的中点,支柱OE与地面垂直,且支柱OE的长度为50cm,若点A处的小明到水平线CD的距离AM为40cm,则点B处的小颖到地面的距离为
$90\mathrm{cm}$
.答案
11.$90\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件寻找全等三角形：已知O是AB的中点，可得OA=OB；点A到水平线CD的距离AM⊥CD，点B到CD的距离BN也垂直CD，可得一组直角相等；再结合对顶角相等，即可证明△AOM和△BON全等，得到BN的长度。再根据CD是水平线、OE垂直地面，可知CD与地面平行，CD到地面的距离等于OE的长度，最后将BN的长度与CD到地面的距离相加，即可得到点B到地面的距离。
【解析】
过点B作BN⊥CD于点N。
1. 由O是横板AB的中点，得 $ OA=OB $。
2. 由题意得 $ AM⊥ CD $，$ BN⊥ CD $，因此 $ ∠ AMO=∠ BNO=90° $。
3. 在$△ AOM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ BNO \\∠ AOM=∠ BON \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OA=OB\end{cases}$
所以$△ AOM ≌ △ BON \ (\mathrm{AAS})$，因此 $ BN=AM=40\mathrm{cm} $。
4. 因为CD是水平线，支柱$ OE⊥ \mathrm{地面}EF $，故$ CD// EF $，CD到地面的距离等于OE的长度，即$ 50\mathrm{cm} $。
5. 点B到地面的距离为 $ BN + 50\mathrm{cm}=40\mathrm{cm}+50\mathrm{cm}=90\mathrm{cm} $。
【答案】
$ 90\mathrm{cm} $
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线间的距离；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查几何知识的应用，将实际问题转化为几何全等问题是解题的突破口，既考查了基础的全等判定知识，也锻炼了学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件寻找全等三角形：已知O是AB的中点，可得OA=OB；点A到水平线CD的距离AM⊥CD，点B到CD的距离BN也垂直CD，可得一组直角相等；再结合对顶角相等，即可证明△AOM和△BON全等，得到BN的长度。再根据CD是水平线、OE垂直地面，可知CD与地面平行，CD到地面的距离等于OE的长度，最后将BN的长度与CD到地面的距离相加，即可得到点B到地面的距离。
【解析】
过点B作BN⊥CD于点N。
1. 由O是横板AB的中点，得 $ OA=OB $。
2. 由题意得 $ AM⊥ CD $，$ BN⊥ CD $，因此 $ ∠ AMO=∠ BNO=90° $。
3. 在$△ AOM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ BNO \\∠ AOM=∠ BON \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OA=OB\end{cases}$
所以$△ AOM ≌ △ BON \ (\mathrm{AAS})$，因此 $ BN=AM=40\mathrm{cm} $。
4. 因为CD是水平线，支柱$ OE⊥ \mathrm{地面}EF $，故$ CD// EF $，CD到地面的距离等于OE的长度，即$ 50\mathrm{cm} $。
5. 点B到地面的距离为 $ BN + 50\mathrm{cm}=40\mathrm{cm}+50\mathrm{cm}=90\mathrm{cm} $。
【答案】
$ 90\mathrm{cm} $
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线间的距离；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查几何知识的应用，将实际问题转化为几何全等问题是解题的突破口，既考查了基础的全等判定知识，也锻炼了学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于点E，BF//DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由.
答案
12. 解:线段 AF,BF,EF 三者之间的数量关系为$AF=BF+EF$.理由如下:$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB=AD,∠DAB=∠ABC=90°$.$\because DE⊥AG,\therefore ∠DEA=∠DEF=90°$.$\because BF// DE,\therefore ∠AFB=∠DEF=90°,\therefore ∠AFB=∠DEA$.$\because ∠ADE+∠DAE=90°,∠DAE+∠BAF = 90°, \therefore ∠ADE = ∠BAF.$ 在$△ABF$和$△DAE$中,$\because \begin{cases}∠BAF=∠ADE,\\∠AFB=∠DEA,\\AB=DA,\end{cases}$ $\therefore △ABF ≌ △DAE,(AAS),\therefore BF=AE. \because AF=AE+EF,\therefore AF=BF+EF.$
解析
【分析】
要探究AF、BF、EF的数量关系，观察图形可知AF=AE+EF，因此只需证明BF=AE即可。首先利用正方形的性质得到边相等和直角，结合DE⊥AG、BF//DE得到一组相等的直角，再通过同角的余角相等得到一组相等的角，即可证明△ABF和△DAE全等，从而得到BF=AE，最终推导出三条线段的关系。
【解析】
线段AF，BF，EF三者之间的数量关系为$AF=BF+EF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠DAB=∠ABC=90°$。
∵ $DE⊥AG$，
∴ $∠DEA=∠DEF=90°$。
∵ $BF// DE$，
∴ $∠AFB=∠DEF=90°$，
∴ $∠AFB=∠DEA$。
∵ $∠ADE+∠DAE=90°$，$∠DAE+∠BAF = 90°$，
∴ $∠ADE = ∠BAF$。
在$△ABF$和$△DAE$中，
$\begin{cases}∠BAF=∠ADE,\\∠AFB=∠DEA,\\AB=DA,\end{cases}$
∴ $△ABF ≌ △DAE$（AAS），
∴ $BF=AE$。
∵ $AF=AE+EF$，
∴ $AF=BF+EF$。
【答案】
$AF=BF+EF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过全等三角形实现线段的等量转换，解题的关键是利用角的互余关系找到全等所需的等角条件，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要探究AF、BF、EF的数量关系，观察图形可知AF=AE+EF，因此只需证明BF=AE即可。首先利用正方形的性质得到边相等和直角，结合DE⊥AG、BF//DE得到一组相等的直角，再通过同角的余角相等得到一组相等的角，即可证明△ABF和△DAE全等，从而得到BF=AE，最终推导出三条线段的关系。
【解析】
线段AF，BF，EF三者之间的数量关系为$AF=BF+EF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠DAB=∠ABC=90°$。
∵ $DE⊥AG$，
∴ $∠DEA=∠DEF=90°$。
∵ $BF// DE$，
∴ $∠AFB=∠DEF=90°$，
∴ $∠AFB=∠DEA$。
∵ $∠ADE+∠DAE=90°$，$∠DAE+∠BAF = 90°$，
∴ $∠ADE = ∠BAF$。
在$△ABF$和$△DAE$中，
$\begin{cases}∠BAF=∠ADE,\\∠AFB=∠DEA,\\AB=DA,\end{cases}$
∴ $△ABF ≌ △DAE$（AAS），
∴ $BF=AE$。
∵ $AF=AE+EF$，
∴ $AF=BF+EF$。
【答案】
$AF=BF+EF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过全等三角形实现线段的等量转换，解题的关键是利用角的互余关系找到全等所需的等角条件，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13.【核心素养·几何直观】如图，$DC // AB$，$∠ BAD$和$∠ ADC$的平分线相交于点$E$，过点$E$的直线分别交$DC$，$AB$于点$C$，$B$。求证：$AD=AB+CD$。
答案
13. 证明:在 AD 上截取$AF=AB$,连接 EF.$\because AE$ 平分$∠BAD,\therefore ∠BAE=∠FAE.$ 在$△ABE$和$△AFE$中,$\because \begin{cases}AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\\AB=AF,\end{cases}$ $\therefore △ABE ≌ △AFE.(SAS)\therefore ∠B=∠AFE. \because CD// AB,\therefore ∠B+∠C=180°. \because ∠AFE+∠DFE=180°,∴∠C=∠DFE. \because DE$ 是$∠ADC$的平分线,$\therefore ∠CDE=∠FDE.$ 在$△CDE$和$△FDE$中,$\because \begin{cases}∠C=∠DFE,\\∠CDE=∠FDE,\\DE=DE,\end{cases}$ $\therefore △CDE ≌ △FDE.(AAS),\therefore DC=DF. \because AD=AF+DF,\therefore AD=AB+CD.$
解析
【分析】
遇到证明“一条线段等于另外两条线段之和”的问题，常用“截长补短”的思路解题。本题采用截长法：①先在AD上截取AF=AB，结合AE平分∠BAD的条件，可通过SAS证明△ABE≌△AFE，得到∠B=∠AFE；②再结合DC//AB可得∠B与∠C互补，结合邻补角定义推出∠C=∠DFE；③最后利用DE平分∠ADC的条件，通过AAS证明△CDE≌△FDE，得到DC=DF，结合AD=AF+DF即可推出结论。
【解析】
证明:在 AD 上截取$AF=AB$,连接 EF.
$\because AE$ 平分$∠BAD,\therefore ∠BAE=∠FAE.$
在$△ABE$和$△AFE$中,
$\because \begin{cases}AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\\AB=AF,\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △AFE.(SAS)$
$\therefore ∠B=∠AFE.$
$\because CD// AB,\therefore ∠B+∠C=180°.$
$\because ∠AFE+∠DFE=180°,∴∠C=∠DFE.$
$\because DE$ 是$∠ADC$的平分线,$\therefore ∠CDE=∠FDE.$
在$△CDE$和$△FDE$中,
$\because \begin{cases}∠C=∠DFE,\\∠CDE=∠FDE,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore △CDE ≌ △FDE.(AAS)$
$\therefore DC=DF.$
$\because AD=AF+DF,\therefore AD=AB+CD.$
【答案】
$AD=AB+CD$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法是截长补短法，解题时需结合已知的角平分线、平行线条件构造全等三角形，将待证的三条线段转化到同一条线段上建立等量关系，能较好地考查几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
遇到证明“一条线段等于另外两条线段之和”的问题，常用“截长补短”的思路解题。本题采用截长法：①先在AD上截取AF=AB，结合AE平分∠BAD的条件，可通过SAS证明△ABE≌△AFE，得到∠B=∠AFE；②再结合DC//AB可得∠B与∠C互补，结合邻补角定义推出∠C=∠DFE；③最后利用DE平分∠ADC的条件，通过AAS证明△CDE≌△FDE，得到DC=DF，结合AD=AF+DF即可推出结论。
【解析】
证明:在 AD 上截取$AF=AB$,连接 EF.
$\because AE$ 平分$∠BAD,\therefore ∠BAE=∠FAE.$
在$△ABE$和$△AFE$中,
$\because \begin{cases}AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\\AB=AF,\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △AFE.(SAS)$
$\therefore ∠B=∠AFE.$
$\because CD// AB,\therefore ∠B+∠C=180°.$
$\because ∠AFE+∠DFE=180°,∴∠C=∠DFE.$
$\because DE$ 是$∠ADC$的平分线,$\therefore ∠CDE=∠FDE.$
在$△CDE$和$△FDE$中,
$\because \begin{cases}∠C=∠DFE,\\∠CDE=∠FDE,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore △CDE ≌ △FDE.(AAS)$
$\therefore DC=DF.$
$\because AD=AF+DF,\therefore AD=AB+CD.$
【答案】
$AD=AB+CD$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法是截长补短法，解题时需结合已知的角平分线、平行线条件构造全等三角形，将待证的三条线段转化到同一条线段上建立等量关系，能较好地考查几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
