9.如图,两棵大树间相距13m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5m,小华行走的速度为1m/s,则这时行走的时间是 ()

A.13s
B.8s
C.6s
D.5s

9.B

【分析】
首先根据题意可知图中有多个直角，结合∠AED=90°可推导得到相等的角，再结合EA=ED的条件，可证明两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质求出BE的长度，最后根据行走速度计算时间即可。
【解析】
解：
∵∠B=∠C=∠AED=90°，
∴在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°，
又
∵∠AEB + ∠DEC = 180°-∠AED = 90°，
∴∠A = ∠DEC。
在△ABE和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\∠A = ∠DEC \\EA = ED\end{array} $
∴△ABE ≌ △ECD（AAS），
∴AB = EC = 5m，
∵BC = 13m，
∴BE = BC - EC = 13 - 5 = 8m，
∵小华行走速度为1m/s，
∴行走时间$t=\frac{BE}{v}=\frac{8m}{1m/s}=8s$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际场景中的应用，解题核心是利用同角的余角相等得到对应角相等，进而证明三角形全等，实现未知线段向已知线段的转化。
【难度系数】
0.7

10. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF$，$AM⊥$直线$BC$于点$M$，$DN⊥$直线$EF$于点$N$，且$AM=DN$，若$∠ CAM=20°$，则$∠ DFE=$.

10. $70°$或$110°$

【分析】
解题时首先结合已知的边相等、高相等的条件，用HL判定两个直角三角形全等，再利用直角三角形的性质求出对应角的度数；注意题目中“垂直于直线”的表述说明高的位置存在两种情况：高在三角形内部、高在三角形外部，需要分类讨论避免漏解。
【解析】
解：分两种情况求解：
1. 当高$DN$在$△ DEF$内部时：
$\because AM⊥ BC$，$DN⊥ EF$
$\therefore ∠ AMC=∠ DNF=90°$
在$\mathrm{Rt}△ AMC$和$\mathrm{Rt}△ DNF$中：
$\begin{cases} AC=DF \\ AM=DN \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AMC≌\mathrm{Rt}△ DNF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ DFN=∠ ACM$
在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$∠ CAM=20°$，由直角三角形两锐角互余得：
$∠ ACM=90°-∠ CAM=90°-20°=70°$
此时$∠ DFE=∠ DFN=70°$
2. 当高$DN$在$△ DEF$外部（即点$N$在$EF$的延长线上）时：
同理可证$\mathrm{Rt}△ AMC≌\mathrm{Rt}△ DNF(\mathrm{HL})$，得$∠ DFN=∠ ACM=70°$
此时$∠ DFE$与$∠ DFN$互为邻补角：
$∠ DFE=180°-∠ DFN=180°-70°=110°$
【答案】
$70°$或$110°$
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）、直角三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意“垂直于直线”和“垂直于线段”的区别，结合图形的多种可能性分类讨论，熟练掌握HL判定定理是解决本题的基础。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$∠ B=∠ D=90°$，$AB=AD$，$AC=AE$，求证：$EF=CH$.

11. 证明: $\because ∠ B=∠ D=90°,$ $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\begin{cases} AC=AE, \\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE, (\mathrm{HL}), \therefore ∠ BAC=∠ DAE. \because ∠ BAF=∠ BAC-∠ EAC, ∠ DAH=∠ DAE-∠ EAC, \therefore ∠ BAF=∠ DAH.$ 在 $△ ABF$ 和 $△ ADH$ 中, $\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ AB=AD, \\ ∠ BAF=∠ DAH, \end{cases}$ $\therefore △ ABF ≌ △ ADH, (\mathrm{ASA}), \therefore AF=AH. \because EF=AE-AF, CH=AC-AH, AC=AE, \therefore EF=CH.$

【分析】
要证明$EF=CH$，已知$AC=AE$，可转化为证明$AE-AF=AC-AH$，即只需证$AF=AH$。首先根据已知的直角、斜边和直角边对应相等的条件，用HL定理证明两个大直角三角形全等，得到对应角相等，再减去公共角推导得出一组相等的角，结合已知的等角和等边，用ASA证明两个小三角形全等，即可得到$AF=AH$，最后利用线段和差关系推出结论。
【解析】
证明: $\because ∠ B=∠ D=90°,$
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,
$\begin{cases} AC=AE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE, (\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE.$
$\because ∠ BAF=∠ BAC-∠ EAC, ∠ DAH=∠ DAE-∠ EAC,$
$\therefore ∠ BAF=∠ DAH.$
在 $△ ABF$ 和 $△ ADH$ 中,
$\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ AB=AD, \\ ∠ BAF=∠ DAH, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ADH, (\mathrm{ASA}),$
$\therefore AF=AH.$
$\because EF=AE-AF, CH=AC-AH, AC=AE,$
$\therefore EF=CH.$
【答案】
证明成立，$EF=CH$，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形全等的判定（ASA）
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时需要先通过第一次全等得到角相等的过渡条件，再进行第二次全等的证明，要注意挖掘图中公共角这类隐含条件，理清角和线段的转化逻辑。
【难度系数】
0.7

12.如图，Rt△ABC与Rt△DEF的顶点A，F，C，D在同一条直线上，AB与EF相交于点G，BC与DE相交于点H，∠B=∠E=90°,AF=CD,AB=DE.
(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF；
(2)若GF=1,求线段CH的长.

12. (1) 证明: $\because AF=CD, \therefore AF+CF=CD+CF,$ 即 $AC=DF.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $\begin{cases} AC=DF, \\ AB=DE, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF; (\mathrm{HL})$
(2) 解: $\because \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF, \therefore ∠ A=∠ D, ∠ EFD=∠ BCA. \because ∠ AFG=180°-∠ EFD, ∠ DCH=180°-∠ BCA, \therefore ∠ AFG=∠ DCH.$ 在 $△ AFG$ 和 $△ DCH$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ AF=DC, \\ ∠ AFG=∠ DCH, \end{cases}$ $\therefore △ AFG ≌ △ DCH, (\mathrm{ASA}), \therefore CH=FG=1.$

【分析】
(1) 要证明两个直角三角形全等，已知一组直角边AB=DE，只需证明斜边相等即可。由AF=CD，给两个线段同时加上公共部分CF，可得AC=DF，结合直角三角形全等的HL判定定理即可完成证明。
(2) 已知GF=1，要求CH的长，可通过证明二者所在的三角形全等求解。由(1)的全等结论可得对应角∠A=∠D、∠EFD=∠BCA，再根据平角的性质推出∠AFG=∠DCH，结合已知AF=CD，用ASA判定△AFG≌△DCH，即可得到CH=GF。
【解析】
(1) 证明: $\because AF=CD, \therefore AF+CF=CD+CF,$ 即 $AC=DF.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中,
$\begin{cases} AC=DF, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF (\mathrm{HL}).$
(2) 解: $\because \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF, \therefore ∠ A=∠ D, ∠ EFD=∠ BCA.$
$\because ∠ AFG=180°-∠ EFD, ∠ DCH=180°-∠ BCA, \therefore ∠ AFG=∠ DCH.$
在 $△ AFG$ 和 $△ DCH$ 中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ AF=DC, \\ ∠ AFG=∠ DCH, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ DCH (\mathrm{ASA}), \therefore CH=FG=1.$
【答案】
(1) Rt△ABC≌Rt△DEF，证明成立；
(2) $CH=1$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；ASA判定三角形全等
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题时先通过线段和的关系推导相等边，再结合已知条件选择合适的全等判定定理，逻辑连贯，能有效考查对全等判定和性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8

13.【核心素养·推理能力】如图，$∠ C = ∠ D$，$AC=AD$.求证:$BC=BD$.（思路点拨:当图中的三角形无法证明全等时,可通过作辅助线将图形分割或填补,构造全等三角形;本题可过点A分别作BC,BD的垂线）

13. 证明: 过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC, AN ⊥ BD,$ 分别交 $BC, BD$ 的延长线于点 $M,N, \therefore ∠ AMC=∠ AND=90°. \because ∠ ACB=∠ ADB, \therefore ∠ ACM=∠ ADN.$ 在 $△ ACM$ 和 $△ ADN$ 中, $\begin{cases} ∠ AMC=∠ AND, \\ ∠ ACM=∠ ADN, \\ AC=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ACM ≌ △ ADN. (\mathrm{AAS}), \therefore AM=AN, CM=DN.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABN$ 中, $\begin{cases} AB=AB, \\ AM=AN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABM ≌ \mathrm{Rt}△ ABN. (\mathrm{HL}), \therefore BM=BN. \therefore BM-CM=BN-DN,$ 即 $BC=BD.$

【分析】
要证明$BC=BD$，首先观察现有条件：已知$∠C=∠D$，$AC=AD$，$AB$为公共边，若直接证明$△ ABC≌△ ABD$，满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），不符合三角形全等的判定条件，因此需要构造辅助线创造全等条件。按照提示过点$A$作$BC$、$BD$的垂线，得到直角三角形，先利用AAS证明$△ ACM≌△ ADN$，得到$AM=AN$、$CM=DN$，再利用HL证明$\mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ABN$，得到$BM=BN$，最后通过线段的差运算即可推出$BC=BD$。
【解析】
证明: 过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC, AN ⊥ BD,$ 分别交 $BC, BD$ 的延长线于点 $M,N$，
$\therefore ∠ AMC=∠ AND=90°$.
$\because ∠ ACB=∠ ADB$,
$\therefore ∠ ACM=∠ ADN$（等角的补角相等）.
在 $△ ACM$ 和 $△ ADN$ 中,
$\begin{cases} ∠ AMC=∠ AND, \\ ∠ ACM=∠ ADN, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ ADN \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore AM=AN, CM=DN.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABN$ 中,
$\begin{cases} AB=AB, \\ AM=AN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM ≌ \mathrm{Rt}△ ABN \ (\mathrm{HL})$,
$\therefore BM=BN.$
$\therefore BM-CM=BN-DN,$
即 $BC=BD.$
【答案】
$BC=BD$，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形HL判定；补角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，当直接证明三角形全等的条件不足时，可通过作垂线等辅助线构造全等三角形，结合不同的全等判定定理逐步推导，要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，避免出现直接证明$△ ABC$和$△ ABD$全等的错误。
【难度系数】
0.6