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1. 一般地，正多边形都有一个
外接圆
，外接圆的圆心叫作正多边形的中心
，外接圆的半径叫作正多边形的半径
。答案
1. 外接圆，中心，半径
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆的基础概念识记，解题时只需回忆教材中正多边形外接圆相关的定义，对应空缺位置依次填写即可：首先明确所有正多边形的顶点都共圆，因此都存在外接圆；再依次回忆外接圆的圆心、半径对应的正多边形相关名称，就能得出答案。
【解析】
根据正多边形与圆的相关定义：
1. 任意正多边形的各个顶点都在同一个圆上，因此正多边形都有一个外接圆；
2. 正多边形外接圆的圆心，被定义为正多边形的中心；
3. 正多边形外接圆的半径，就叫作正多边形的半径。
因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
外接圆，中心，半径
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形的基本概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对正多边形和圆相关基础定义的掌握情况，只要牢记教材中的基础概念就能快速得分，是这部分内容的基础考察题型。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形与圆的基础概念识记，解题时只需回忆教材中正多边形外接圆相关的定义，对应空缺位置依次填写即可：首先明确所有正多边形的顶点都共圆，因此都存在外接圆；再依次回忆外接圆的圆心、半径对应的正多边形相关名称，就能得出答案。
【解析】
根据正多边形与圆的相关定义：
1. 任意正多边形的各个顶点都在同一个圆上，因此正多边形都有一个外接圆；
2. 正多边形外接圆的圆心，被定义为正多边形的中心；
3. 正多边形外接圆的半径，就叫作正多边形的半径。
因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
外接圆，中心，半径
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形的基本概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对正多边形和圆相关基础定义的掌握情况，只要牢记教材中的基础概念就能快速得分，是这部分内容的基础考察题型。
【难度系数】
0.9
2. 正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有
n
条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形
.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）答案
2. n，轴对称图形
解析
【分析】
本题考查正多边形的对称性相关知识，解题思路如下：1. 回忆正多边形对称轴的数量规律：正n边形的每条边的垂直平分线都是它的对称轴，总数量和边数相等；2. 区分边数奇偶时正多边形的中心对称属性：结合中心对称图形的定义（绕中心旋转180°后与自身重合）判断，边数为偶数时满足中心对称要求，边数为奇数时不满足，仅具备轴对称属性。
【解析】
首先，正n边形的对称轴是过中心且平分正n边形的直线，不管边数为奇数还是偶数，正n边形的对称轴数量都等于它的边数n；其次，根据中心对称图形的定义，将图形绕中心旋转180°后能与自身重合的才是中心对称图形：当正n边形边数为偶数时，绕中心旋转180°后每个顶点、每条边都能和对面的顶点、边重合，因此它既是轴对称图形也是中心对称图形；当边数为奇数时，绕中心旋转180°后，顶点无法和原图形的顶点或边重合，不满足中心对称的要求，因此它只是轴对称图形。
综上，第一个空填n，第二个空填轴对称图形。
【答案】
n，轴对称图形
【知识点】
正多边形的对称性、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分边数为奇数和偶数时正多边形的对称性质差异，牢记相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查正多边形的对称性相关知识，解题思路如下：1. 回忆正多边形对称轴的数量规律：正n边形的每条边的垂直平分线都是它的对称轴，总数量和边数相等；2. 区分边数奇偶时正多边形的中心对称属性：结合中心对称图形的定义（绕中心旋转180°后与自身重合）判断，边数为偶数时满足中心对称要求，边数为奇数时不满足，仅具备轴对称属性。
【解析】
首先，正n边形的对称轴是过中心且平分正n边形的直线，不管边数为奇数还是偶数，正n边形的对称轴数量都等于它的边数n；其次，根据中心对称图形的定义，将图形绕中心旋转180°后能与自身重合的才是中心对称图形：当正n边形边数为偶数时，绕中心旋转180°后每个顶点、每条边都能和对面的顶点、边重合，因此它既是轴对称图形也是中心对称图形；当边数为奇数时，绕中心旋转180°后，顶点无法和原图形的顶点或边重合，不满足中心对称的要求，因此它只是轴对称图形。
综上，第一个空填n，第二个空填轴对称图形。
【答案】
n，轴对称图形
【知识点】
正多边形的对称性、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分边数为奇数和偶数时正多边形的对称性质差异，牢记相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
3. (1) 边长为6的正方形的外接圆半径为
(2) 已知圆的半径为8，其内接正六边形的边长为
$3\sqrt{2}$
，圆心到一边的距离为3
；(2) 已知圆的半径为8，其内接正六边形的边长为
8
，圆心到一边的距离为$4\sqrt{3}$
，正六边形的面积为$96\sqrt{3}$
。答案
3. (1) $3\sqrt{2}$,3 (2) 8,$4\sqrt{3}$,$96\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）求解正方形外接圆相关量时，首先明确正方形外接圆的圆心为对角线交点，外接圆半径等于对角线长度的一半；圆心到一边的距离即边心距，可结合正方形的对称性直接推导。
（2）求解圆内接正六边形相关量时，利用正六边形的核心性质：正六边形的边长等于外接圆半径；求边心距可构造由半径、边心距、半边长组成的直角三角形，通过勾股定理计算；正六边形面积可拆分为6个全等正三角形的面积和计算。
【解析】
（1）已知正方形边长为6：
① 正方形对角线长为 $ 6×\sqrt{2}=6\sqrt{2} $，外接圆半径为对角线的一半，即 $ R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} $；
② 由正方形对称性可知，圆心到一边的距离为边长的一半，即 $ d=\frac{6}{2}=3 $。
（2）已知外接圆半径为8，求其内接正六边形的相关量：
① 正六边形边长等于外接圆半径，因此边长 $ a=8 $；
② 构造直角三角形：斜边为外接圆半径8，一条直角边为半边长 $ \frac{8}{2}=4 $，由勾股定理得边心距 $ d=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} $；
③ 单个边长为8的正三角形面积为 $ \frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=16\sqrt{3} $，正六边形由6个全等的该正三角形组成，因此总面积为 $ 6×16\sqrt{3}=96\sqrt{3} $。
【答案】
(1) $ 3\sqrt{2} $，3；(2) 8，$ 4\sqrt{3} $，$ 96\sqrt{3} $
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题为正多边形与圆章节的基础题型，重点考查正方形、正六边形这两类常见特殊正多边形和其外接圆的数量关系，熟练掌握对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
（1）求解正方形外接圆相关量时，首先明确正方形外接圆的圆心为对角线交点，外接圆半径等于对角线长度的一半；圆心到一边的距离即边心距，可结合正方形的对称性直接推导。
（2）求解圆内接正六边形相关量时，利用正六边形的核心性质：正六边形的边长等于外接圆半径；求边心距可构造由半径、边心距、半边长组成的直角三角形，通过勾股定理计算；正六边形面积可拆分为6个全等正三角形的面积和计算。
【解析】
（1）已知正方形边长为6：
① 正方形对角线长为 $ 6×\sqrt{2}=6\sqrt{2} $，外接圆半径为对角线的一半，即 $ R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} $；
② 由正方形对称性可知，圆心到一边的距离为边长的一半，即 $ d=\frac{6}{2}=3 $。
（2）已知外接圆半径为8，求其内接正六边形的相关量：
① 正六边形边长等于外接圆半径，因此边长 $ a=8 $；
② 构造直角三角形：斜边为外接圆半径8，一条直角边为半边长 $ \frac{8}{2}=4 $，由勾股定理得边心距 $ d=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} $；
③ 单个边长为8的正三角形面积为 $ \frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=16\sqrt{3} $，正六边形由6个全等的该正三角形组成，因此总面积为 $ 6×16\sqrt{3}=96\sqrt{3} $。
【答案】
(1) $ 3\sqrt{2} $，3；(2) 8，$ 4\sqrt{3} $，$ 96\sqrt{3} $
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题为正多边形与圆章节的基础题型，重点考查正方形、正六边形这两类常见特殊正多边形和其外接圆的数量关系，熟练掌握对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 把一个正五边形绕着它的中心旋转至少
72
°，才能和原来的位置重合。答案
4. 72
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确考点是正多边形的旋转对称性：正多边形绕中心旋转后与自身重合的条件是旋转角度为其中心角的整数倍，要求至少旋转多少度重合，实际就是求正五边形单个中心角的度数。我们知道周角为360°，正n边形的n个中心角大小相等，因此用360°除以正五边形的边数5即可得到结果。
【解析】
解：正多边形绕中心旋转后与自身重合的最小角度等于它的中心角的度数。
正五边形的中心角为：
$ \frac{360°}{5}=72° $
因此将正五边形绕中心至少旋转72°，就能和原来的位置重合。
【答案】
72
【知识点】
1.正多边形的性质
2.旋转对称图形
3.中心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握正n边形最小旋转重合角的计算规律，只要理解正多边形中心角和旋转重合的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先要明确考点是正多边形的旋转对称性：正多边形绕中心旋转后与自身重合的条件是旋转角度为其中心角的整数倍，要求至少旋转多少度重合，实际就是求正五边形单个中心角的度数。我们知道周角为360°，正n边形的n个中心角大小相等，因此用360°除以正五边形的边数5即可得到结果。
【解析】
解：正多边形绕中心旋转后与自身重合的最小角度等于它的中心角的度数。
正五边形的中心角为：
$ \frac{360°}{5}=72° $
因此将正五边形绕中心至少旋转72°，就能和原来的位置重合。
【答案】
72
【知识点】
1.正多边形的性质
2.旋转对称图形
3.中心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握正n边形最小旋转重合角的计算规律，只要理解正多边形中心角和旋转重合的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽(如图所示).以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是 （
A.4
B.16
C.24
D.32
（第5题）
C
）A.4
B.16
C.24
D.32
（第5题）答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需掌握正多边形中心角的计算方法：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，由此可先算出正六边形的中心角为60°。结合实际操作可知，扳手每次卡住螺帽转动时，最多带动螺帽转动60°，之后需要重新调整卡口才能继续转动。接下来先算出螺帽拧紧总共需要转动的总角度，再用总角度除以每次转动的角度，即可得到扳手的转动次数。
【解析】
解：正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，即每次转动扳手，可带动螺帽转动60°。
螺帽拧紧需要转动4圈，总转动角度为 $4×360°=1440°$。
则需要转动扳手的次数为 $\frac{1440°}{60°}=24$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题结合生活中拧螺帽的实际场景，考查正多边形相关知识的应用，解题关键是明确每次扳手转动对应螺帽转过的角度等于正六边形的中心角，将实际问题转化为角度计算问题即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需掌握正多边形中心角的计算方法：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，由此可先算出正六边形的中心角为60°。结合实际操作可知，扳手每次卡住螺帽转动时，最多带动螺帽转动60°，之后需要重新调整卡口才能继续转动。接下来先算出螺帽拧紧总共需要转动的总角度，再用总角度除以每次转动的角度，即可得到扳手的转动次数。
【解析】
解：正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，即每次转动扳手，可带动螺帽转动60°。
螺帽拧紧需要转动4圈，总转动角度为 $4×360°=1440°$。
则需要转动扳手的次数为 $\frac{1440°}{60°}=24$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题结合生活中拧螺帽的实际场景，考查正多边形相关知识的应用，解题关键是明确每次扳手转动对应螺帽转过的角度等于正六边形的中心角，将实际问题转化为角度计算问题即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 我国魏晋时期数学家刘徽曾用“割圆术”估算圆周率的近似值，如图，$\odot O$的半径为1，若以圆内接正六边形的周长近似估计$\odot O$的周长，可得$π$的估计值为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.3.14
D.3
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.3.14
D.3
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确正六边形和其外接圆的性质：①正六边形的中心角为360°除以边数6，可得中心角为60°；②正六边形的两条外接圆半径与边长构成的三角形，两边相等且夹角为60°，是等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径。再结合题目中“用正六边形周长近似估计圆周长”的条件，分别计算正六边形周长和圆周长的表达式，列近似等式即可求出π的估计值。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$，
1. 计算正六边形的中心角：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
2. 推导正六边形边长：正六边形的边长与两条外接圆半径构成的三角形中，两边为半径长1，夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可得正六边形的边长$a=r=1$，
3. 计算正六边形周长：$C_{\mathrm{正六边形}}=6a=6×1=6$，
4. 圆的周长公式为$C_{\mathrm{圆}}=2π r=2π×1=2π$，
根据题意用正六边形周长近似估计圆周长，即$C_{\mathrm{正六边形}}\approx C_{\mathrm{圆}}$，
代入得$6\approx2π$，解得$π\approx3$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形的判定，圆周长公式
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学文化背景，考查正多边形和外接圆的相关计算，解题的核心是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一特殊性质，整体考查内容基础，贴合教材知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确正六边形和其外接圆的性质：①正六边形的中心角为360°除以边数6，可得中心角为60°；②正六边形的两条外接圆半径与边长构成的三角形，两边相等且夹角为60°，是等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径。再结合题目中“用正六边形周长近似估计圆周长”的条件，分别计算正六边形周长和圆周长的表达式，列近似等式即可求出π的估计值。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$，
1. 计算正六边形的中心角：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
2. 推导正六边形边长：正六边形的边长与两条外接圆半径构成的三角形中，两边为半径长1，夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可得正六边形的边长$a=r=1$，
3. 计算正六边形周长：$C_{\mathrm{正六边形}}=6a=6×1=6$，
4. 圆的周长公式为$C_{\mathrm{圆}}=2π r=2π×1=2π$，
根据题意用正六边形周长近似估计圆周长，即$C_{\mathrm{正六边形}}\approx C_{\mathrm{圆}}$，
代入得$6\approx2π$，解得$π\approx3$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形的判定，圆周长公式
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学文化背景，考查正多边形和外接圆的相关计算，解题的核心是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一特殊性质，整体考查内容基础，贴合教材知识点。
【难度系数】
0.8
7. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为
40
。答案
7. 40
解析
【分析】
解题时首先结合正八边形的性质分析外接圆的特征：正八边形每个中心角为$360°÷8=45°$，顶点A到E间隔4条边，对应中心角为$4×45°=180°$，因此AE是外接圆直径。接下来将△ADE的面积拆分为两个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和，利用三角函数的面积公式建立半径相关的等量关系，最后把正八边形拆分为8个全等的中心等腰三角形，代入等量关系即可求出面积，避免直接计算半径的复杂步骤。
【解析】
解：设正八边形外接圆的圆心为O，半径为$r$。
1. 确定正八边形的中心角：正八边形每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，A到E对应4个中心角，总角度为$180°$，因此AE为外接圆直径，O是AE的中点。
2. 推导△ADE的面积表达式：
$S_{△ ADE}=S_{△ AOD}+S_{△ DOE}$
其中$∠ AOD=3×45°=135°$，$∠ DOE=45°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}r^2\sin135°$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}r^2\sin45°$
由于$\sin135°=\sin45°$，因此：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}r^2\sin45°+\frac{1}{2}r^2\sin45°=r^2\sin45°=10$
3. 计算正八边形面积：
正八边形可分为8个顶角为$45°$、腰长为$r$的全等等腰三角形，总面积为：
$S=8×\frac{1}{2}r^2\sin45°=4r^2\sin45°$
将$r^2\sin45°=10$代入，得$S=4×10=40$
【答案】
40
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题的核心是利用拆分法将不规则图形面积转化为多个规则三角形面积之和，通过公共的参数建立已知和未知的联系，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正八边形的性质分析外接圆的特征：正八边形每个中心角为$360°÷8=45°$，顶点A到E间隔4条边，对应中心角为$4×45°=180°$，因此AE是外接圆直径。接下来将△ADE的面积拆分为两个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和，利用三角函数的面积公式建立半径相关的等量关系，最后把正八边形拆分为8个全等的中心等腰三角形，代入等量关系即可求出面积，避免直接计算半径的复杂步骤。
【解析】
解：设正八边形外接圆的圆心为O，半径为$r$。
1. 确定正八边形的中心角：正八边形每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，A到E对应4个中心角，总角度为$180°$，因此AE为外接圆直径，O是AE的中点。
2. 推导△ADE的面积表达式：
$S_{△ ADE}=S_{△ AOD}+S_{△ DOE}$
其中$∠ AOD=3×45°=135°$，$∠ DOE=45°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}r^2\sin135°$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}r^2\sin45°$
由于$\sin135°=\sin45°$，因此：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}r^2\sin45°+\frac{1}{2}r^2\sin45°=r^2\sin45°=10$
3. 计算正八边形面积：
正八边形可分为8个顶角为$45°$、腰长为$r$的全等等腰三角形，总面积为：
$S=8×\frac{1}{2}r^2\sin45°=4r^2\sin45°$
将$r^2\sin45°=10$代入，得$S=4×10=40$
【答案】
40
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题的核心是利用拆分法将不规则图形面积转化为多个规则三角形面积之和，通过公共的参数建立已知和未知的联系，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
8. 某工业设计师设计一个打孔器. 他要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心 O 的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转. 如图①，若这个正多边形为正六边形，此时 EF=
（第8题）
5
；若这个正多边形为正三角形，如图②，当正三角形 EFG 可以绕着点 O 在正方形内自由旋转时，EF 的取值范围为$0＜EF≤5\sqrt{3}$
. （第8题）答案
8. 5,$0＜EF≤5\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题的核心是明确正多边形能在正方形内自由旋转的条件：正多边形外接圆半径的最大值等于正方形中心到边的距离。首先计算得正方形边长为10，中心到各边的距离为5，因此正多边形外接圆半径最大可取5。
第一问针对正六边形：利用正六边形边长等于其外接圆半径的性质，直接可求边长；
第二问针对正三角形：先推导正三角形边长和外接圆半径的关系，代入外接圆半径的最大值，即可得到边长的最大值，结合边长为正得到取值范围。
【解析】
正方形边长为10，其中心O到各边的距离为$\frac{10}{2}=5$，要使正多边形可绕O自由旋转，正多边形的外接圆半径$R≤5$。
1. 正六边形的边长等于其外接圆半径，当$R$取最大值5时，$EF=R=5$；
2. 设正三角形$EFG$的边长为$a$，正三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，其外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$，即：
$R=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}}$，变形得$a=\sqrt{3}R$。
因为$R≤5$，所以$a≤5\sqrt{3}$，又边长为正数，因此$0＜EF≤5\sqrt{3}$。
【答案】
$5$，$0＜EF≤5\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆，旋转的性质，正多边形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题关键是抓住自由旋转的本质：正多边形上到中心最远的点（即顶点）到中心的距离不能超过正方形中心到边的距离，再结合不同正多边形的边长与外接圆半径的关系计算即可。
【难度系数】
0.6
解题的核心是明确正多边形能在正方形内自由旋转的条件：正多边形外接圆半径的最大值等于正方形中心到边的距离。首先计算得正方形边长为10，中心到各边的距离为5，因此正多边形外接圆半径最大可取5。
第一问针对正六边形：利用正六边形边长等于其外接圆半径的性质，直接可求边长；
第二问针对正三角形：先推导正三角形边长和外接圆半径的关系，代入外接圆半径的最大值，即可得到边长的最大值，结合边长为正得到取值范围。
【解析】
正方形边长为10，其中心O到各边的距离为$\frac{10}{2}=5$，要使正多边形可绕O自由旋转，正多边形的外接圆半径$R≤5$。
1. 正六边形的边长等于其外接圆半径，当$R$取最大值5时，$EF=R=5$；
2. 设正三角形$EFG$的边长为$a$，正三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，其外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$，即：
$R=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}}$，变形得$a=\sqrt{3}R$。
因为$R≤5$，所以$a≤5\sqrt{3}$，又边长为正数，因此$0＜EF≤5\sqrt{3}$。
【答案】
$5$，$0＜EF≤5\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆，旋转的性质，正多边形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题关键是抓住自由旋转的本质：正多边形上到中心最远的点（即顶点）到中心的距离不能超过正方形中心到边的距离，再结合不同正多边形的边长与外接圆半径的关系计算即可。
【难度系数】
0.6
