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7. 如图，在$△ ABC$中，内切圆$I$和边$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，则$∠ FDE$与$∠ A$的关系是（
A.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$相等
B.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$互补
C.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$互余
D.无法确定
C
）A.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$相等
B.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$互补
C.$∠ FDE$与$\frac{1}{2}∠ A$互余
D.无法确定
答案
7. C
解析
【分析】
要探究∠FDE与∠A的数量关系，可先连接内切圆圆心I与切点F、E，利用切线的性质得到IF与AB、IE与AC的垂直关系，先推导圆心角∠FIE和∠A的关系，再结合圆周角定理得到∠FDE与∠FIE的关系，最后通过角度代换即可得到∠FDE和∠A的关系。
【解析】
连接IF、IE，
∵ 内切圆I和边AB、AC分别相切于点F、E，
∴ IF⊥AB，IE⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠AFI=∠AEI=90°，
在四边形AFIE中，内角和为360°，
∴ ∠A + ∠AFI + ∠AEI + ∠FIE = 360°，
代入∠AFI=∠AEI=90°，得∠A + ∠FIE = 180°，即∠FIE=180°-∠A，
∵ ∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FIE是弧FE所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ FDE=\frac{1}{2}∠ FIE$，
将∠FIE=180°-∠A代入得：
$∠ FDE=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
∴ $∠ FDE + \frac{1}{2}∠ A = 90°$，即∠FDE与$\frac{1}{2}∠ A$互余。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合切线性质、圆周角定理完成角度的转化推导，掌握圆的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要探究∠FDE与∠A的数量关系，可先连接内切圆圆心I与切点F、E，利用切线的性质得到IF与AB、IE与AC的垂直关系，先推导圆心角∠FIE和∠A的关系，再结合圆周角定理得到∠FDE与∠FIE的关系，最后通过角度代换即可得到∠FDE和∠A的关系。
【解析】
连接IF、IE，
∵ 内切圆I和边AB、AC分别相切于点F、E，
∴ IF⊥AB，IE⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠AFI=∠AEI=90°，
在四边形AFIE中，内角和为360°，
∴ ∠A + ∠AFI + ∠AEI + ∠FIE = 360°，
代入∠AFI=∠AEI=90°，得∠A + ∠FIE = 180°，即∠FIE=180°-∠A，
∵ ∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FIE是弧FE所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ FDE=\frac{1}{2}∠ FIE$，
将∠FIE=180°-∠A代入得：
$∠ FDE=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
∴ $∠ FDE + \frac{1}{2}∠ A = 90°$，即∠FDE与$\frac{1}{2}∠ A$互余。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合切线性质、圆周角定理完成角度的转化推导，掌握圆的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.（1）用直尺和圆规作出$△ ABC$的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若$△ ABC$的三边长分别为5，5，6，求内切圆的半径。
（2）若$△ ABC$的三边长分别为5，5，6，求内切圆的半径。
答案
8. (1) 作图略 （2）如图
，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$切AB于点E，切BC于点D，$\because AB=AC=5,\therefore A,O,D$三点共线，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3. \therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4. \therefore BE=BD=3. \therefore AE=2.$ 设三角形内切圆的半径为r，得$(4-r)^2=2^2+r^2$，$\therefore r=\frac{3}{2}$解析
【分析】
（1）作三角形内切圆首先要确定圆心，三角形的内心是三个内角角平分线的交点，再过内心作任意一边的垂线段，垂线段长度就是内切圆半径，按照该思路用直尺和圆规作图即可。
（2）△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形三线合一的性质求出底边上的高，再结合切线长定理得到相关线段的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，即可求出内切圆半径。
【解析】
（1）分别作∠B、∠C的角平分线，两条角平分线交于点O，过O作OD⊥BC于点D，以O为圆心、OD为半径作圆，即为△ABC的内切圆，保留作图痕迹即可。
（2）已知AB=AC=5，BC=6，△ABC为等腰三角形，设内切圆⊙O切AB于点E，切BC于点D：
∵AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD为BC边上的高，且内心O在AD上，即A、O、D三点共线
∴$BD=\frac{1}{2}BC=3$
在Rt△ABD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
根据切线长定理，得BE=BD=3
∴$AE=AB-BE=5-3=2$
设内切圆半径为r，则$OE=r$，$AO=AD-OD=4-r$
∵OE⊥AB，△AEO为直角三角形，由勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$，即$(4-r)^2=2^2+r^2$
展开化简得$8r=12$，解得$r=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) 作图略
(2) 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$切AB于点E，切BC于点D，$\because AB=AC=5,\therefore A,O,D$三点共线，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3. \therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4. \therefore BE=BD=3. \therefore AE=2.$ 设三角形内切圆的半径为r，得$(4-r)^2=2^2+r^2$，$\therefore r=\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形内切圆作法，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题包含作图和计算两部分内容，既考查了动手操作能力，又考查了等腰三角形性质、圆的相关性质和勾股定理的综合应用，解题时结合图形特征利用方程思想求解未知量是关键。
【难度系数】
0.6
（1）作三角形内切圆首先要确定圆心，三角形的内心是三个内角角平分线的交点，再过内心作任意一边的垂线段，垂线段长度就是内切圆半径，按照该思路用直尺和圆规作图即可。
（2）△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形三线合一的性质求出底边上的高，再结合切线长定理得到相关线段的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，即可求出内切圆半径。
【解析】
（1）分别作∠B、∠C的角平分线，两条角平分线交于点O，过O作OD⊥BC于点D，以O为圆心、OD为半径作圆，即为△ABC的内切圆，保留作图痕迹即可。
（2）已知AB=AC=5，BC=6，△ABC为等腰三角形，设内切圆⊙O切AB于点E，切BC于点D：
∵AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD为BC边上的高，且内心O在AD上，即A、O、D三点共线
∴$BD=\frac{1}{2}BC=3$
在Rt△ABD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
根据切线长定理，得BE=BD=3
∴$AE=AB-BE=5-3=2$
设内切圆半径为r，则$OE=r$，$AO=AD-OD=4-r$
∵OE⊥AB，△AEO为直角三角形，由勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$，即$(4-r)^2=2^2+r^2$
展开化简得$8r=12$，解得$r=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) 作图略
(2) 如图
，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$切AB于点E，切BC于点D，$\because AB=AC=5,\therefore A,O,D$三点共线，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3. \therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4. \therefore BE=BD=3. \therefore AE=2.$ 设三角形内切圆的半径为r，得$(4-r)^2=2^2+r^2$，$\therefore r=\frac{3}{2}$【知识点】
三角形内切圆作法，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题包含作图和计算两部分内容，既考查了动手操作能力，又考查了等腰三角形性质、圆的相关性质和勾股定理的综合应用，解题时结合图形特征利用方程思想求解未知量是关键。
【难度系数】
0.6
9. 如图，D是$△ ABC$内一点，AD平分$∠ BAC$，延长AD，交$△ ABC$的外接圆于点E，$BE=ED$. 判断点D是否是$△ ABC$的内心，并说明理由. 
答案
9. 点 D 是$△ ABC$的内心 . 理由: $\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD,\therefore \overgroup{CE}=\overgroup{BE},\therefore ∠ EBC=∠ CAE=∠ BAE,\because BE=DE,\therefore ∠ EDB=∠ DBE$,即$∠ BAE+∠ ABD=∠ CBD+∠ EBC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,即 D 是$∠ ABC$和$∠ BAC$的角平分线的交点,$\therefore$点 D 是$△ ABC$的内心
解析
【分析】
要判断点D是否为△ABC的内心，首先回忆三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需证明点D是△ABC两个内角的角平分线交点即可。已知AD平分∠BAC，因此只需证BD平分∠ABC，即∠ABD=∠CBD。推导时先利用角平分线和圆周角定理得到等弧，进而得到相等的圆周角，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，通过角的等量代换即可证明角相等，完成判定。
【解析】
点D是△ABC的内心，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}$，
根据同弧所对的圆周角相等，得∠EBC=∠CAE=∠BAE。
∵BE=ED，
∴∠EDB=∠DBE（等边对等角）。
又
∵∠EDB是△ABD的外角，故∠EDB=∠BAE+∠ABD，且∠DBE=∠CBD+∠EBC，
代入∠EDB=∠DBE可得：∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠EBC，
结合已证的∠BAE=∠EBC，可推出∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵点D是∠BAC和∠ABC的角平分线的交点，
∴点D是△ABC的内心。
【答案】
点D是$△ ABC$的内心
【知识点】
圆周角定理，三角形内心定义，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题核心是明确三角形内心的判定条件，结合圆周角、等腰三角形相关性质完成角的等量代换，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断点D是否为△ABC的内心，首先回忆三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需证明点D是△ABC两个内角的角平分线交点即可。已知AD平分∠BAC，因此只需证BD平分∠ABC，即∠ABD=∠CBD。推导时先利用角平分线和圆周角定理得到等弧，进而得到相等的圆周角，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，通过角的等量代换即可证明角相等，完成判定。
【解析】
点D是△ABC的内心，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}$，
根据同弧所对的圆周角相等，得∠EBC=∠CAE=∠BAE。
∵BE=ED，
∴∠EDB=∠DBE（等边对等角）。
又
∵∠EDB是△ABD的外角，故∠EDB=∠BAE+∠ABD，且∠DBE=∠CBD+∠EBC，
代入∠EDB=∠DBE可得：∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠EBC，
结合已证的∠BAE=∠EBC，可推出∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵点D是∠BAC和∠ABC的角平分线的交点，
∴点D是△ABC的内心。
【答案】
点D是$△ ABC$的内心
【知识点】
圆周角定理，三角形内心定义，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题核心是明确三角形内心的判定条件，结合圆周角、等腰三角形相关性质完成角的等量代换，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.（1）如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，切点分别是$D$，$E$，$F$，若三角形三边长分别记为$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，内切圆半径记为$r$，请用含$a$，$b$，$c$的代数式表示$r$。
（2）如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，$\odot O$与$AB$相切于点$D$，且$AD=7$，$BD=3$，则$△ ABC$的面积为
（2）如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，$\odot O$与$AB$相切于点$D$，且$AD=7$，$BD=3$，则$△ ABC$的面积为
21
。答案
10. （1）解法①:分别连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF,$\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 内切圆,D,E,F 为切点,$\therefore CD=CE,AE=AF,BD=BF,∠ OEC=∠ ODC=90°.\because ∠ C=90°,CD=CE,\therefore$ 四边形 CDOE 是正方形. $\therefore CD=CE=r,AE=b-r=AF,BD=a-r=BF,\because BF+AF=AB=c,\therefore (a-r)+(b-r)=c.\therefore r=\frac{a+b-c}{2}$ 解法②:分别连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF,$\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 内切圆,D,E,F 为切点,$\therefore OD⊥ BC,OE⊥ AC,OF⊥ AB,OD=OE=OF.$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}+S_{△ AOB}=\frac{1}{2}BC· DO+\frac{1}{2}AC· OE+\frac{1}{2}AB· FO=\frac{1}{2}(BC+AC+AB)· OD.$
$\because ∠ C=90°,\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)· r.\therefore r=\frac{ab}{a+b+c}$
（2）设 $AC=b,BC=a,AB=AD+BD=10$,$\therefore AD=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{10+b-a}{2}=7,\therefore b-a=4$,又$\because a^2+b^2=100,\therefore S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}[(a^2+b^2)-(b-a)^2]=\frac{1}{4}×(100-16)=21$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}+S_{△ AOB}=\frac{1}{2}BC· DO+\frac{1}{2}AC· OE+\frac{1}{2}AB· FO=\frac{1}{2}(BC+AC+AB)· OD.$
$\because ∠ C=90°,\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)· r.\therefore r=\frac{ab}{a+b+c}$
（2）设 $AC=b,BC=a,AB=AD+BD=10$,$\therefore AD=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{10+b-a}{2}=7,\therefore b-a=4$,又$\because a^2+b^2=100,\therefore S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}[(a^2+b^2)-(b-a)^2]=\frac{1}{4}×(100-16)=21$
解析
【分析】
（1）推导直角三角形内切圆半径可从两个思路入手：思路一，利用切线长定理，结合内切圆与直角边垂直可证得四边形CDOE是正方形，得到CE=CD=r，再将AB的长度用a、b、r表示，列方程求解r；思路二，用面积法，将△ABC的面积拆分为△BOC、△AOC、△AOB三个小三角形的面积和，分别表示面积后建立等式求解r。
（2）先根据切线长定理得到AD和三角形三边的关系，求出AC与BC的差，再结合勾股定理得到a²+b²的值，利用完全平方公式的变形求出ab的值，进而得到三角形面积。
【解析】
（1）解法一：分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点，
∴$CD=CE$，$AE=AF$，$BD=BF$，$∠OEC=∠ODC=90°$。
又
∵$∠C=90°$，$CD=CE$，
∴四边形CDOE是正方形，
∴$CD=CE=r$，
∴$AE=AC-CE=b-r=AF$，$BD=BC-CD=a-r=BF$。
∵$AF+BF=AB=c$，
∴$(b-r)+(a-r)=c$，
整理得$2r=a+b-c$，即$r=\frac{a+b-c}{2}$。
解法二：分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点，
∴$OD⊥BC$，$OE⊥AC$，$OF⊥AB$，且$OD=OE=OF=r$。
∴$S_{△ABC}=S_{△BOC}+S_{△AOC}+S_{△AOB}$
$=\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·OE+\frac{1}{2}AB·OF$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)·r$。
又
∵$∠C=90°$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，
∴$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)·r$，
整理得$r=\frac{ab}{a+b+c}$。
（2）设$AC=b$，$BC=a$，由题意得$AB=AD+BD=7+3=10$。
根据切线长定理，$AD=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{10+b-a}{2}=7$，
解得$b-a=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$a²+b²=AB²=10²=100$。
由完全平方公式变形得：$(b-a)²=a²+b²-2ab$，
代入数值：$4²=100-2ab$，解得$2ab=84$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=21$。
【答案】
（1）$r=\frac{a+b-c}{2}$（或$r=\frac{ab}{a+b+c}$）；（2）$\boxed{21}$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查直角三角形内切圆半径的推导方法，以及结合代数变形求解三角形面积，需熟练掌握内切圆的相关性质，灵活运用面积法和完全平方公式的变形解决问题。
【难度系数】
0.6
（1）推导直角三角形内切圆半径可从两个思路入手：思路一，利用切线长定理，结合内切圆与直角边垂直可证得四边形CDOE是正方形，得到CE=CD=r，再将AB的长度用a、b、r表示，列方程求解r；思路二，用面积法，将△ABC的面积拆分为△BOC、△AOC、△AOB三个小三角形的面积和，分别表示面积后建立等式求解r。
（2）先根据切线长定理得到AD和三角形三边的关系，求出AC与BC的差，再结合勾股定理得到a²+b²的值，利用完全平方公式的变形求出ab的值，进而得到三角形面积。
【解析】
（1）解法一：分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点，
∴$CD=CE$，$AE=AF$，$BD=BF$，$∠OEC=∠ODC=90°$。
又
∵$∠C=90°$，$CD=CE$，
∴四边形CDOE是正方形，
∴$CD=CE=r$，
∴$AE=AC-CE=b-r=AF$，$BD=BC-CD=a-r=BF$。
∵$AF+BF=AB=c$，
∴$(b-r)+(a-r)=c$，
整理得$2r=a+b-c$，即$r=\frac{a+b-c}{2}$。
解法二：分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点，
∴$OD⊥BC$，$OE⊥AC$，$OF⊥AB$，且$OD=OE=OF=r$。
∴$S_{△ABC}=S_{△BOC}+S_{△AOC}+S_{△AOB}$
$=\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·OE+\frac{1}{2}AB·OF$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)·r$。
又
∵$∠C=90°$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，
∴$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)·r$，
整理得$r=\frac{ab}{a+b+c}$。
（2）设$AC=b$，$BC=a$，由题意得$AB=AD+BD=7+3=10$。
根据切线长定理，$AD=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{10+b-a}{2}=7$，
解得$b-a=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$a²+b²=AB²=10²=100$。
由完全平方公式变形得：$(b-a)²=a²+b²-2ab$，
代入数值：$4²=100-2ab$，解得$2ab=84$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=21$。
【答案】
（1）$r=\frac{a+b-c}{2}$（或$r=\frac{ab}{a+b+c}$）；（2）$\boxed{21}$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查直角三角形内切圆半径的推导方法，以及结合代数变形求解三角形面积，需熟练掌握内切圆的相关性质，灵活运用面积法和完全平方公式的变形解决问题。
【难度系数】
0.6
