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9. 如图，MN是⊙O的直径.
（1）用直尺和圆规作⊙O的内接正方形ABCD，并使其对边AD，BC都与MN垂直（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接MA，MB，求∠MAD，∠MBC的度数.
（1）用直尺和圆规作⊙O的内接正方形ABCD，并使其对边AD，BC都与MN垂直（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接MA，MB，求∠MAD，∠MBC的度数.
答案
9. (1) 如图
(2) 由作图可知，$∠ MOD=45°$,$∠ MOC=135°$,$\therefore ∠ MBC=\frac{1}{2}∠ MOC=\frac{1}{2}×135°=67.5°$,$\because ∠ MOD=45°$,$\therefore ∠ MAD=\frac{1}{2}∠ MOD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$解析
【分析】
（1）作图思路：要作⊙O的内接正方形且对边AD、BC与MN垂直，正方形的中心为圆心O，对角线互相垂直且平分，因此先过点O作MN的垂直平分线，得到另一条与MN垂直的直径；再作这两条互相垂直的直径所形成的4个角的角平分线，4条角平分线与⊙O的交点即为正方形的4个顶点，顺次连接四个顶点即可得到符合要求的正方形。
（2）计算思路：求圆周角∠MAD和∠MBC的度数，可利用圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此先确定两个角所对弧对应的圆心角度数，再代入计算即可。
【解析】
（1）作图按要求保留痕迹即可。
（2）由作图可知，两条互相垂直的直径将周角平分为4个90°的角，角平分线将每个90°的角再平分为两个45°的角，因此$∠ MOD=45°$，$∠ MOC=180°-45°=135°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠MAD是弧MD所对的圆周角，因此$∠ MAD=\frac{1}{2}∠ MOD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$；
∠MBC是弧MC所对的圆周角，因此$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ MOC=\frac{1}{2}×135°=67.5°$。
【答案】
(1) 如图
(2) $∠ MAD=22.5°$，$∠ MBC=67.5°$
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，尺规作图
【点评】
本题结合了尺规作图和圆周角定理的应用，需要掌握圆内接正多边形的性质，作图时要注意保留规范的作图痕迹，计算时准确找到圆周角对应的圆心角是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：要作⊙O的内接正方形且对边AD、BC与MN垂直，正方形的中心为圆心O，对角线互相垂直且平分，因此先过点O作MN的垂直平分线，得到另一条与MN垂直的直径；再作这两条互相垂直的直径所形成的4个角的角平分线，4条角平分线与⊙O的交点即为正方形的4个顶点，顺次连接四个顶点即可得到符合要求的正方形。
（2）计算思路：求圆周角∠MAD和∠MBC的度数，可利用圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此先确定两个角所对弧对应的圆心角度数，再代入计算即可。
【解析】
（1）作图按要求保留痕迹即可。
（2）由作图可知，两条互相垂直的直径将周角平分为4个90°的角，角平分线将每个90°的角再平分为两个45°的角，因此$∠ MOD=45°$，$∠ MOC=180°-45°=135°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠MAD是弧MD所对的圆周角，因此$∠ MAD=\frac{1}{2}∠ MOD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$；
∠MBC是弧MC所对的圆周角，因此$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ MOC=\frac{1}{2}×135°=67.5°$。
【答案】
(1) 如图
(2) $∠ MAD=22.5°$，$∠ MBC=67.5°$
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，尺规作图
【点评】
本题结合了尺规作图和圆周角定理的应用，需要掌握圆内接正多边形的性质，作图时要注意保留规范的作图痕迹，计算时准确找到圆周角对应的圆心角是解题关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$\odot O$的半径$OA⊥ OC$，垂足为$O$，点$D$在$\overset{\frown}{AC}$上，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)。
(1) 在图①中，作$\odot O$的一个内接正方形；
(2) 在图②中，作$\odot O$的一个内接等边三角形。
(1) 在图①中，作$\odot O$的一个内接正方形；
(2) 在图②中，作$\odot O$的一个内接等边三角形。
答案
10. (1) 如图①，四边形ACEF即为所求 (2) 如图②,$△ DFM$即为所求
解析
【分析】
(1) 要作圆的内接正方形，核心是将圆四等分，正方形的对角线为圆的两条互相垂直的直径。已知$OA⊥OC$，已经得到一组互相垂直的半径，只需将两条半径延长为直径，得到圆的四个四等分点，顺次连接四个点即可得到内接正方形。
(2) 要作圆的内接等边三角形，核心是将圆三等分，等边三角形的中心角为$120°$。已知$OA⊥OC$，可得$\overset{\frown}{AC}$的度数为$90°$，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，可算出$\overset{\frown}{CD}=30°$、$\overset{\frown}{AD}=60°$，结合圆的性质找到三个三等分点，顺次连接即可得到内接等边三角形。
【解析】
(1) 延长$AO$交$\odot O$于点$E$，延长$CO$交$\odot O$于点$F$，顺次连接$A$、$C$、$E$、$F$。此时$AC$、$CE$、$EF$、$FA$四条弦对应的弧均为$90°$，故四边相等，且四个内角均为$90°$，四边形$ACEF$是$\odot O$的内接正方形。
(2) 延长$AO$交$\odot O$于点$M$，连接$D$、$F$、$M$三点。由弧的度数计算可得，$DF$、$FM$、$MD$三条弦对应的弧均为$120°$，故三边相等，$△ DFM$是$\odot O$的内接等边三角形。
【答案】
(1) 如图①，四边形$ACEF$即为所求 (2) 如图②,$△ DFM$即为所求
【知识点】
正多边形与圆，圆心角与弧的关系，无刻度直尺作图
【点评】
本题重点考查圆内接正多边形的作图方法，需要结合正多边形的性质和圆的弧、圆心角的对应关系确定顶点位置，对图形性质的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要作圆的内接正方形，核心是将圆四等分，正方形的对角线为圆的两条互相垂直的直径。已知$OA⊥OC$，已经得到一组互相垂直的半径，只需将两条半径延长为直径，得到圆的四个四等分点，顺次连接四个点即可得到内接正方形。
(2) 要作圆的内接等边三角形，核心是将圆三等分，等边三角形的中心角为$120°$。已知$OA⊥OC$，可得$\overset{\frown}{AC}$的度数为$90°$，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，可算出$\overset{\frown}{CD}=30°$、$\overset{\frown}{AD}=60°$，结合圆的性质找到三个三等分点，顺次连接即可得到内接等边三角形。
【解析】
(1) 延长$AO$交$\odot O$于点$E$，延长$CO$交$\odot O$于点$F$，顺次连接$A$、$C$、$E$、$F$。此时$AC$、$CE$、$EF$、$FA$四条弦对应的弧均为$90°$，故四边相等，且四个内角均为$90°$，四边形$ACEF$是$\odot O$的内接正方形。
(2) 延长$AO$交$\odot O$于点$M$，连接$D$、$F$、$M$三点。由弧的度数计算可得，$DF$、$FM$、$MD$三条弦对应的弧均为$120°$，故三边相等，$△ DFM$是$\odot O$的内接等边三角形。
【答案】
(1) 如图①，四边形$ACEF$即为所求 (2) 如图②,$△ DFM$即为所求
【知识点】
正多边形与圆，圆心角与弧的关系，无刻度直尺作图
【点评】
本题重点考查圆内接正多边形的作图方法，需要结合正多边形的性质和圆的弧、圆心角的对应关系确定顶点位置，对图形性质的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，图①~图ⓝ分别是$\odot O$ 的内接正三角形 ABC，正四边形 ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形. 点 M，N 分别从点 B，C 开始以相同的速度在$\odot O$ 上逆时针运动.
（1）图①中，$∠ APN$ 的度数是
（2）试探索$∠ APN$ 的度数与正多边形边数 n 的关系(直接写答案)：
（1）图①中，$∠ APN$ 的度数是
60
°；图②中，$∠ APN$ 的度数是90
°；图③中$∠ APN$ 的度数是108
°.（2）试探索$∠ APN$ 的度数与正多边形边数 n 的关系(直接写答案)：
$\frac{(n-2)×180°}{n}(n\ge3)$
.答案
11. (1) 60,90,108 (2) $\frac{(n-2)×180°}{n}(n\ge3)$
解析
【分析】
解题时先分析点M、N的运动特征：二者速度相同且同时运动，故相等时间内弧$BM=$弧$CN$，根据圆周角定理可得$∠ BAM=∠ CBN$；再观察$∠ APN$的位置，它是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质，$∠ APN=∠ BAM+∠ ABP$，将$∠ BAM$替换为$∠ CBN$，可得$∠ APN=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$，即$∠ APN$的度数等于对应正多边形的内角度数，最后计算不同正多边形的内角度数，再推广到正$n$边形的情况即可。
【解析】
（1）
∵点M、N运动速度相同，
∴弧$BM=$弧$CN$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得$∠ BAM=∠ CBN$。
在$△ ABP$中，$∠ APN$是外角，故$∠ APN=∠ BAP+∠ ABP=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$：
① 图①是正三角形，正三角形内角为$(3-2)×180°÷3=60°$，故$∠ APN=60°$；
② 图②是正四边形，正四边形内角为$(4-2)×180°÷4=90°$，故$∠ APN=90°$；
③ 图③是正五边形，正五边形内角为$(5-2)×180°÷5=108°$，故$∠ APN=108°$。
（2）由上述推导可知，正$n$边形的内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n\ge3$且$n$为整数），故$∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n\ge3$且$n$为整数）。
【答案】
(1) $60$，$90$，$108$；(2) $∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}(n\ge3)$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形内角和
【点评】
本题结合动态运动考察正多边形与圆的相关性质，解题关键是通过圆周角定理和外角性质推导得出$∠ APN$等于正多边形的内角，将动态问题转化为静态的正多边形内角计算问题，规律探索清晰易懂，能很好地锻炼逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时先分析点M、N的运动特征：二者速度相同且同时运动，故相等时间内弧$BM=$弧$CN$，根据圆周角定理可得$∠ BAM=∠ CBN$；再观察$∠ APN$的位置，它是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质，$∠ APN=∠ BAM+∠ ABP$，将$∠ BAM$替换为$∠ CBN$，可得$∠ APN=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$，即$∠ APN$的度数等于对应正多边形的内角度数，最后计算不同正多边形的内角度数，再推广到正$n$边形的情况即可。
【解析】
（1）
∵点M、N运动速度相同，
∴弧$BM=$弧$CN$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得$∠ BAM=∠ CBN$。
在$△ ABP$中，$∠ APN$是外角，故$∠ APN=∠ BAP+∠ ABP=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$：
① 图①是正三角形，正三角形内角为$(3-2)×180°÷3=60°$，故$∠ APN=60°$；
② 图②是正四边形，正四边形内角为$(4-2)×180°÷4=90°$，故$∠ APN=90°$；
③ 图③是正五边形，正五边形内角为$(5-2)×180°÷5=108°$，故$∠ APN=108°$。
（2）由上述推导可知，正$n$边形的内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n\ge3$且$n$为整数），故$∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n\ge3$且$n$为整数）。
【答案】
(1) $60$，$90$，$108$；(2) $∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}(n\ge3)$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形内角和
【点评】
本题结合动态运动考察正多边形与圆的相关性质，解题关键是通过圆周角定理和外角性质推导得出$∠ APN$等于正多边形的内角，将动态问题转化为静态的正多边形内角计算问题，规律探索清晰易懂，能很好地锻炼逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
