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1. 中国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正、负以名之”。意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数。若收入100元记作+100元，则－10元表示（
A.收入10元
B.收入60元
C.支出60元
D.支出10元
D
）。A.收入10元
B.收入60元
C.支出60元
D.支出10元
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确正负数的核心作用是表示一对意义相反的量，解题分为两步：第一步先确定题目中规定的正数对应的实际意义，本题明确说明收入100元记作+100元，即正数对应“收入”；第二步，与收入相反的概念是支出，因此负数就对应支出，再结合数值10，即可推出-10元的含义。
【解析】
解：根据正负数表示相反意义的量的规则，本题规定收入记为正，则支出就记为负。因此-10元表示支出10元，故选D。
【答案】D
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题结合古代数学典籍背景考查正负数的实际应用，解题关键是先明确正数对应的实际含义，就能对应推出负数代表的意义，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确正负数的核心作用是表示一对意义相反的量，解题分为两步：第一步先确定题目中规定的正数对应的实际意义，本题明确说明收入100元记作+100元，即正数对应“收入”；第二步，与收入相反的概念是支出，因此负数就对应支出，再结合数值10，即可推出-10元的含义。
【解析】
解：根据正负数表示相反意义的量的规则，本题规定收入记为正，则支出就记为负。因此-10元表示支出10元，故选D。
【答案】D
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题结合古代数学典籍背景考查正负数的实际应用，解题关键是先明确正数对应的实际含义，就能对应推出负数代表的意义，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
2. 某处理器采用7 nm制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为(
A.$1.2× 10^{9}$
B.$12× 10^{9}$
C.$1.2× 10^{10}$
D.$1.2× 10^{11}$
C
)。A.$1.2× 10^{9}$
B.$12× 10^{9}$
C.$1.2× 10^{10}$
D.$1.2× 10^{11}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先明确科学记数法的表达规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数（针对大于1的数）。第一步先将“120亿”转化为具体的阿拉伯数字，再按照规则确定$a$和$n$的值即可。也可以结合规则先排除明显错误的选项，比如选项B的$a=12$不符合$1≤ a＜10$的要求，可直接排除，再通过数小数点移动位数判断剩余选项。
【解析】
解：先将120亿改写为原数：
$120亿=12000000000$
根据科学记数法的定义，$a$需满足$1≤ a＜10$，将原数的小数点向左移动10位得到$a=1.2$，因此$n=10$。
可得$120亿=1.2×10^{10}$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；大数的改写
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，核心是准确确定$a$和$n$的取值，属于常考基础题型，解题时要注意数清大数的位数，避免因计数错误选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确科学记数法的表达规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数（针对大于1的数）。第一步先将“120亿”转化为具体的阿拉伯数字，再按照规则确定$a$和$n$的值即可。也可以结合规则先排除明显错误的选项，比如选项B的$a=12$不符合$1≤ a＜10$的要求，可直接排除，再通过数小数点移动位数判断剩余选项。
【解析】
解：先将120亿改写为原数：
$120亿=12000000000$
根据科学记数法的定义，$a$需满足$1≤ a＜10$，将原数的小数点向左移动10位得到$a=1.2$，因此$n=10$。
可得$120亿=1.2×10^{10}$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；大数的改写
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，核心是准确确定$a$和$n$的取值，属于常考基础题型，解题时要注意数清大数的位数，避免因计数错误选错答案。
【难度系数】
0.8
3. 若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值为2，则$a - m + cd + b$的值为
-1或3
。答案
3.-1或3
解析
【分析】
解题时首先回忆相关代数概念的性质：①互为相反数的两个数之和为0；②互为倒数的两个数的乘积为1；③绝对值为正数的数有两个，且互为相反数。先将所求代数式整理为含a+b、cd、m的形式，再代入已知条件的数值，注意分m的两种取值情况计算，避免漏解。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0；
∵c、d互为倒数，
∴cd = 1；
∵m的绝对值为2，
∴|m|=2，即m = 2或m = -2。
对所求代数式变形：
a - m + cd + b = (a + b) + cd - m
将a + b = 0，cd = 1代入上式，得原式 = 0 + 1 - m = 1 - m。
分两种情况计算：
①当m = 2时，原式 = 1 - 2 = -1；
②当m = -2时，原式 = 1 - (-2) = 3。
综上，代数式的值为-1或3。
【答案】
-1或3
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念综合应用题，核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，解题时注意绝对值的取值有两种，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相关代数概念的性质：①互为相反数的两个数之和为0；②互为倒数的两个数的乘积为1；③绝对值为正数的数有两个，且互为相反数。先将所求代数式整理为含a+b、cd、m的形式，再代入已知条件的数值，注意分m的两种取值情况计算，避免漏解。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0；
∵c、d互为倒数，
∴cd = 1；
∵m的绝对值为2，
∴|m|=2，即m = 2或m = -2。
对所求代数式变形：
a - m + cd + b = (a + b) + cd - m
将a + b = 0，cd = 1代入上式，得原式 = 0 + 1 - m = 1 - m。
分两种情况计算：
①当m = 2时，原式 = 1 - 2 = -1；
②当m = -2时，原式 = 1 - (-2) = 3。
综上，代数式的值为-1或3。
【答案】
-1或3
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念综合应用题，核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，解题时注意绝对值的取值有两种，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响。海拔每升高100米，气温约下降0.6 ℃。有一座海拔为2 750米的山，在这座山上海拔为250米的地方测得气温是8 ℃，则此时山顶的气温约为
-7
℃。答案
4.-7
解析
【分析】
解题时首先要明确温度变化和海拔高度差的对应关系：海拔每升高100米，气温下降0.6℃。第一步先计算山顶与测得气温的地点的海拔差，第二步根据海拔差计算气温下降的总度数，第三步用测得的气温减去下降的总度数，即可得到山顶的气温，计算时注意有理数减法的符号规则。
【解析】
首先计算山顶和测温点的相对海拔高度：
$2750 - 250 = 2500$（米）
再计算海拔升高2500米对应的气温下降值：
$2500 ÷ 100 × 0.6 = 15$（℃）
最后计算山顶的气温：
$8 - 15 = -7$（℃）
【答案】
-7
【知识点】
有理数混合运算、实际问题列式计算
【点评】
本题结合生活常识命题，考查运用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是理清海拔差与气温变化的数量关系，计算时注意负数运算的符号处理，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确温度变化和海拔高度差的对应关系：海拔每升高100米，气温下降0.6℃。第一步先计算山顶与测得气温的地点的海拔差，第二步根据海拔差计算气温下降的总度数，第三步用测得的气温减去下降的总度数，即可得到山顶的气温，计算时注意有理数减法的符号规则。
【解析】
首先计算山顶和测温点的相对海拔高度：
$2750 - 250 = 2500$（米）
再计算海拔升高2500米对应的气温下降值：
$2500 ÷ 100 × 0.6 = 15$（℃）
最后计算山顶的气温：
$8 - 15 = -7$（℃）
【答案】
-7
【知识点】
有理数混合运算、实际问题列式计算
【点评】
本题结合生活常识命题，考查运用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是理清海拔差与气温变化的数量关系，计算时注意负数运算的符号处理，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
5. 干支纪年法是中国历法上自东汉以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称。干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表农历××年，60年为一个循环。我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号。天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数。以2024年为例：天干为$(2024-3)÷10=202······1$，地支为$(2024-3)÷12=168······5$，对照天干地支表(如表2-1)得出，2024年为农历甲辰年。
表2-1
请你依据上述规律推断2037年是农历
表2-1
请你依据上述规律推断2037年是农历
丁巳年
年。答案
5.丁巳年
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出的干支计算规则：第一步先算出年份减3的差，第二步用这个差除以10得到的余数对应天干序号找出天干，第三步用这个差除以12得到的余数对应地支序号找出地支，最后将天干和地支组合即为结果，按此步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 先计算年份减3的结果：$2037 - 3 = 2034$
2. 计算对应天干：$2034÷10 = 203······4$，余数为4，对照表格，序号4对应的天干是丁。
3. 计算对应地支：$2034÷12 = 169······6$，余数为6，对照表格，序号6对应的地支是巳。
4. 组合天干和地支，即可得到2037年的农历年份。
【答案】
丁巳年
【知识点】
带余除法应用，规律探究
【点评】
本题结合中国传统干支纪年文化考查有余数除法的实际应用，解题的核心是读懂规则、按步骤计算余数后对应查找，不需要复杂的运算，只要细心即可做对。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干给出的干支计算规则：第一步先算出年份减3的差，第二步用这个差除以10得到的余数对应天干序号找出天干，第三步用这个差除以12得到的余数对应地支序号找出地支，最后将天干和地支组合即为结果，按此步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 先计算年份减3的结果：$2037 - 3 = 2034$
2. 计算对应天干：$2034÷10 = 203······4$，余数为4，对照表格，序号4对应的天干是丁。
3. 计算对应地支：$2034÷12 = 169······6$，余数为6，对照表格，序号6对应的地支是巳。
4. 组合天干和地支，即可得到2037年的农历年份。
【答案】
丁巳年
【知识点】
带余除法应用，规律探究
【点评】
本题结合中国传统干支纪年文化考查有余数除法的实际应用，解题的核心是读懂规则、按步骤计算余数后对应查找，不需要复杂的运算，只要细心即可做对。
【难度系数】
0.8
6. 晓华同学热爱数学研究，一天他在课外读物上发现这样的一个数i，晓华还发现i具有如下性质：
$\mathrm{i}^1=\mathrm{i},\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2 × \mathrm{i}=-1 × \mathrm{i}=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=\mathrm{i}^2 × \mathrm{i}^2=-1 × (-1)=1,\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4 × \mathrm{i}=1 × \mathrm{i}=\mathrm{i},$
请你根据发现的规律计算$2\mathrm{i}^{100}+1=$
$\mathrm{i}^1=\mathrm{i},\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2 × \mathrm{i}=-1 × \mathrm{i}=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=\mathrm{i}^2 × \mathrm{i}^2=-1 × (-1)=1,\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4 × \mathrm{i}=1 × \mathrm{i}=\mathrm{i},$
请你根据发现的规律计算$2\mathrm{i}^{100}+1=$
3
。答案
6.3
解析
【分析】
这是一道新定义结合规律探究的题目，解题思路如下：首先观察题目给出的i的各次幂的运算结果，找到其循环周期；再用所求幂次100除以周期，根据余数判断i^100的结果；最后将结果代入式子计算即可得到答案。
【解析】
观察题目给出的i的幂次运算结果：
$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$……
可发现i的幂次结果每4次为一个循环，周期为4，循环节为$i、-1、-i、1$。
计算100除以周期4：$100÷4=25$，无余数，说明$i^{100}$对应循环节的最后一个结果，即$i^{100}=i^4=1$。
将$i^{100}=1$代入式子计算：
$2i^{100} + 1 = 2×1 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、周期性规律探究、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类的基础规律题，核心是读懂题目给出的运算规则，通过观察归纳出i的幂次的循环规律，再结合简单运算就能得到结果，主要考察学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义结合规律探究的题目，解题思路如下：首先观察题目给出的i的各次幂的运算结果，找到其循环周期；再用所求幂次100除以周期，根据余数判断i^100的结果；最后将结果代入式子计算即可得到答案。
【解析】
观察题目给出的i的幂次运算结果：
$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$……
可发现i的幂次结果每4次为一个循环，周期为4，循环节为$i、-1、-i、1$。
计算100除以周期4：$100÷4=25$，无余数，说明$i^{100}$对应循环节的最后一个结果，即$i^{100}=i^4=1$。
将$i^{100}=1$代入式子计算：
$2i^{100} + 1 = 2×1 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、周期性规律探究、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类的基础规律题，核心是读懂题目给出的运算规则，通过观察归纳出i的幂次的循环规律，再结合简单运算就能得到结果，主要考察学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7. 计算:
(1) $-5.2 - (-4) + (-3.8)$;
(2) $-\dfrac{3}{4} × (-2^2 + 1\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3})$;
(3) $\left| 32 ÷ (-2)^3 \right| - (-4^2) × 5 + (-8)$;
(4) $-(-1)^2 + (6 - \dfrac{5}{4}) × \dfrac{4}{3} + 4 ÷ (-\dfrac{2}{3})$。
(1) $-5.2 - (-4) + (-3.8)$;
(2) $-\dfrac{3}{4} × (-2^2 + 1\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3})$;
(3) $\left| 32 ÷ (-2)^3 \right| - (-4^2) × 5 + (-8)$;
(4) $-(-1)^2 + (6 - \dfrac{5}{4}) × \dfrac{4}{3} + 4 ÷ (-\dfrac{2}{3})$。
答案
7. 解:(1)原式=-5.2+4-3.8=-1.2-3.8=-5；
(2)原式$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4)+(-\dfrac{3}{4})×\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{5}{2}$；
(3)原式$=|32÷(-8)|-(-16)×5-8=4+80-8=76$；
(4)原式$=-1+6×\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{3}+4×(-\dfrac{3}{2})=-1+8-\dfrac{5}{3}-6=-\dfrac{2}{3}$。
(2)原式$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4)+(-\dfrac{3}{4})×\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{5}{2}$；
(3)原式$=|32÷(-8)|-(-16)×5-8=4+80-8=76$；
(4)原式$=-1+6×\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{3}+4×(-\dfrac{3}{2})=-1+8-\dfrac{5}{3}-6=-\dfrac{2}{3}$。
解析
【分析】
这4道题均属于有理数混合运算类题目，解题需遵循有理数运算规则：①先算乘方、再算乘除、最后算加减；②有括号先算括号内的运算，有绝对值先计算绝对值内的结果；③去括号时注意符号变化，能使用乘法分配律的场景优先用分配律简化计算，避免复杂通分。
(1)是有理数加减混合运算，先根据去括号法则化简原式，再将负数结合凑整简化计算；
(2)先计算括号内的乘方，再合并括号内的同分母分数，最后用乘法分配律展开计算，降低运算量；
(3)先计算两处乘方，再依次计算除法、绝对值、乘法，最后做加减运算，注意符号处理；
(4)先计算乘方，再将除法转化为乘法，对中间的括号乘法使用分配律展开，最后合并计算结果。
【解析】
(1) 原式$=-5.2+4-3.8$
$=(-5.2-3.8)+4$
$=-9+4$
$=-5$
(2) 原式$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4) + (-\dfrac{3}{4})×\dfrac{2}{3}$
$=3 - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5}{2}$
(3) 原式$=|32÷(-8)| - (-16)×5 - 8$
$=|-4| + 80 -8$
$=4 + 80 -8$
$=76$
(4) 原式$=-1 + 6×\dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{3} + 4×(-\dfrac{3}{2})$
$=-1 + 8 - \dfrac{5}{3} -6$
$=1 - \dfrac{5}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$；(3) $\boldsymbol{76}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，熟练运用运算律可大幅提升计算效率和准确率，计算时需注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这4道题均属于有理数混合运算类题目，解题需遵循有理数运算规则：①先算乘方、再算乘除、最后算加减；②有括号先算括号内的运算，有绝对值先计算绝对值内的结果；③去括号时注意符号变化，能使用乘法分配律的场景优先用分配律简化计算，避免复杂通分。
(1)是有理数加减混合运算，先根据去括号法则化简原式，再将负数结合凑整简化计算；
(2)先计算括号内的乘方，再合并括号内的同分母分数，最后用乘法分配律展开计算，降低运算量；
(3)先计算两处乘方，再依次计算除法、绝对值、乘法，最后做加减运算，注意符号处理；
(4)先计算乘方，再将除法转化为乘法，对中间的括号乘法使用分配律展开，最后合并计算结果。
【解析】
(1) 原式$=-5.2+4-3.8$
$=(-5.2-3.8)+4$
$=-9+4$
$=-5$
(2) 原式$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4+\dfrac{2}{3})$
$=-\dfrac{3}{4} × (-4) + (-\dfrac{3}{4})×\dfrac{2}{3}$
$=3 - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5}{2}$
(3) 原式$=|32÷(-8)| - (-16)×5 - 8$
$=|-4| + 80 -8$
$=4 + 80 -8$
$=76$
(4) 原式$=-1 + 6×\dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{3} + 4×(-\dfrac{3}{2})$
$=-1 + 8 - \dfrac{5}{3} -6$
$=1 - \dfrac{5}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$；(3) $\boldsymbol{76}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，熟练运用运算律可大幅提升计算效率和准确率，计算时需注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
