1. 某电影院共有4个相同的大厅和5个相同的小厅，其中1个大厅和2个小厅共可容纳1600人观影；2个大厅和1个小厅，共可容纳2000人观影。设1个小厅可容纳x人观影，由题意得下列方程正确的是()。

A.$x + 2(1600 - x) = 2000$
B.$x + 2(1600 - 2x) = 2000$
C.$x + 2(2000 - x) = 1600$
D.$x + \frac{1}{2}(2000 - x) = 1600$

1. B

【分析】
解题时先明确已知设元：题目已设1个小厅可容纳x人，我们需要先用含x的式子表示出1个大厅容纳的人数，再代入第二个等量关系列方程。首先根据“1个大厅和2个小厅共可容纳1600人”的条件，可推导出1个大厅的容纳人数为总人数减去2个小厅的容纳人数，再将该表达式代入“2个大厅和1个小厅共可容纳2000人”的条件中，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
设1个小厅可容纳x人。
第一步：根据“1个大厅和2个小厅共可容纳1600人”，2个小厅可容纳2x人，因此1个大厅可容纳的人数为：$(1600-2x)$人。
第二步：根据“2个大厅和1个小厅共可容纳2000人”，2个大厅可容纳$2(1600-2x)$人，加上1个小厅的x人总和为2000，可列方程：
$x + 2(1600 - 2x) = 2000$
该式与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系应用
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题关键是准确提取题目中的两个等量关系，先通过第一个等量关系用已设未知数表示出另一个未知量，再代入第二个等量关系即可列出正确方程，主要考查对题意的理解和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

2. 一份数学试卷只有25道选择题，评分规定：做对一道得4分，不做或做错一道倒扣1分。若某同学得分是65分，则该同学做对题的数量为道。

2. 18

【分析】
这是一道典型的一元一次方程应用类得分问题，解题思路如下：首先明确得分规则：最终得分=做对题目得的总分 - 不做/做错倒扣的总分。我们可以设做对的题数为未知数，用总题数减去做对的题数得到不做/做错的题数，再根据上述等量关系列方程，求解后即可得到做对的题数，注意倒扣1分是指每道不做/做错的题要从总得分里减去1分。
【解析】
解：设该同学做对了$ x $道题，则不做或做错的题数为$ (25-x) $道。
根据得分规则列方程得：
$ 4x - 1×(25 - x) = 65 $
去括号得：$ 4x -25 + x = 65 $
合并同类项得：$ 5x -25 = 65 $
移项计算得：$ 5x = 90 $
解得：$ x = 18 $
检验：做对18道题得分为$ 18×4=72 $分，做错/不做共7道题倒扣$ 7×1=7 $分，最终得分$ 72-7=65 $分，符合题意。
【答案】
18
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题属于得分类常规应用题，易错点是对“倒扣1分”的规则理解有误，容易漏算扣分项或错算扣分数值，只要理清最终得分的构成逻辑，准确找到等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

3. 小明所在城市的“阶梯水价”收费标准是：每户每月用水不超过5吨，每吨水费x元；每户每月用水超过5吨，超过的部分每吨加收2元。小明家今年五月份用水11吨，共缴水费56元，则可列的方程为。

3. $5x+(11-5)(x+2)=56$

【分析】
解题时首先明确阶梯水价的分段计费规则，先判断小明家5月用水量11吨已超过5吨的基础档位，因此水费需分两部分计算：第一部分是不超过5吨的基础用水量的费用，第二部分是超出5吨部分的加价费用，两部分费用之和等于总缴水费56元，按这个等量关系即可列出方程。
【解析】
步骤1：判断用水量档位：11吨＞5吨，因此水费分两段计算。
步骤2：计算基础段（5吨以内）的水费：共5吨，每吨x元，费用为$5x$元。
步骤3：计算超出段的水费：超出5吨的水量为$11-5=6$吨，超出部分每吨加收2元，即单价为$(x+2)$元/吨，因此超出段费用为$(11-5)(x+2)$元。
步骤4：根据总水费=基础段费用+超出段费用，总水费为56元，列方程得：$5x+(11-5)(x+2)=56$。
【答案】
$5x+(11-5)(x+2)=56$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的典型基础题，解题核心是准确理解不同档位的收费标准，分别计算各档位费用后，利用总费用的等量关系列式即可，注意超出部分的单价是在原价基础上加收2元，不要混淆收费标准。
【难度系数】
0.8

4. 在一定弹性限度内，弹簧会随着所挂物体质量的增加均匀伸长，如果要使弹簧长度为30 cm(在弹性限度内)，根据表5-1给出的信息，应挂个相同钩码。
表5-1

4. 10

【分析】
首先观察表格数据：不挂钩码时弹簧原长为10cm，每增加1个钩码，弹簧长度均匀增加2cm。要得到弹簧长度为30cm时的钩码数量，可先计算弹簧需要伸长的总长度，再除以单个钩码带来的伸长量，即可得到钩码总数；也可以先写出弹簧长度和钩码数量的关系式，代入目标长度求解。
【解析】
解：
1. 由表格可知，钩码数量为0时，弹簧的原长为$10\mathrm{cm}$；
2. 每挂1个钩码，弹簧伸长的长度为$12-10=2\mathrm{cm}$，挂2个钩码时弹簧伸长$14-10=4\mathrm{cm}$，验证得每挂1个钩码弹簧伸长2cm的规律成立；
3. 若弹簧长度为$30\mathrm{cm}$，则弹簧总共伸长的长度为$30-10=20\mathrm{cm}$；
4. 需要的钩码数量为$20÷2=10$（个）。
也可列方程求解：设需挂$x$个钩码，根据题意列方程：$10+2x=30$，解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
规律探究；代数式求值；一元一次方程应用
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活实例，考查学生提取表格信息、总结数量变化规律的能力，解题核心是明确弹簧总长度=原长+钩码带来的伸长量的关系，题目贴近生活实际，容易理解。
【难度系数】
0.8

5. 解下列方程：
(1)$5y - 3 = 2y + 6$；
(2)$5x = 3(x - 4)$；
(3)$\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 1}{4} = 2$；
(4)$\frac{x - 3}{0.2} - \frac{x + 1}{0.5} = 1$。

5. 解：(1)移项，得 $5y-2y=6+3$.
合并同类项，得 $3y=9$,
系数化为1，得 $y=3$。
(2)去括号，得 $5x=3x-12$,
移项，得 $5x-3x=-12$,
合并同类项，得 $2x=-12$,
系数化为1，得 $x=-6$。
(3)去分母，得 $4(x+1)-3(x-1)=24$,
去括号，得 $4x+4-3x+3=24$,
移项，得 $4x-3x=24-4-3$,
合并同类项，得 $x=17$。
(4)原方程可化为$\frac{10(x-3)}{2}-\frac{10(x+1)}{5}=1$,
整理，得 $5(x-3)-2(x+1)=1$,
去括号，得 $5x-15-2x-2=1$,
移项、合并同类项，得 $3x=18$,
系数化为1，得 $x=6$。

【分析】
这是四道不同类型的一元一次方程求解题目，可按照一元一次方程的常规解题步骤逐步求解：①若方程分母是小数，先利用分数的基本性质将分母化为整数；②有分母的先去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③有括号的先去括号，去括号时注意符号，不要漏乘括号内的每一项；④移项，移项要记得变号；⑤合并同类项；⑥系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1)移项，得 $5y-2y=6+3$.
合并同类项，得 $3y=9$,
系数化为1，得 $y=3$。
(2)去括号，得 $5x=3x-12$,
移项，得 $5x-3x=-12$,
合并同类项，得 $2x=-12$,
系数化为1，得 $x=-6$。
(3)去分母，得 $4(x+1)-3(x-1)=24$,
去括号，得 $4x+4-3x+3=24$,
移项，得 $4x-3x=24-4-3$,
合并同类项，得 $x=17$。
(4)原方程可化为$\frac{10(x-3)}{2}-\frac{10(x+1)}{5}=1$,
整理，得 $5(x-3)-2(x+1)=1$,
去括号，得 $5x-15-2x-2=1$,
移项、合并同类项，得 $3x=18$,
系数化为1，得 $x=6$。
【答案】
(1)$y=3$；(2)$x=-6$；(3)$x=17$；(4)$x=6$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 等式的基本性质 3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题，覆盖了含括号、含分母、分母为小数等多种常见一元一次方程形式，解题时要注意规避移项不变号、去括号/去分母时漏乘项等常见错误，熟练掌握解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8

6. 某校组织“红色研学”活动，租用大巴车前往。如果每辆车坐40人，则有15人上不了车；如果每辆车坐45人，则刚好空出一辆车，其他车均坐满。学校一共有多少名学生参加“红色研学”活动？出发前，有5名学生临时请假，现在每辆车坐44人，需要多少辆车？
7. 某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：【提出驱动性问题】销售问题。【设计实践任务】如表5-2，选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动。请你尝试帮助他们解决相关问题。
表5-2

8. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流。

6. 解：设租用 $x$ 辆大巴车。
由题意知 $40x+15=45(x-1)$,
解得 $x=12$,
学校一共有 $40×12+15=495$(名)学生参加“红色研学”活动。
出发前，有5名学生临时请假，此时剩余 $495-5=490$(名)学生参加“红色研学”活动。
$490÷44=11$(辆)$······6$(人),
$11+1=12$(辆)。
所以现在需要12辆车。
7. 解：任务1 设购进 A 品牌足球 $x$ 个，则购进 B 品牌足球$(200-x)$个，
根据题意得 $80(200-x)-50x=5\ 600$,
解得 $x=80$,
所以 $200-x=200-80=120$,
所以购进 A 品牌足球 80 个、B 品牌足球 120 个。
任务2 设有 $y$ 个 B 品牌足球打折出售，则有$(120-y)$个B品牌足球原价出售，
根据题意得 $(80-50)×80 + 80×25\%×(120-y)+[80×(1+25\%)×90\%-80]y=4\ 500$,
解得 $y=30$,
所以有 30 个 B 品牌足球打折出售。
8. 略。

【分析】
第6题是典型的一元一次方程应用类盈亏问题，解题核心是抓住学生总人数不变的等量关系：①先设租用大巴车的数量为x辆，根据两种乘车方案总人数相等列方程，解出车辆数后即可算出总人数；②有学生请假后，用剩余总人数除以每辆车可坐人数，若有余数需额外加1辆车，保证所有学生都能乘车。
第7题是销售类一元一次方程应用：任务1的等量关系为“购买B品牌足球的总费用-购买A品牌足球的总费用=5600元”，设A品牌足球数量为x，B品牌数量即为(200-x)，代入等量关系列方程求解即可；任务2的等量关系为“A品牌足球总利润+B品牌原价销售利润+B品牌打折销售利润=总获利4500元”，分别计算不同销售方式的利润，设打折的B品牌足球数量为y，列方程求解即可。
【解析】
第6题解答：
设租用$x$辆大巴车，根据总人数相等列方程：
$\begin{aligned}40x+15&=45(x-1)\\40x+15&=45x-45\\5x&=60\\x&=12\end{aligned}$
总学生人数：$40×12+15=495$（名）
5名学生请假后剩余人数：$495-5=490$（名）
计算需要的车辆数：$490÷44=11$（辆）$······6$（人），剩余6人也需要1辆车，故共需要$11+1=12$（辆）。
第7题解答：
任务1：
设购进A品牌足球$x$个，则购进B品牌足球$(200-x)$个，根据费用差列方程：
$\begin{aligned}80(200-x)-50x&=5600\\16000-130x&=5600\\130x&=10400\\x&=80\end{aligned}$
B品牌足球数量：$200-80=120$（个）
任务2：
设有$y$个B品牌足球打折出售，则原价出售的B品牌足球有$(120-y)$个。
根据总获利列方程：
$\begin{aligned}(80-50)×80 + 80×25\%×(120-y)+[80×(1+25\%)×90\%-80]y&=4500\\2400+2400-20y+10y&=4500\\4800-10y&=4500\\y&=30\end{aligned}$
【答案】
6. 学校一共有495名学生参加“红色研学”活动，临时请假后需要12辆车；
7. 任务1：购进A品牌足球80个、B品牌足球120个；任务2：有30个B品牌足球打折出售；
8. 略。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 销售利润计算
3. 有余数除法的实际应用
【点评】
两道题目均结合生活实际场景设计，核心考查一元一次方程的应用能力，解题关键是准确梳理题目中的等量关系列方程求解，涉及有余数的实际问题时需要结合生活常识判断是否需要“进一”，能够有效锻炼学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7