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二、拓展性作业
4. 在某学校的田径场上，小深和小圳在400米的环形跑道上跑步晨练，已知小深的速度保持3米/秒，小圳的速度保持2米/秒，据此回答下列问题：
(1)若小深和小圳同时从起跑线同向出发，则要经过多长时间，两人才能第一次相遇？
(2)若小深和小圳同时从起跑线反向出发，则经过6分40秒后，两人第几次相遇？
（注：小深与小圳在起点处不属于相遇）
4. 在某学校的田径场上，小深和小圳在400米的环形跑道上跑步晨练，已知小深的速度保持3米/秒，小圳的速度保持2米/秒，据此回答下列问题：
(1)若小深和小圳同时从起跑线同向出发，则要经过多长时间，两人才能第一次相遇？
(2)若小深和小圳同时从起跑线反向出发，则经过6分40秒后，两人第几次相遇？
（注：小深与小圳在起点处不属于相遇）
答案
4. 解:(1)设小深和小圳同时从起跑线同向出发,要经过 x秒,两人才能第一次相遇,根据题意,得
3x=2x+400,解得 x=400,
所以小深和小圳同时从起跑线同向出发,要经过 400 秒,两人才能第一次相遇。
(2)6 分 40 秒=400 秒。设小深和小圳同时从起跑线反向出发,经过 6 分 40 秒后,两人第 y 次相遇,根据题意,得
400y=(3+2)×400,解得 y=5,
所以小深和小圳同时从起跑线反向出发,经过 6 分 40 秒后,两人第 5 次相遇。
3x=2x+400,解得 x=400,
所以小深和小圳同时从起跑线同向出发,要经过 400 秒,两人才能第一次相遇。
(2)6 分 40 秒=400 秒。设小深和小圳同时从起跑线反向出发,经过 6 分 40 秒后,两人第 y 次相遇,根据题意,得
400y=(3+2)×400,解得 y=5,
所以小深和小圳同时从起跑线反向出发,经过 6 分 40 秒后,两人第 5 次相遇。
解析
【分析】
(1) 两人同向从起跑线出发时，小深速度比小圳快，第一次相遇的本质是小深比小圳多跑1圈（400米）。我们可以设相遇时间为x秒，根据“路程=速度×时间”分别表示两人的跑步路程，利用路程差的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 两人反向从起跑线出发时，每相遇1次，两人跑的总路程和恰好为1圈（400米）。首先将时间6分40秒换算为以秒为单位的量，再设相遇次数为y次，根据“总路程和=相遇次数×单圈长度”的等量关系列方程求解即可，题干提到的起点处不属于相遇是指出发时的初始状态不算相遇，不影响最终计算结果。
【解析】
(1) 设小深和小圳同时从起跑线同向出发，要经过x秒两人才能第一次相遇。
根据题意可得方程：
$3x = 2x + 400$
解得：$x = 400$
(2) 先换算时间单位：$6分40秒 = 6×60 + 40 = 400秒$。
设两人反向出发经过400秒后第y次相遇，根据题意可得方程：
$(3+2)×400 = 400y$
解得：$y = 5$
【答案】
(1) 经过400秒两人第一次相遇；
(2) 经过6分40秒后两人第5次相遇。
【知识点】
一元一次方程应用，环形跑道行程问题，行程公式应用
【点评】
本题是环形跑道行程问题的经典题型，分别考察同向追及、反向相遇两类核心考法，解题关键是准确梳理不同场景下的路程等量关系，同时要注意时间单位统一，认真审题避免忽略题干特殊说明失分。
【难度系数】
0.7
(1) 两人同向从起跑线出发时，小深速度比小圳快，第一次相遇的本质是小深比小圳多跑1圈（400米）。我们可以设相遇时间为x秒，根据“路程=速度×时间”分别表示两人的跑步路程，利用路程差的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 两人反向从起跑线出发时，每相遇1次，两人跑的总路程和恰好为1圈（400米）。首先将时间6分40秒换算为以秒为单位的量，再设相遇次数为y次，根据“总路程和=相遇次数×单圈长度”的等量关系列方程求解即可，题干提到的起点处不属于相遇是指出发时的初始状态不算相遇，不影响最终计算结果。
【解析】
(1) 设小深和小圳同时从起跑线同向出发，要经过x秒两人才能第一次相遇。
根据题意可得方程：
$3x = 2x + 400$
解得：$x = 400$
(2) 先换算时间单位：$6分40秒 = 6×60 + 40 = 400秒$。
设两人反向出发经过400秒后第y次相遇，根据题意可得方程：
$(3+2)×400 = 400y$
解得：$y = 5$
【答案】
(1) 经过400秒两人第一次相遇；
(2) 经过6分40秒后两人第5次相遇。
【知识点】
一元一次方程应用，环形跑道行程问题，行程公式应用
【点评】
本题是环形跑道行程问题的经典题型，分别考察同向追及、反向相遇两类核心考法，解题关键是准确梳理不同场景下的路程等量关系，同时要注意时间单位统一，认真审题避免忽略题干特殊说明失分。
【难度系数】
0.7
5. 春节前夕，某水果批发商预测某种水果能够在当地市场上畅销，于是购进了第一批这种水果80千克。由于销售情况非常好，该批发商决定再购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价比第一批多了1元。已知第二批的进货总金额比第一批多了800元。
(1)该批发商购进第一批这种水果时每千克多少元？
(2)由于储存不当，第二批购进的水果中有5%腐坏，不能售卖。该批发商将两批水果按同一价格全部销售完毕后，获得了1 400元的利润。求每千克这种水果的售价是多少元。
(1)该批发商购进第一批这种水果时每千克多少元？
(2)由于储存不当，第二批购进的水果中有5%腐坏，不能售卖。该批发商将两批水果按同一价格全部销售完毕后，获得了1 400元的利润。求每千克这种水果的售价是多少元。
答案
5. 解:(1)设该批发商购进第一批这种水果时每千克 x 元,根据题意,得
2×80(x+1)-80x=800,解得 x=8,
所以该批发商购进第一批这种水果时每千克 8 元。
(2)设每千克这种水果的售价是 y 元,根据题意,得
80y+2×80×(1-5%)y-[8×80+2×80×(8+1)]=1400,解得 y=15,
所以每千克这种水果的售价是 15 元。
2×80(x+1)-80x=800,解得 x=8,
所以该批发商购进第一批这种水果时每千克 8 元。
(2)设每千克这种水果的售价是 y 元,根据题意,得
80y+2×80×(1-5%)y-[8×80+2×80×(8+1)]=1400,解得 y=15,
所以每千克这种水果的售价是 15 元。
解析
【分析】
（1）求解第一批水果的进价，可通过设未知数列一元一次方程解决。首先明确等量关系：第二批进货总金额减去第一批进货总金额等于800元。已知第一批进货量为80千克，第二批进货量是第一批的2倍，第二批单价比第一批多1元，将这些条件代入等量关系即可列出方程求解。
（2）求解水果的售价，同样设未知数列方程，等量关系为：两批水果的总销售额减去两批水果的总成本等于总利润1400元。注意第二批水果有5%腐坏不可售卖，计算可售数量时要乘以(1-5%)，再结合第一问求出的进价计算总成本，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设该批发商购进第一批这种水果时每千克$x$元，根据题意得：
$2×80(x+1)-80x=800$
展开得：$160x+160-80x=800$
合并同类项得：$80x=640$
解得：$x=8$
(2) 设每千克这种水果的售价是$y$元，根据题意得：
$80y+2×80×(1-5\%)y-[8×80+2×80×(8+1)]=1400$
计算可售量和成本得：$80y+152y-2080=1400$
合并同类项得：$232y=3480$
解得：$y=15$
【答案】
(1) 8元；(2) 15元
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，解题的关键是理清进价、数量、售价、利润之间的对应关系，找准等量关系列方程，解题时需要注意第二批水果存在腐坏不可售卖的特殊条件，避免计算可售总量时出错。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一批水果的进价，可通过设未知数列一元一次方程解决。首先明确等量关系：第二批进货总金额减去第一批进货总金额等于800元。已知第一批进货量为80千克，第二批进货量是第一批的2倍，第二批单价比第一批多1元，将这些条件代入等量关系即可列出方程求解。
（2）求解水果的售价，同样设未知数列方程，等量关系为：两批水果的总销售额减去两批水果的总成本等于总利润1400元。注意第二批水果有5%腐坏不可售卖，计算可售数量时要乘以(1-5%)，再结合第一问求出的进价计算总成本，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设该批发商购进第一批这种水果时每千克$x$元，根据题意得：
$2×80(x+1)-80x=800$
展开得：$160x+160-80x=800$
合并同类项得：$80x=640$
解得：$x=8$
(2) 设每千克这种水果的售价是$y$元，根据题意得：
$80y+2×80×(1-5\%)y-[8×80+2×80×(8+1)]=1400$
计算可售量和成本得：$80y+152y-2080=1400$
合并同类项得：$232y=3480$
解得：$y=15$
【答案】
(1) 8元；(2) 15元
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，解题的关键是理清进价、数量、售价、利润之间的对应关系，找准等量关系列方程，解题时需要注意第二批水果存在腐坏不可售卖的特殊条件，避免计算可售总量时出错。
【难度系数】
0.7
