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一、基础性作业
1. 如图5-3-6，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距a m，B小区和C小区相距200 m，C小区和D小区相距a m。某公司的员工在A小区有28人，B小区有7人，C小区有20人，D小区有4人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在哪个小区？
图5-3-6
1. 如图5-3-6，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距a m，B小区和C小区相距200 m，C小区和D小区相距a m。某公司的员工在A小区有28人，B小区有7人，C小区有20人，D小区有4人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在哪个小区？
图5-3-6
答案
1. 解:若停靠点设在 A 小区,则所有员工步行路程总和是
7a+20(a+200)+4(200+2a)=35a+4 800(m)。
若停靠点设在 B 小区,则所有员工步行路程总和是 28a+200×20+4(200+a)=32a+4 800(m)。
若停靠点设在 C 小区,则所有员工步行路程总和是28(200+a)+7×200+4a=32a+7 000(m)。
若停靠点设在 D 小区,则所有员工步行路程总和是28(200+2a)+7×(200+a)+20a=83a+7 000(m)。
所以停靠点的位置应设在 B 小区。
7a+20(a+200)+4(200+2a)=35a+4 800(m)。
若停靠点设在 B 小区,则所有员工步行路程总和是 28a+200×20+4(200+a)=32a+4 800(m)。
若停靠点设在 C 小区,则所有员工步行路程总和是28(200+a)+7×200+4a=32a+7 000(m)。
若停靠点设在 D 小区,则所有员工步行路程总和是28(200+2a)+7×(200+a)+20a=83a+7 000(m)。
所以停靠点的位置应设在 B 小区。
解析
【分析】
要确定总步行路程最小的停靠点，我们采用分类讨论的思路：分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时的总路程，再比较四个总路程的大小即可。计算总路程时，先明确各小区到停靠点的距离，再用对应小区的人数乘以距离，求和得到总路程，最后结合a是正数的性质比较代数式的大小，选出最小总路程对应的小区。
【解析】
解：分别计算停靠点设在各小区时所有员工的步行总路程：
1. 若停靠点设在A小区：
B到A的距离为a m，C到A的距离为(a+200)m，D到A的距离为(2a+200)m
总路程$=7a+20(a+200)+4(2a+200)=35a+4800(\mathrm{m})$
2. 若停靠点设在B小区：
A到B的距离为a m，C到B的距离为200 m，D到B的距离为(a+200)m
总路程$=28a+20×200+4(a+200)=32a+4800(\mathrm{m})$
3. 若停靠点设在C小区：
A到C的距离为(a+200)m，B到C的距离为200 m，D到C的距离为a m
总路程$=28(a+200)+7×200+4a=32a+7000(\mathrm{m})$
4. 若停靠点设在D小区：
A到D的距离为(2a+200)m，B到D的距离为(a+200)m，C到D的距离为a m
总路程$=28(2a+200)+7(a+200)+20a=83a+7000(\mathrm{m})$
因为$a＞0$，所以$32a+4800＜35a+4800＜32a+7000＜83a+7000$，即停靠点设在B小区时总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
列代数式；代数式大小比较；最优方案选择
【点评】
本题是典型的方案优化类问题，解题的关键是分类讨论不同停靠点对应的总路程，准确表示各点之间的距离并列代数式，通过比较代数式大小得到最优解，考察了基础的代数运算和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
要确定总步行路程最小的停靠点，我们采用分类讨论的思路：分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时的总路程，再比较四个总路程的大小即可。计算总路程时，先明确各小区到停靠点的距离，再用对应小区的人数乘以距离，求和得到总路程，最后结合a是正数的性质比较代数式的大小，选出最小总路程对应的小区。
【解析】
解：分别计算停靠点设在各小区时所有员工的步行总路程：
1. 若停靠点设在A小区：
B到A的距离为a m，C到A的距离为(a+200)m，D到A的距离为(2a+200)m
总路程$=7a+20(a+200)+4(2a+200)=35a+4800(\mathrm{m})$
2. 若停靠点设在B小区：
A到B的距离为a m，C到B的距离为200 m，D到B的距离为(a+200)m
总路程$=28a+20×200+4(a+200)=32a+4800(\mathrm{m})$
3. 若停靠点设在C小区：
A到C的距离为(a+200)m，B到C的距离为200 m，D到C的距离为a m
总路程$=28(a+200)+7×200+4a=32a+7000(\mathrm{m})$
4. 若停靠点设在D小区：
A到D的距离为(2a+200)m，B到D的距离为(a+200)m，C到D的距离为a m
总路程$=28(2a+200)+7(a+200)+20a=83a+7000(\mathrm{m})$
因为$a＞0$，所以$32a+4800＜35a+4800＜32a+7000＜83a+7000$，即停靠点设在B小区时总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
列代数式；代数式大小比较；最优方案选择
【点评】
本题是典型的方案优化类问题，解题的关键是分类讨论不同停靠点对应的总路程，准确表示各点之间的距离并列代数式，通过比较代数式大小得到最优解，考察了基础的代数运算和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
2. 某公司组织员工进行年度体检，体检项目包括视力检查和血压检查。公司共有60名员工，其中通过视力检查的有48人，通过血压检查的有42人。两项目都通过的有33人。
(1)两项目都没通过的员工有
(2)至少有一个项目没有通过的员工有多少人？
(1)两项目都没通过的员工有
3
人；(2)至少有一个项目没有通过的员工有多少人？
答案
2. 解:(1)3
解析:只通过视力检查的员工有 48-33=15(人),
只通过血压检查的员工有 42-33=9(人),
两项目都没通过的员工有 60-33-15-9=3(人)。
(2)至少有一个项目没有通过的员工有
3+15+9=27(人)(或 60-33=27(人))。
解析:只通过视力检查的员工有 48-33=15(人),
只通过血压检查的员工有 42-33=9(人),
两项目都没通过的员工有 60-33-15-9=3(人)。
(2)至少有一个项目没有通过的员工有
3+15+9=27(人)(或 60-33=27(人))。
解析
【分析】
这是典型的重叠计数问题，解题时先把全体员工分为4类：只通过视力检查、只通过血压检查、两项都通过、两项都没通过，四类人数之和等于总人数。解第一问时，先根据“通过视力检查的人数=只通过视力的人数+两项都通过的人数”，算出只通过视力的人数，同理算出只通过血压的人数，再用总人数减去前三项的人数，就能得到两项都没通过的人数。解第二问时，“至少有一个项目没通过”的人数包含只通过一项的和两项都没通过的，可直接将这三部分相加，也可以用“总人数-两项都通过的人数”快速计算，两种方法可互相验证。
【解析】
(1) 先计算只通过视力检查的员工人数：$48-33=15$（人）
再计算只通过血压检查的员工人数：$42-33=9$（人）
两项都没通过的员工人数 = 总人数 - 只通过视力的人数 - 只通过血压的人数 - 两项都通过的人数，即：
$60-15-9-33=3$（人）
(2) 方法一：至少有一个项目没通过的人数 = 只通过视力的人数 + 只通过血压的人数 + 两项都没通过的人数，即：
$15+9+3=27$（人）
方法二：至少有一个项目没通过的人数 = 总人数 - 两项都通过的人数，即：
$60-33=27$（人）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{27}$人
【知识点】
容斥原理；分类计数；整数加减运算
【点评】
本题是重叠计数的基础题型，解题关键是理清各数量间的包含关系，可借助韦恩图直观梳理各部分人数的对应关系，第二问的两种解法可互相校验结果的准确性。
【难度系数】
0.8
这是典型的重叠计数问题，解题时先把全体员工分为4类：只通过视力检查、只通过血压检查、两项都通过、两项都没通过，四类人数之和等于总人数。解第一问时，先根据“通过视力检查的人数=只通过视力的人数+两项都通过的人数”，算出只通过视力的人数，同理算出只通过血压的人数，再用总人数减去前三项的人数，就能得到两项都没通过的人数。解第二问时，“至少有一个项目没通过”的人数包含只通过一项的和两项都没通过的，可直接将这三部分相加，也可以用“总人数-两项都通过的人数”快速计算，两种方法可互相验证。
【解析】
(1) 先计算只通过视力检查的员工人数：$48-33=15$（人）
再计算只通过血压检查的员工人数：$42-33=9$（人）
两项都没通过的员工人数 = 总人数 - 只通过视力的人数 - 只通过血压的人数 - 两项都通过的人数，即：
$60-15-9-33=3$（人）
(2) 方法一：至少有一个项目没通过的人数 = 只通过视力的人数 + 只通过血压的人数 + 两项都没通过的人数，即：
$15+9+3=27$（人）
方法二：至少有一个项目没通过的人数 = 总人数 - 两项都通过的人数，即：
$60-33=27$（人）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{27}$人
【知识点】
容斥原理；分类计数；整数加减运算
【点评】
本题是重叠计数的基础题型，解题关键是理清各数量间的包含关系，可借助韦恩图直观梳理各部分人数的对应关系，第二问的两种解法可互相校验结果的准确性。
【难度系数】
0.8
3. 在某市中心的一个繁华商业区，新开了一家创业孵化器。为了促进创业孵化器内创业团队之间的交流与合作，创业孵化器的管理者决定举办一次交流会。在这次交流会上，有10个不同的创业团队参加，每个团队的代表都需要与其他团队的代表进行一次面对面的交流，并交换名片，总共交换了多少次名片？
答案
3. 解:从①号团队开始,交换名片次数:9次；
从②号团队开始,交换名片次数:8次；
从③号团队开始,交换名片次数:7次；
从④号团队开始,交换名片次数:6次；
从⑤号团队开始,交换名片次数:5次；
从⑥号团队开始,交换名片次数:4次；
从⑦号团队开始,交换名片次数:3次；
从⑧号团队开始,交换名片次数:2次；
从⑨号团队开始,交换名片次数:1次。
总共交换名片次数:9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)。
从②号团队开始,交换名片次数:8次；
从③号团队开始,交换名片次数:7次；
从④号团队开始,交换名片次数:6次；
从⑤号团队开始,交换名片次数:5次；
从⑥号团队开始,交换名片次数:4次；
从⑦号团队开始,交换名片次数:3次；
从⑧号团队开始,交换名片次数:2次；
从⑨号团队开始,交换名片次数:1次。
总共交换名片次数:9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)。
解析
【分析】
这是生活中常见的单循环计数问题，解题的关键是避免重复计算：每两个团队之间仅需要交换1次名片，不需要重复统计。我们可以按顺序给团队编号后依次计数：第1个团队要和其余9个未交换的团队各换1次，第2个团队已经和第1个换过，只需要和剩下8个未交换的团队换，以此类推，最后把所有次数相加就能得到总交换次数。
【解析】
将10个创业团队依次编号为①~⑩号：
①号团队需要和其余9个团队交换名片，交换次数为9次；
②号团队已和①号交换过，仅需和剩余8个团队交换，交换次数为8次；
③号团队已和①、②号交换过，仅需和剩余7个团队交换，交换次数为7次；
④号团队交换次数为6次；
⑤号团队交换次数为5次；
⑥号团队交换次数为4次；
⑦号团队交换次数为3次；
⑧号团队交换次数为2次；
⑨号团队交换次数为1次；
⑩号团队已和前面所有团队交换过，无需重复计算。
总交换次数：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$（次）
【答案】
45次
【知识点】
单循环计数、有理数加法运算
【点评】
本题结合真实生活场景考查计数能力，核心是理解“不重复计数”的原则，按顺序累加的方法直观易懂，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.8
这是生活中常见的单循环计数问题，解题的关键是避免重复计算：每两个团队之间仅需要交换1次名片，不需要重复统计。我们可以按顺序给团队编号后依次计数：第1个团队要和其余9个未交换的团队各换1次，第2个团队已经和第1个换过，只需要和剩下8个未交换的团队换，以此类推，最后把所有次数相加就能得到总交换次数。
【解析】
将10个创业团队依次编号为①~⑩号：
①号团队需要和其余9个团队交换名片，交换次数为9次；
②号团队已和①号交换过，仅需和剩余8个团队交换，交换次数为8次；
③号团队已和①、②号交换过，仅需和剩余7个团队交换，交换次数为7次；
④号团队交换次数为6次；
⑤号团队交换次数为5次；
⑥号团队交换次数为4次；
⑦号团队交换次数为3次；
⑧号团队交换次数为2次；
⑨号团队交换次数为1次；
⑩号团队已和前面所有团队交换过，无需重复计算。
总交换次数：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$（次）
【答案】
45次
【知识点】
单循环计数、有理数加法运算
【点评】
本题结合真实生活场景考查计数能力，核心是理解“不重复计数”的原则，按顺序累加的方法直观易懂，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.8
