7. 小明在深圳从家乘坐出租车去图书馆（小明家到图书馆的距离为整千米数），收费标准为：起步价10元（含前3 km），超过3 km后，每千米加收2.7元（不足1 km按1 km计算）。到达后，小明看到车费显示37元。司机说：“如果按每千米3元（不足1 km按1 km计算）直接计价（无起步价），车费会比现在低。”请你通过列方程，判断司机的话是否正确。

7. 解:设小明家到图书馆的距离为 $x$ km。
根据实际收费得,
$10+2.7(x-3)=37$,
解得 $x=13$,
按司机说的方式(无起步价,按每千米 3 元直接计价),车费为:$3×13=39$(元), $39-37=2$(元),
所以司机的话不正确,如果按每千米 3 元直接计价(无起步价),车费会比现在高。

【分析】
要判断司机的说法是否正确，首先需要求出小明家到图书馆的实际距离。首先根据已知的实际车费和官方收费标准，找到等量关系：起步价+超出3km部分的费用=总车费，列一元一次方程求出路程；再按照司机提出的计费方式算出对应车费，将两种车费对比大小，即可判断司机的话是否正确。
【解析】
解：设小明家到图书馆的距离为$x$ km。
根据实际收费规则可列方程：
$10+2.7(x-3)=37$
解方程：
$2.7(x-3)=37-10$
$2.7(x-3)=27$
$x-3=10$
$x=13$
按司机提出的无起步价、每千米3元的规则计算车费：
$3×13=39$（元）
因为$39＞37$，可知司机提出的计费方式车费更高。
【答案】
司机的话不正确，如果按每千米3元直接计价（无起步价），车费会比现在高。
【知识点】
一元一次方程应用；分段计费问题；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中出租车计费的真实场景，考查学生梳理等量关系、用方程解决实际问题的能力，解题关键是理清分段计费的规则，先求出准确路程再对比两种方案的费用，题目给出路程为整千米数的条件，降低了计算难度。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
8. 小亮骑自行车从 A 地到 B 地，他骑前一半路程的速度为 16 km/h，骑后一半路程的速度为 12 km/h，求小亮骑完全程的平均速度。小明认为小亮骑完全程的平均速度是$\frac{16+12}{2}=14(\mathrm{km/h})$。请问小明的看法是否正确？请说明理由。

8. 解:小明的看法不正确。
理由如下:设从 A 地到 B 地的路程为 $2s$ km,小亮骑完全程的平均速度为 $x$ km/h,依题意得 $(\frac{s}{16}+\frac{s}{12})x=2s$,解得 $x=\frac{96}{7}$。
故小亮骑完全程的平均速度为 $\frac{96}{7}\ \mathrm{km/h}$。
所以小明的看法不正确。

【分析】
要判断小明的看法是否正确，首先要明确平均速度的定义：平均速度是总路程与总时间的比值，不是两段速度的算术平均值。解题时可以先设总路程为2s km（这样前后半程的路程都为s km，方便计算），再分别求出前半程和后半程的骑行时间，相加得到总时间，根据“平均速度×总时间=总路程”列方程求解，最后对比计算结果和小明的答案即可判断对错。
【解析】
小明的看法不正确，理由如下：
设从A地到B地的总路程为$2s$ km，小亮骑完全程的平均速度为$x$ km/h。
前一半路程的骑行时间为$\frac{s}{16}$ h，后一半路程的骑行时间为$\frac{s}{12}$ h，总骑行时间为$(\frac{s}{16}+\frac{s}{12})$ h。
根据“平均速度×总时间=总路程”，可列方程：
$(\frac{s}{16}+\frac{s}{12})x=2s$
因为路程s不为0，方程两边同时除以s得：
$(\frac{1}{16}+\frac{1}{12})x=2$
通分计算括号内的部分：$\frac{3+4}{48}x=2$，即$\frac{7}{48}x=2$
解得$x=2×\frac{48}{7}=\frac{96}{7}$
$\frac{96}{7}\approx13.7≠14$，因此小明的看法不正确。
【答案】
小明的看法不正确，小亮骑完全程的平均速度为$\frac{96}{7}\ \mathrm{km/h}$。
【知识点】
平均速度的定义；行程问题公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题中的易错题，核心误区是混淆“平均速度”和“速度的平均值”，解题时要牢记平均速度始终等于总路程除以总时间，设参数辅助计算最后消去参数是此类题的常用技巧。
【难度系数】
0.6

9. 某周末，甲、乙两人相约去某绿道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发15 min后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行。已知A，B两入口相距19 km，甲的平均速度是10 km/h，乙的平均速度是12 km/h。设甲骑行的时间为x h。
数学思考：
(1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为km，乙骑行的路程为km。（两空均用含x的代数式表示）
问题解决：
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值。
(3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息5 min后掉头按原速度返回B入口。在乙返回途中，当甲、乙两人相距$\frac{1}{3}$ km时，求x的值。

9. 解:(1)$10x\ \ \ (12x-3)$
(2)$10x+(12x-3)=19$,解得 $x=1$,所以当甲、乙两人相遇时,$x$ 的值为 1。
(3)两人从相遇点都以各自的原速度向 B 入口骑行,甲与相遇点的距离为 $10(x-1)=10x-10(\mathrm{km})$,
乙与相遇点的距离为 $12(x-1-\frac{5}{60})=12x-13(\mathrm{km})$,
所以当乙追上甲前,且甲、乙两人相距 $\frac{1}{3}\ \mathrm{km}$ 时,有 $10x-10=12x-13+\frac{1}{3}$,解得 $x=\frac{4}{3}$;
当乙追上甲后,且甲、乙两人相距 $\frac{1}{3}\ \mathrm{km}$ 时,有 $10x-10+\frac{1}{3}=12x-13$,解得 $x=\frac{5}{3}$。
综上所述,当甲、乙两人相距 $\frac{1}{3}\ \mathrm{km}$ 时,$x$ 的值为 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$。

【分析】
1. 第(1)问根据“路程=速度×时间”列式：甲骑行时间为x h，直接用速度乘时间得甲的路程；乙晚出发15 min（即0.25 h），先求出乙的骑行时间，再乘速度化简即可。
2. 第(2)问两人相遇时，两人骑行的路程之和等于A、B两入口的总距离19 km，据此列一元一次方程求解即可。
3. 第(3)问先明确相遇时x=1 h，乙休息5 min（即$\frac{1}{12}$ h）后和甲同向往B入口骑行，乙速度更快，存在两种相距$\frac{1}{3}$ km的情况：乙未追上甲时甲比乙多走$\frac{1}{3}$ km、乙超过甲后乙比甲多走$\frac{1}{3}$ km，分别表示出两人距离相遇点的路程，根据等量关系列方程求解即可，注意统一时间单位。
【解析】
(1) 甲的骑行路程：$10× x=10x$（km）；
15 min = $\frac{1}{4}$ h，乙的骑行时间为$(x-\frac{1}{4})$h，路程为$12×(x-\frac{1}{4})=12x-3$（km）。
(2) 两人相遇时路程和为19 km，列方程：
$10x+(12x-3)=19$
合并同类项得：$22x=22$
解得：$x=1$
(3) 相遇时x=1 h，5 min = $\frac{1}{12}$ h，乙掉头后骑行时间为$(x-1-\frac{1}{12})$h：
甲距离相遇点的路程：$10(x-1)=10x-10$（km）
乙距离相遇点的路程：$12×(x-1-\frac{1}{12})=12x-13$（km）
分两种情况：
① 乙追上甲前相距$\frac{1}{3}$ km：
$10x-10=12x-13+\frac{1}{3}$
解得：$x=\frac{4}{3}$
② 乙追上甲后相距$\frac{1}{3}$ km：
$12x-13=10x-10+\frac{1}{3}$
解得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $10x$；$12x-3$
(2) $x=1$
(3) $x=\frac{4}{3}$或$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；行程相遇追及问题
【点评】
本题结合日常骑行场景考查行程问题的核心数量关系，解题时要注意时间单位的统一，第三问需要结合运动过程分类讨论，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维，避免漏解。
【难度系数】
0.6