11.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$,$E$为边$AB$的中点,以$BE$为边作等边三角形$BDE$,连接$AD$,$CD$.
(1)求证$△ ACD$为等边三角形;
(2)若$AC=4$,在边$AC$上找一点$H$,使得$BH+EH$最小,并求出这个最小值.

11.(1)证明略 (2)$BH+EH$的最小值为4

【分析】
(1) 要证△ACD为等边三角形，可先证该三角形有一组邻边相等且有一个内角为60°。首先利用直角三角形的性质得到∠ABC=60°、斜边中线等于斜边的一半，再结合等边△BDE的边角性质证明△DAB≌△CAB，得到AD=AC，进而推出∠DAC=60°即可完成证明。
(2) 本题属于将军饮马类最短路径问题，利用对称转化线段：作点B关于AC的对称点B'，根据对称性质得BH=B'H，因此BH+EH的最小值等于线段B'E的长度，再结合等边三角形的性质计算B'E的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ ABC=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because E$为$AB$的中点，
$\therefore AE=BE=CE=\frac{1}{2}AB$，即$BC=BE$。
$\because △ BDE$是等边三角形，
$\therefore BE=BD$，$∠ DBE=60°$，
$\therefore BD=BC$，$∠ DBA=∠ CBA=60°$。
在$△ DBA$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}BD=BC \\∠ DBA=∠ CBA \\AB=AB\end{cases}$
$\therefore △ DBA ≌ △ CBA \mathrm{(SAS)}$，
$\therefore AD=AC$，$∠ DAB=∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB+∠ BAC=60°$，
又$\because AD=AC$，
$\therefore △ ACD$为等边三角形。
(2) 解：
作点$B$关于$AC$的对称点$B'$，连接$B'E$，与$AC$的交点即为所求的点$H$，此时$BH+EH$取得最小值，最小值等于$B'E$的长度。
由对称性质可知，$AC$垂直平分$BB'$，因此$B'$在$BC$的延长线上，且$CB'=CB$，故$BB'=2BC=AB$。
又$\because ∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABB'$为等边三角形。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore B'E$是等边$△ ABB'$中$AB$边上的高。
已知$AC$是等边$△ ABB'$中$BB'$边上的高，等边三角形各边上的高相等，因此$B'E=AC=4$，即$BH+EH$的最小值为$4$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $BH+EH$的最小值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题结合特殊直角三角形、等边三角形的性质，综合考查了全等三角形的应用和最短路径模型的使用，解题的关键是第一问准确找到全等三角形，第二问正确利用对称转化线段，将两条线段和的最小值转化为单条线段的长度求解。
【难度系数】
0.65

12.如图,四边形ABCD中,AD=2,∠A=∠D=90°,∠B=60°,BC=2CD.
(1)在AD上找到点P,使PB+PC的值最小(保留作图痕迹,不写证明过程);
(2)求PB+PC的最小值.

12.(1)延长$CD$到点$E$使$DE=CD$,连接$BE$交$AD$于点$P$,$PB+PC$的最小值即为$BE$的长;(2)$PB+PC$的最小值为4.

【分析】
(1) 本题属于将军饮马类最短路径问题，核心思路是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧两点之间的线段长度。要在直线AD上找P使PB+PC最小，只需作点C关于AD的对称点：因为AD⊥CD，所以延长CD到E使DE=CD，点E就是C关于AD的对称点，连接BE与AD的交点即为所求P点。
(2) PB+PC的最小值就是BE的长度，先利用直角梯形对边平行的性质，结合已知BC=2CD推出角的关系，再利用直角三角形30°角的性质计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 作图：延长$CD$到点$E$，使$DE=CD$，连接$BE$，$BE$与$AD$的交点即为所求点$P$，此时$PB+PC$的最小值等于$BE$的长（作图需保留延长线、交点痕迹）。
(2) 计算$BE$的长度：
过点$E$作$EG⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$G$。
$\because ∠ A=∠ ADC=90°$，$\therefore CD// AB$，$AD⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$ADEG$是矩形，可得$EG=AD=2$。
$\because DE=CD$，$\therefore CE=2CD$，结合已知$BC=2CD$，得$CE=BC$，$\therefore ∠ CEB=∠ CBE$。
$\because CD// AB$，$\therefore ∠ CEB=∠ EBG$，因此$∠ CBE=∠ EBG$。
$\because ∠ ABC=60°$，$\therefore ∠ EBG=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ EBG$中，$∠ EGB=90°$，30°角$∠ EBG$对的直角边为$EG=2$，根据直角三角形性质，30°角所对直角边是斜边的一半，得$BE=2EG=2×2=4$。
【答案】
(1) 延长$CD$到点$E$使$DE=CD$，连接$BE$交$AD$于点$P$，点$P$即为所求；
(2) $PB+PC$的最小值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
最短路径问题；直角三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题将轴对称性质与直角三角形性质结合考查，掌握将军饮马模型的作图方法是解题的前提，通过角的等量推导得到30°角是计算的关键，属于几何最值的基础题型。
【难度系数】
0.7

13.请仅用无刻度直尺完成以下作图.
(1)如图1,在直线l上画点M,N,使得MN的长与小正方形的边长相等,且AM+BN最小;
(2)如图2,在直线l上画点M,N,使得MN的长与小正方形的边长相等,且AM+MN+BN最小.

解：
(1) ① 将点A沿平行于直线l的方向向右平移1个小正方形边长的长度，得到点A'；
② 作点B关于直线l的对称点B'；
③ 连接A'B'，交直线l于点N；
④ 在直线l上点N的左侧取点M，使MN的长度等于小正方形的边长，点M、N即为所求。
(2) ① 将点A沿平行于直线l的方向向右平移1个小正方形边长的长度，得到点A''；
② 连接A''B，交直线l于点N；
③ 在直线l上点N的左侧取点M，使MN的长度等于小正方形的边长，点M、N即为所求。

【分析】
本题为定长约束下的最短路径作图题，核心是利用平移、轴对称将陌生的路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型求解：
(1) 要求MN长为1个小正方形边长且AM+BN最小，首先将点A沿平行于l的方向向右平移1个边长得到点A'，此时AM=A'N，AM+BN的最小值可转化为A'N+BN的最小值；再作点B关于直线l的对称点B'，根据轴对称性质BN=B'N，当A'、N、B'三点共线时A'N+B'N最小，即AM+BN最小，找到交点N后向左侧取1个边长长度的点M即可。
(2) 要求MN长为1个小正方形边长且AM+MN+BN最小，MN是定长，因此只需保证AM+BN最小即可；将点A沿平行于l的方向向右平移1个边长得到点A''，此时AM=A''N，AM+BN的最小值转化为A''N+BN的最小值，根据两点之间线段最短，当A''、N、B三点共线时A''N+BN最小，找到交点N后向左侧取1个边长长度的点M即可。
【解析】
(1) ① 将点A沿平行于直线l的方向向右平移1个小正方形边长的长度，得到点A'；
② 作点B关于直线l的对称点B'；
③ 连接A'B'，交直线l于点N；
④ 在直线l上点N的左侧取点M，使MN的长度等于小正方形的边长，点M、N即为所求。
(2) ① 将点A沿平行于直线l的方向向右平移1个小正方形边长的长度，得到点A''；
② 连接A''B，交直线l于点N；
③ 在直线l上点N的左侧取点M，使MN的长度等于小正方形的边长，点M、N即为所求。
【答案】
(1)(2)按上述步骤作出的点M、N即为所求。
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的经典变形题型，将定长线段约束与平移、轴对称性质结合考查，解题的关键是通过平移转化路径，把复杂问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，能有效锻炼转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7