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6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=4$，$△ ABC$的面积是16，$AC$的垂直平分线$EF$分别交边$AC$，$AB$于点$E$，$F$，若点$D$为边$BC$的中点，点$M$为线段$EF$上一动点，则$△ CDM$周长的最小值为（
A.6
B.8
C.10
D.12
C
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
6.C
解析
【分析】
本题属于最短路径类题型，解题思路如下：1. 先拆分△CDM的周长，确定固定部分和动态部分：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中D是BC中点，BC=4，因此CD=2为定值，要让周长最小，只需让DM+CM的和最小即可；2. 利用垂直平分线的性质转化线段：EF是AC的垂直平分线，因此线段EF上任意一点M到A、C的距离相等，即MA=MC，可将DM+CM转化为DM+AM；3. 根据“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为线段AD的长度；4. 结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，再通过三角形面积公式求出AD的长度，最终相加得到最小周长。
【解析】
解：连接AD、AM，
∵ 点D是BC的中点，BC=4，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=2$，
△CDM的周长为 $CD+DM+CM=2+DM+CM$，因此只需让$DM+CM$最小，即可得到△CDM的最小周长。
∵ EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $MA=MC$，
∴ $DM+CM=DM+AM$，
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
又
∵ $AB=AC$，D是BC中点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得$AD⊥ BC$，
已知$S_{△ ABC}=16$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入数据得$16=\frac{1}{2}×4× AD$，解得$AD=8$。
∴ $DM+CM$的最小值为8，
因此△CDM周长的最小值为$2+8=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的典型考法，解题核心是利用垂直平分线的性质完成动态线段的等量转化，将不确定的线段和转化为两点之间的定长线段，再结合等腰三角形性质和面积公式求解，掌握线段转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径类题型，解题思路如下：1. 先拆分△CDM的周长，确定固定部分和动态部分：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中D是BC中点，BC=4，因此CD=2为定值，要让周长最小，只需让DM+CM的和最小即可；2. 利用垂直平分线的性质转化线段：EF是AC的垂直平分线，因此线段EF上任意一点M到A、C的距离相等，即MA=MC，可将DM+CM转化为DM+AM；3. 根据“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为线段AD的长度；4. 结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，再通过三角形面积公式求出AD的长度，最终相加得到最小周长。
【解析】
解：连接AD、AM，
∵ 点D是BC的中点，BC=4，
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=2$，
△CDM的周长为 $CD+DM+CM=2+DM+CM$，因此只需让$DM+CM$最小，即可得到△CDM的最小周长。
∵ EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $MA=MC$，
∴ $DM+CM=DM+AM$，
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
又
∵ $AB=AC$，D是BC中点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得$AD⊥ BC$，
已知$S_{△ ABC}=16$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入数据得$16=\frac{1}{2}×4× AD$，解得$AD=8$。
∴ $DM+CM$的最小值为8，
因此△CDM周长的最小值为$2+8=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的典型考法，解题核心是利用垂直平分线的性质完成动态线段的等量转化，将不确定的线段和转化为两点之间的定长线段，再结合等腰三角形性质和面积公式求解，掌握线段转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图,在四边形ABCD中,∠C=70°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (
A.30°
B.40°
C.50°
D.70°
B
)A.30°
B.40°
C.50°
D.70°
答案
7.B
解析
【分析】
要使△AEF的周长最小，需将AE、EF、AF三条线段转化到同一条直线上，可利用最短路径问题的常用构造方法：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，与BC、CD的交点即为周长最小时的E、F，此时周长等于A'A''的长度，符合两点之间线段最短的原理。接下来结合轴对称的性质得到对应角相等，先通过四边形内角和求出∠BAD的度数，再通过角的和差关系即可求出∠EAF的度数。
【解析】
1. 构造最短路径：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，分别交BC、CD于点E、F，此时△AEF的周长最小。
2. 计算∠BAD的度数：四边形内角和为360°，已知∠B=∠D=90°，∠C=70°，因此$∠ BAD=360° - 90° - 90° -70°=110°$。
3. 利用轴对称性质推导角度关系：由对称可知$∠ A'=∠ EAA'$，$∠ A''=∠ FAA''$；在$△ A'A''$中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAD=180°-110°=70°$，因此$∠ EAA'+∠ FAA''=70°$。
4. 计算∠EAF：$∠ EAF=∠ BAD - (∠ EAA'+∠ FAA'')=110°-70°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题综合考查最短路径构造、轴对称性质以及多边形内角和的应用，解题核心是掌握利用对称点将周长最小问题转化为两点之间线段最短问题的方法，再结合角度关系推导求解。
【难度系数】
0.6
要使△AEF的周长最小，需将AE、EF、AF三条线段转化到同一条直线上，可利用最短路径问题的常用构造方法：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，与BC、CD的交点即为周长最小时的E、F，此时周长等于A'A''的长度，符合两点之间线段最短的原理。接下来结合轴对称的性质得到对应角相等，先通过四边形内角和求出∠BAD的度数，再通过角的和差关系即可求出∠EAF的度数。
【解析】
1. 构造最短路径：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，分别交BC、CD于点E、F，此时△AEF的周长最小。
2. 计算∠BAD的度数：四边形内角和为360°，已知∠B=∠D=90°，∠C=70°，因此$∠ BAD=360° - 90° - 90° -70°=110°$。
3. 利用轴对称性质推导角度关系：由对称可知$∠ A'=∠ EAA'$，$∠ A''=∠ FAA''$；在$△ A'A''$中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAD=180°-110°=70°$，因此$∠ EAA'+∠ FAA''=70°$。
4. 计算∠EAF：$∠ EAF=∠ BAD - (∠ EAA'+∠ FAA'')=110°-70°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题综合考查最短路径构造、轴对称性质以及多边形内角和的应用，解题核心是掌握利用对称点将周长最小问题转化为两点之间线段最短问题的方法，再结合角度关系推导求解。
【难度系数】
0.6
8.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别是边BC，AB的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF＋EF的最小值为
6
。答案
8.6
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：第一步先确定对称轴，等边三角形中AD是BC的中线，也是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点是点C；第二步利用轴对称的性质，将BF转化为CF，那么BF+EF就转化为CF+EF；第三步根据两点之间线段最短，当C、F、E三点共线时，CF+EF的和最小，最小值就是线段CE的长度；第四步结合等边三角形的性质，等边三角形的三条中线长度相等，CE是AB边上的中线，AD是BC边上的中线，因此CE=AD，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称，
∴BF=CF，
∴BF+EF=CF+EF，
根据“两点之间线段最短”，当点E、F、C三点共线时，CF+EF取得最小值，最小值为线段CE的长度。
又
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CE是AB边上的中线，
∵等边三角形的三条中线长度相等，AD是BC边上的中线，AD=6，
∴CE=AD=6，
即BF+EF的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题考查最短路径问题的求解，核心是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的定长线段，结合等边三角形中线相等的性质即可快速得出结果，是轴对称性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：第一步先确定对称轴，等边三角形中AD是BC的中线，也是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点是点C；第二步利用轴对称的性质，将BF转化为CF，那么BF+EF就转化为CF+EF；第三步根据两点之间线段最短，当C、F、E三点共线时，CF+EF的和最小，最小值就是线段CE的长度；第四步结合等边三角形的性质，等边三角形的三条中线长度相等，CE是AB边上的中线，AD是BC边上的中线，因此CE=AD，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称，
∴BF=CF，
∴BF+EF=CF+EF，
根据“两点之间线段最短”，当点E、F、C三点共线时，CF+EF取得最小值，最小值为线段CE的长度。
又
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CE是AB边上的中线，
∵等边三角形的三条中线长度相等，AD是BC边上的中线，AD=6，
∴CE=AD=6，
即BF+EF的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题考查最短路径问题的求解，核心是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的定长线段，结合等边三角形中线相等的性质即可快速得出结果，是轴对称性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
9.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是边BC上的中线,F是边AD上的动点,E是边AC上一点.若$AE=2$,当$EF+CF$取得最小值时,则$∠ECF$的度数为
30
°.答案
9.30
解析
【分析】
本题属于最短路径与等边三角形结合的典型题型，思考步骤如下：
1. 首先观察到AD是等边三角形BC边上的中线，根据等边三角形三线合一，AD垂直平分BC，因此点C关于AD的对称点是点B，可得AD上任意点F满足CF=BF，即可将待求的EF+CF转化为EF+BF；
2. 根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的和最小，即此时EF+CF取得最小值；
3. 再由AC=4、AE=2得E是AC中点，BE是等边三角形的中线，等边三角形三条中线（角平分线）交于一点，因此CF平分∠ACB，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为4，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ACB=60°（等边三角形三线合一，内角为60°），
∴对AD上任意一点F，都有CF=BF，
∴$EF+CF = EF+BF$，
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值，即此时EF+CF最小，F为BE与AD的交点。
∵AC=4，AE=2，
∴E为AC的中点，即BE是等边△ABC中AC边上的中线。
∵等边三角形的三条中线交于一点，且中线同时对应角平分线，
∴CF平分∠ACB，
∴$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
最短路径问题；等边三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题将最短路径问题和等边三角形的性质相结合，解题核心是利用轴对称转化线段和，再结合等边三角形三线合一的特殊性质推导角度，是轴对称应用的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径与等边三角形结合的典型题型，思考步骤如下：
1. 首先观察到AD是等边三角形BC边上的中线，根据等边三角形三线合一，AD垂直平分BC，因此点C关于AD的对称点是点B，可得AD上任意点F满足CF=BF，即可将待求的EF+CF转化为EF+BF；
2. 根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的和最小，即此时EF+CF取得最小值；
3. 再由AC=4、AE=2得E是AC中点，BE是等边三角形的中线，等边三角形三条中线（角平分线）交于一点，因此CF平分∠ACB，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为4，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ACB=60°（等边三角形三线合一，内角为60°），
∴对AD上任意一点F，都有CF=BF，
∴$EF+CF = EF+BF$，
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值，即此时EF+CF最小，F为BE与AD的交点。
∵AC=4，AE=2，
∴E为AC的中点，即BE是等边△ABC中AC边上的中线。
∵等边三角形的三条中线交于一点，且中线同时对应角平分线，
∴CF平分∠ACB，
∴$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
最短路径问题；等边三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题将最短路径问题和等边三角形的性质相结合，解题核心是利用轴对称转化线段和，再结合等边三角形三线合一的特殊性质推导角度，是轴对称应用的典型考法。
【难度系数】
0.6
10.如图，$∠ AOB=30°$，$∠ AOB$内有一定点$P$，且$OP=10$.在$OA$上有一点$Q$，$OB$上有一点$R$，若$△ PQR$的周长最小，则周长的最小值是
10
.答案
10.10
解析
【分析】
要使△PQR的周长最小，需利用轴对称的性质将三条折线段的和转化为两点之间的线段长度。解题思路如下：①分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质可得PQ等于点P到OA对称点的线段长，PR等于点P到OB对称点的线段长，此时△PQR的周长可转化为两个对称点与Q、R组成的折线段长度；②根据两点之间线段最短，当两个对称点、Q、R四点共线时，折线段长度最小，即为两个对称点之间的线段长；③结合已知角度和OP的长度，求出两个对称点之间的距离即可得到周长最小值。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点$P_1$，作点P关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OA于Q、交OB于R，此时△PQR的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：$OP_1=OP=10$，$OP_2=OP=10$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，$PQ=P_1Q$，$PR=P_2R$。
3. 计算$∠ P_1OP_2$的度数：
$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=∠ POA+∠ AOB+∠ POB=2∠ AOB=2×30°=60°$。
4. 因为$OP_1=OP_2=10$，$∠ P_1OP_2=60°$，所以△$P_1OP_2$是等边三角形，因此$P_1P_2=OP_1=10$。
5. 此时△PQR的周长$=PQ+QR+PR=P_1Q+QR+P_2R=P_1P_2=10$，即周长最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考题，核心解题思路是通过轴对称将折线段和的最小值转化为两点之间线段的长度，再结合特殊角度的性质求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要使△PQR的周长最小，需利用轴对称的性质将三条折线段的和转化为两点之间的线段长度。解题思路如下：①分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质可得PQ等于点P到OA对称点的线段长，PR等于点P到OB对称点的线段长，此时△PQR的周长可转化为两个对称点与Q、R组成的折线段长度；②根据两点之间线段最短，当两个对称点、Q、R四点共线时，折线段长度最小，即为两个对称点之间的线段长；③结合已知角度和OP的长度，求出两个对称点之间的距离即可得到周长最小值。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点$P_1$，作点P关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OA于Q、交OB于R，此时△PQR的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：$OP_1=OP=10$，$OP_2=OP=10$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，$PQ=P_1Q$，$PR=P_2R$。
3. 计算$∠ P_1OP_2$的度数：
$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=∠ POA+∠ AOB+∠ POB=2∠ AOB=2×30°=60°$。
4. 因为$OP_1=OP_2=10$，$∠ P_1OP_2=60°$，所以△$P_1OP_2$是等边三角形，因此$P_1P_2=OP_1=10$。
5. 此时△PQR的周长$=PQ+QR+PR=P_1Q+QR+P_2R=P_1P_2=10$，即周长最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考题，核心解题思路是通过轴对称将折线段和的最小值转化为两点之间线段的长度，再结合特殊角度的性质求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
