登录
1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要解决在直线l上找一点使得到P、Q两点的管道总长度最短的问题，核心是利用“两点之间线段最短”的原理，结合轴对称的性质转化线段：因为P、Q在直线l同侧，直接连接PQ和l没有交点，所以先作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，此时连接对称点和另一个点的线段与l的交点就是所求的水泵站位置，此时管道总长度等于该线段的长度，是最短的。
【解析】
我们需要找到直线l上的点M，使PM+QM的和最小：
1. 根据最短路径的求解方法：当两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，本题中作点P关于直线l的对称点，连接该对称点与点Q，连线与直线l的交点即为点M。根据轴对称性质，PM等于对称点到M的距离，因此PM+QM=对称点到Q的线段长度，依据“两点之间线段最短”，此时总长度最短。
2. 逐一分析选项：
选项A：取P在l上的垂足为M，此时PM+QM不是最小值，不符合要求；
选项B：作PQ的垂直平分线与l交于M，仅满足PM=QM，不能保证PM+QM的和最小，不符合要求；
选项C：符合上述最短路径的作图方法，管道总长度最短，符合要求；
选项D：取Q在l上的垂足为M，此时PM+QM不是最小值，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典实际应用题，解题的关键是掌握同侧两点到直线上一点距离和最小的作图原理，通过轴对称将折线和转化为两点之间的线段，利用转化思想简化问题。
【难度系数】
0.8
要解决在直线l上找一点使得到P、Q两点的管道总长度最短的问题，核心是利用“两点之间线段最短”的原理，结合轴对称的性质转化线段：因为P、Q在直线l同侧，直接连接PQ和l没有交点，所以先作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，此时连接对称点和另一个点的线段与l的交点就是所求的水泵站位置，此时管道总长度等于该线段的长度，是最短的。
【解析】
我们需要找到直线l上的点M，使PM+QM的和最小：
1. 根据最短路径的求解方法：当两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，本题中作点P关于直线l的对称点，连接该对称点与点Q，连线与直线l的交点即为点M。根据轴对称性质，PM等于对称点到M的距离，因此PM+QM=对称点到Q的线段长度，依据“两点之间线段最短”，此时总长度最短。
2. 逐一分析选项：
选项A：取P在l上的垂足为M，此时PM+QM不是最小值，不符合要求；
选项B：作PQ的垂直平分线与l交于M，仅满足PM=QM，不能保证PM+QM的和最小，不符合要求；
选项C：符合上述最短路径的作图方法，管道总长度最短，符合要求；
选项D：取Q在l上的垂足为M，此时PM+QM不是最小值，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典实际应用题，解题的关键是掌握同侧两点到直线上一点距离和最小的作图原理，通过轴对称将折线和转化为两点之间的线段，利用转化思想简化问题。
【难度系数】
0.8
2.如图，直线$l$外有不重合的两点$A$，$B$，在直线$l$上求一点$C$，使得$AC+BC$的长度最短，作法为：①作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$；②连接$AB'$交直线$l$于点$C$，则点$C$即为所求。在解决这个问题时，没有用到的知识点是（
A.线段的垂直平分线性质
B.两点之间线段最短
C.三角形两边之和大于第三边
D.角平分线的性质
D
）A.线段的垂直平分线性质
B.两点之间线段最短
C.三角形两边之和大于第三边
D.角平分线的性质
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查最短路径问题的作图原理，解题时先梳理最短路径作法的每一步对应的知识点，再逐一对应选项排除用到的知识点，即可得出未被使用的知识点。首先作点B关于直线l的对称点B'时，直线l是线段BB'的垂直平分线，可将AC+BC转化为AC+B'C；再依据两点之间线段最短确定AB'与l的交点C为所求点；若要验证该点最短，可任选l上另一点构造三角形，利用三角形三边关系证明路径更长，最后判断是否涉及角平分线相关知识即可。
【解析】
我们逐一判断各知识点是否被使用：
1. 作点B关于直线l的对称点B'，则直线l垂直平分线段BB'，点C在直线l上，根据线段的垂直平分线性质可得$BC=B'C$，因此用到选项A的知识点；
2. 将$AC+BC$转化为$AC+B'C$后，连接$AB'$交直线l于点C，此时$AC+B'C=AB'$，依据两点之间线段最短可知此时和最小，因此用到选项B的知识点；
3. 若在直线l上任意取一个异于C的点$C'$，连接$AC'$、$BC'$、$B'C'$，在$△ AC'B'$中，根据三角形两边之和大于第三边可得$AC'+B'C'＞AB'=AC+B'C$，结合$BC'=B'C'$可推出$AC'+BC'＞AC+BC$，证明了点C为所求最短路径点，因此用到选项C的知识点；
4. 整个解题过程没有涉及角平分线，也未用到角平分线的性质，因此选项D的知识点没有被使用。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，线段垂直平分线性质，三角形三边关系
【点评】
本题需要结合最短路径的作图步骤，理解每一步操作对应的数学原理，将实际作图和几何知识点对应起来，即可快速判断未用到的知识。
【难度系数】
0.75
本题考查最短路径问题的作图原理，解题时先梳理最短路径作法的每一步对应的知识点，再逐一对应选项排除用到的知识点，即可得出未被使用的知识点。首先作点B关于直线l的对称点B'时，直线l是线段BB'的垂直平分线，可将AC+BC转化为AC+B'C；再依据两点之间线段最短确定AB'与l的交点C为所求点；若要验证该点最短，可任选l上另一点构造三角形，利用三角形三边关系证明路径更长，最后判断是否涉及角平分线相关知识即可。
【解析】
我们逐一判断各知识点是否被使用：
1. 作点B关于直线l的对称点B'，则直线l垂直平分线段BB'，点C在直线l上，根据线段的垂直平分线性质可得$BC=B'C$，因此用到选项A的知识点；
2. 将$AC+BC$转化为$AC+B'C$后，连接$AB'$交直线l于点C，此时$AC+B'C=AB'$，依据两点之间线段最短可知此时和最小，因此用到选项B的知识点；
3. 若在直线l上任意取一个异于C的点$C'$，连接$AC'$、$BC'$、$B'C'$，在$△ AC'B'$中，根据三角形两边之和大于第三边可得$AC'+B'C'＞AB'=AC+B'C$，结合$BC'=B'C'$可推出$AC'+BC'＞AC+BC$，证明了点C为所求最短路径点，因此用到选项C的知识点；
4. 整个解题过程没有涉及角平分线，也未用到角平分线的性质，因此选项D的知识点没有被使用。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，线段垂直平分线性质，三角形三边关系
【点评】
本题需要结合最短路径的作图步骤，理解每一步操作对应的数学原理，将实际作图和几何知识点对应起来，即可快速判断未用到的知识。
【难度系数】
0.75
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=3,AC=4,BC=5,EF$是$BC$的垂直平分线,$P$是直线$EF$上的任意一点,则$PA+PB$的最小值是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3.B
解析
【分析】
求解最短路径问题首先考虑线段转化：已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端B、C的距离相等，即PB=PC，因此PA+PB可转化为PA+PC。根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，PA+PC的和最小，最小值即为线段AC的长度。
【解析】
∵EF是BC的垂直平分线，
∴点B与点C关于直线EF对称，对直线EF上任意点P，均有PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC。
根据两点之间线段最短，当P为AC与EF的交点时，PA+PC取得最小值，最小值等于AC的长度。
已知AC=4，因此PA+PB的最小值是4。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的轴对称特性，将待求的两条线段和转化为共端点的两条线段和，再结合两点之间线段最短的原理求解，熟练掌握轴对称性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
求解最短路径问题首先考虑线段转化：已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端B、C的距离相等，即PB=PC，因此PA+PB可转化为PA+PC。根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，PA+PC的和最小，最小值即为线段AC的长度。
【解析】
∵EF是BC的垂直平分线，
∴点B与点C关于直线EF对称，对直线EF上任意点P，均有PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC。
根据两点之间线段最短，当P为AC与EF的交点时，PA+PC取得最小值，最小值等于AC的长度。
已知AC=4，因此PA+PB的最小值是4。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的轴对称特性，将待求的两条线段和转化为共端点的两条线段和，再结合两点之间线段最短的原理求解，熟练掌握轴对称性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
4.如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ABC=70°$，$BD$平分$∠ ABC$，$P$为线段$BD$上一动点，$Q$为边$AB$上一动点，当$AP+PQ$的值最小时，$∠ APB$的度数是 （
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
B
）A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
答案
4.B
解析
【分析】
本题属于最短路径结合角度计算的题型，解题思路如下：①首先利用角平分线的对称性，作点A关于BD的对称点A'，由角平分线的性质可知A'落在BC边上，此时根据对称性质可得AP=A'P，将AP+PQ转化为A'P+PQ；②根据“垂线段最短”，要使A'P+PQ最小，需过A'作AB的垂线，该垂线与BD的交点即为所求的点P，垂足为Q；③最后结合三角形内角和、对称的性质计算∠APB的度数即可。
【解析】
1. 作点A关于BD的对称点A'，
∵BD平分∠ABC，角平分线所在直线是角的对称轴，
∴点A'落在BC边上，且由对称性质得：AP=A'P，∠APB=∠A'PB。
2. 要使AP+PQ = A'P+PQ的值最小，根据垂线段最短，当A'Q⊥AB且A'、P、Q三点共线时，和最小，此时∠PQB=90°。
3. 已知∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°。
4. 在Rt△BQP中，∠QPB = 90° - ∠ABD = 90° - 35° = 55°。
5.
∵A'、P、Q三点共线，∠A'PB与∠QPB为邻补角，
∴∠A'PB = 180° - ∠QPB = 180° - 55° = 125°，
又
∵∠APB=∠A'PB，
∴∠APB=125°。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，三角形内角和
【点评】
本题将最短路径构造与角度计算结合，解题的核心是利用对称将两条线段的和转化为可以用垂线段最短求最值的形式，再结合基础角度关系计算即可，解题时要注意对称性质的合理运用。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径结合角度计算的题型，解题思路如下：①首先利用角平分线的对称性，作点A关于BD的对称点A'，由角平分线的性质可知A'落在BC边上，此时根据对称性质可得AP=A'P，将AP+PQ转化为A'P+PQ；②根据“垂线段最短”，要使A'P+PQ最小，需过A'作AB的垂线，该垂线与BD的交点即为所求的点P，垂足为Q；③最后结合三角形内角和、对称的性质计算∠APB的度数即可。
【解析】
1. 作点A关于BD的对称点A'，
∵BD平分∠ABC，角平分线所在直线是角的对称轴，
∴点A'落在BC边上，且由对称性质得：AP=A'P，∠APB=∠A'PB。
2. 要使AP+PQ = A'P+PQ的值最小，根据垂线段最短，当A'Q⊥AB且A'、P、Q三点共线时，和最小，此时∠PQB=90°。
3. 已知∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°。
4. 在Rt△BQP中，∠QPB = 90° - ∠ABD = 90° - 35° = 55°。
5.
∵A'、P、Q三点共线，∠A'PB与∠QPB为邻补角，
∴∠A'PB = 180° - ∠QPB = 180° - 55° = 125°，
又
∵∠APB=∠A'PB，
∴∠APB=125°。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，三角形内角和
【点评】
本题将最短路径构造与角度计算结合，解题的核心是利用对称将两条线段的和转化为可以用垂线段最短求最值的形式，再结合基础角度关系计算即可，解题时要注意对称性质的合理运用。
【难度系数】
0.6
5.如图,A,B两地分别在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,图中使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直) (
A $(BM⊥$直线$a)$
B $(AM$与$BN$不平行$)$
C $(AN⊥$直线$b)$
D $(AM// BN)$
D
)A $(BM⊥$直线$a)$
B $(AM$与$BN$不平行$)$
C $(AN⊥$直线$b)$
D $(AM// BN)$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决造桥选址的最短路径问题，首先明确桥MN与河岸垂直，长度固定等于河宽，因此总路径AMNB最短等价于AM+NB的和最小。我们可以通过平移转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到点A'，根据平移的性质，AM和A'N长度相等且互相平行，此时AM+NB就转化为A'N+NB。根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，此时A'N与BN共线，结合AM平行A'N，即可推出AM和BN平行，对应正确选项。
【解析】
1. 因为河的两岸互相平行，桥MN与河岸垂直，所以MN的长度是固定值（等于河宽），路径AMNB的总长度为AM+MN+NB，要使总路径最短，只需保证AM+NB的和最小即可。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向平移，平移距离等于河宽MN，得到点A'，根据平移的性质，可得AM=A'N，且AM//A'N。
3. 根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，A'B与靠近B的河岸的交点即为最优的N点，此时A'、N、B三点共线，A'N与BN在同一条直线上，即A'N//BN。
4. 结合AM//A'N，可推出AM//BN，因此符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.最短路径问题 2.平移的性质 3.两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型题目，核心解题思路是通过平移转化固定长度的桥，将分散的待求最短线段整合到同一条连线中，再利用两点之间线段最短的原理求解，考查了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要解决造桥选址的最短路径问题，首先明确桥MN与河岸垂直，长度固定等于河宽，因此总路径AMNB最短等价于AM+NB的和最小。我们可以通过平移转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到点A'，根据平移的性质，AM和A'N长度相等且互相平行，此时AM+NB就转化为A'N+NB。根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，此时A'N与BN共线，结合AM平行A'N，即可推出AM和BN平行，对应正确选项。
【解析】
1. 因为河的两岸互相平行，桥MN与河岸垂直，所以MN的长度是固定值（等于河宽），路径AMNB的总长度为AM+MN+NB，要使总路径最短，只需保证AM+NB的和最小即可。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向平移，平移距离等于河宽MN，得到点A'，根据平移的性质，可得AM=A'N，且AM//A'N。
3. 根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，A'B与靠近B的河岸的交点即为最优的N点，此时A'、N、B三点共线，A'N与BN在同一条直线上，即A'N//BN。
4. 结合AM//A'N，可推出AM//BN，因此符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.最短路径问题 2.平移的性质 3.两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型题目，核心解题思路是通过平移转化固定长度的桥，将分散的待求最短线段整合到同一条连线中，再利用两点之间线段最短的原理求解，考查了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
