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9.如图，$∠ DAE = ∠ ADE = 15°$，$DE // AB$，$DF ⊥ AB$，若$AE = 8$，则$DF$等于（
A.10
B.7
C.5
D.4
D
）A.10
B.7
C.5
D.4
答案
9.D
解析
【分析】
解题时先从已知的等角条件入手，利用等腰三角形“等角对等边”的性质求出DE的长度；再结合平行线的内错角相等推导角的关系，得到∠BAC的度数；接着过点D作AC的垂线，将所求的DF利用角平分线的性质转化为该垂线段的长度，最后借助含30°角的直角三角形的性质计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 因为$∠ DAE = ∠ ADE = 15°$，根据“等角对等边”，可得$DE=AE=8$。
2. 因为$DE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ BAD=∠ ADE=15°$，因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAE=15°+15°=30°$。
3. 过点$D$作$DG⊥ AC$于点$G$，因为$DE// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ DEG=∠ BAC=30°$。在$Rt△ DEG$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$DG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×8=4$。
4. 因为$∠ BAD=∠ DAE=15°$，所以$AD$是$∠ BAC$的角平分线，又因为$DF⊥ AB$，$DG⊥ AC$，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得$DF=DG=4$。
综上，$DF$的长度为4，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、角平分线、特殊直角三角形的相关性质，通过作辅助线实现未知线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的等角条件入手，利用等腰三角形“等角对等边”的性质求出DE的长度；再结合平行线的内错角相等推导角的关系，得到∠BAC的度数；接着过点D作AC的垂线，将所求的DF利用角平分线的性质转化为该垂线段的长度，最后借助含30°角的直角三角形的性质计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 因为$∠ DAE = ∠ ADE = 15°$，根据“等角对等边”，可得$DE=AE=8$。
2. 因为$DE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ BAD=∠ ADE=15°$，因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAE=15°+15°=30°$。
3. 过点$D$作$DG⊥ AC$于点$G$，因为$DE// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ DEG=∠ BAC=30°$。在$Rt△ DEG$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$DG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×8=4$。
4. 因为$∠ BAD=∠ DAE=15°$，所以$AD$是$∠ BAC$的角平分线，又因为$DF⊥ AB$，$DG⊥ AC$，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得$DF=DG=4$。
综上，$DF$的长度为4，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、角平分线、特殊直角三角形的相关性质，通过作辅助线实现未知线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=45°$,$∠ B=120°$,$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$,$AB$的垂直平分线$FH$交$BA$于点$F$,交$AC$于点$H$,$CE=4$,则$AH$的长度为 (
A.4
B.6
C.7
D.8
D
)A.4
B.6
C.7
D.8
答案
10.D
解析
【分析】
解题时先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先连接辅助线BE、BH。第一步利用DE是BC的垂直平分线，得到BE=CE，推导△BEC的内角，得到BE⊥AC；第二步用三角形内角和算出∠A的度数，结合FH是AB的垂直平分线，得到AH=BH，推出对应角相等；第三步推导∠HBE的度数，得到Rt△BEH中存在30°角，利用含30°角的直角三角形的性质求出BH的长度，即可得到AH的长度。
【解析】
解：连接BE、BH，
1. 由DE是BC的垂直平分线，可得$BE=CE=4$，
∴$∠ EBC=∠ C=45°$，
在$△ BEC$中，$∠ BEC=180°-∠ C-∠ EBC=180°-45°-45°=90°$，即$BE⊥ AC$。
2. 在$△ ABC$中，$∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-120°-45°=15°$，
由FH是AB的垂直平分线，可得$AH=BH$，
∴$∠ ABH=∠ A=15°$。
3. 计算角度：$∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=120°-45°=75°$，
∴$∠ HBE=∠ ABE-∠ ABH=75°-15°=60°$。
4. 在$Rt△ BEH$中，$∠ BHE=90°-∠ HBE=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$BH=2BE=2×4=8$，
又
∵$AH=BH$，
∴$AH=8$。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用垂直平分线的性质转化相等的线段和角，通过角度推导得到特殊直角三角形，进而求出线段长度，需要掌握辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先连接辅助线BE、BH。第一步利用DE是BC的垂直平分线，得到BE=CE，推导△BEC的内角，得到BE⊥AC；第二步用三角形内角和算出∠A的度数，结合FH是AB的垂直平分线，得到AH=BH，推出对应角相等；第三步推导∠HBE的度数，得到Rt△BEH中存在30°角，利用含30°角的直角三角形的性质求出BH的长度，即可得到AH的长度。
【解析】
解：连接BE、BH，
1. 由DE是BC的垂直平分线，可得$BE=CE=4$，
∴$∠ EBC=∠ C=45°$，
在$△ BEC$中，$∠ BEC=180°-∠ C-∠ EBC=180°-45°-45°=90°$，即$BE⊥ AC$。
2. 在$△ ABC$中，$∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-120°-45°=15°$，
由FH是AB的垂直平分线，可得$AH=BH$，
∴$∠ ABH=∠ A=15°$。
3. 计算角度：$∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=120°-45°=75°$，
∴$∠ HBE=∠ ABE-∠ ABH=75°-15°=60°$。
4. 在$Rt△ BEH$中，$∠ BHE=90°-∠ HBE=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$BH=2BE=2×4=8$，
又
∵$AH=BH$，
∴$AH=8$。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用垂直平分线的性质转化相等的线段和角，通过角度推导得到特殊直角三角形，进而求出线段长度，需要掌握辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.6
11.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=120°$，点$D$为线段$BC$上一点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，若$BC=8$，则$DE+DF$的值为
4
。答案
11.4
解析
【分析】
首先根据等腰三角形AB=AC，顶角∠A=120°，可先算出两个底角∠B、∠C的度数为30°；再观察DE⊥AB、DF⊥AC，可知△BED和△CFD都是含30°角的直角三角形，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可将DE转化为BD的一半，DF转化为DC的一半；最后将两式相加，BD与DC的和恰好是BC的长度，代入BC=8即可求出DE+DF的值。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=120°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°，在Rt△BED中，∠B=30°
∴ $DE = \frac{1}{2}BD$
同理，
∵ DF⊥AC，
∴ ∠CFD=90°，在Rt△CFD中，∠C=30°
∴ $DF = \frac{1}{2}DC$
∴ $DE+DF = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(BD+DC)$
又
∵ BD+DC=BC=8
∴ $DE+DF = \frac{1}{2}×8 = 4$
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题解题核心是利用等腰三角形性质得到底角为30°，再结合含30°角直角三角形的边角关系，将两条垂线段转化为底边线段的一半，通过整体代入计算即可得到结果，避免了单独求解各条线段长度的繁琐，体现了整体思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形AB=AC，顶角∠A=120°，可先算出两个底角∠B、∠C的度数为30°；再观察DE⊥AB、DF⊥AC，可知△BED和△CFD都是含30°角的直角三角形，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可将DE转化为BD的一半，DF转化为DC的一半；最后将两式相加，BD与DC的和恰好是BC的长度，代入BC=8即可求出DE+DF的值。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=120°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°，在Rt△BED中，∠B=30°
∴ $DE = \frac{1}{2}BD$
同理，
∵ DF⊥AC，
∴ ∠CFD=90°，在Rt△CFD中，∠C=30°
∴ $DF = \frac{1}{2}DC$
∴ $DE+DF = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(BD+DC)$
又
∵ BD+DC=BC=8
∴ $DE+DF = \frac{1}{2}×8 = 4$
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题解题核心是利用等腰三角形性质得到底角为30°，再结合含30°角直角三角形的边角关系，将两条垂线段转化为底边线段的一半，通过整体代入计算即可得到结果，避免了单独求解各条线段长度的繁琐，体现了整体思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
12.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC＜AC$.点$D$，$E$分别在边$AB$，$BC$上，连接$DE$，将$△ BDE$沿$DE$折叠，点$B$的对应点为点$B'$，若点$B'$刚好落在边$AC$上，$∠ CB'E=30°$，$CE=3$，则$BC$的长为
9
.答案
12.9
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到对应边相等，即BE=B'E；再观察Rt△CB'E，已知∠CB'E=30°、∠C=90°、CE=3，结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出B'E的长度，进而得到BE的长度，最后根据BC=CE+BE代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'
∴ BE = B'E
在Rt△CB'E中，∠C=90°，∠CB'E=30°，CE=3
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
B'E = 2CE = 2×3 = 6
∴ BE = B'E = 6
∴ BC = CE + BE = 3 + 6 = 9
【答案】
9
【知识点】
折叠的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合特殊直角三角形的边角关系求解，题目中的BC＜AC为无关干扰条件，解题时注意甄别有效条件。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到对应边相等，即BE=B'E；再观察Rt△CB'E，已知∠CB'E=30°、∠C=90°、CE=3，结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出B'E的长度，进而得到BE的长度，最后根据BC=CE+BE代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'
∴ BE = B'E
在Rt△CB'E中，∠C=90°，∠CB'E=30°，CE=3
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
B'E = 2CE = 2×3 = 6
∴ BE = B'E = 6
∴ BC = CE + BE = 3 + 6 = 9
【答案】
9
【知识点】
折叠的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合特殊直角三角形的边角关系求解，题目中的BC＜AC为无关干扰条件，解题时注意甄别有效条件。
【难度系数】
0.7
13.已知在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F.
(1)如图1,若AD=BE=CF,求证△DEB≌△EFC;
(2)如图2,若ED⊥AB,DF⊥AC,FE⊥BC,且AB=15,求CE的长.
(1)如图1,若AD=BE=CF,求证△DEB≌△EFC;
(2)如图2,若ED⊥AB,DF⊥AC,FE⊥BC,且AB=15,求CE的长.
答案
13.(1)略 (2)$CE=5$
解析
【分析】
(1) 要证明△DEB≌△EFC，首先利用等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，结合已知AD=BE=CF推出BD=CE，再借助SAS全等判定定理即可完成证明。
(2) 求CE的长时，先结合等边三角形内角为60°和垂直条件，得到所有直角三角形中均含30°角，根据“直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，设CE为未知数，用含未知数的式子表示各边长度，再根据边长和为15列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠C=60°，
∵AD=BE，
∴AB-AD=BC-BE，即BD=CE，
在△DEB和△EFC中：
$\{\begin{array}{l}BE=CF(\mathrm{已知}) \\∠B=∠C(\mathrm{已证}) \\BD=CE(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△DEB≌△EFC（SAS）。
(2) 解：设CE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=15，
∵FE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°-∠C=30°，
∴CF=2CE=2x，
∴AF=AC-CF=15-2x，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△AFD中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴AD=2AF=2(15-2x)=30-4x，
∴BD=AB-AD=15-(30-4x)=4x-15，
∵ED⊥AB，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，∠BED=90°-∠B=30°，
∴BE=2BD=2(4x-15)=8x-30，
又
∵BE+CE=BC=15，
∴$8x-30 +x=15$，
解得$x=5$，即CE=5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $CE=5$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题第一问是基础全等证明，核心是借助等边三角形的边角性质得到全等判定的对应条件；第二问需要结合特殊直角三角形的性质，通过设未知数建立方程求解，考察了数形结合和方程思想，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△DEB≌△EFC，首先利用等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，结合已知AD=BE=CF推出BD=CE，再借助SAS全等判定定理即可完成证明。
(2) 求CE的长时，先结合等边三角形内角为60°和垂直条件，得到所有直角三角形中均含30°角，根据“直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，设CE为未知数，用含未知数的式子表示各边长度，再根据边长和为15列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠C=60°，
∵AD=BE，
∴AB-AD=BC-BE，即BD=CE，
在△DEB和△EFC中：
$\{\begin{array}{l}BE=CF(\mathrm{已知}) \\∠B=∠C(\mathrm{已证}) \\BD=CE(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△DEB≌△EFC（SAS）。
(2) 解：设CE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=15，
∵FE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°-∠C=30°，
∴CF=2CE=2x，
∴AF=AC-CF=15-2x，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△AFD中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴AD=2AF=2(15-2x)=30-4x，
∴BD=AB-AD=15-(30-4x)=4x-15，
∵ED⊥AB，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，∠BED=90°-∠B=30°，
∴BE=2BD=2(4x-15)=8x-30，
又
∵BE+CE=BC=15，
∴$8x-30 +x=15$，
解得$x=5$，即CE=5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $CE=5$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题第一问是基础全等证明，核心是借助等边三角形的边角性质得到全等判定的对应条件；第二问需要结合特殊直角三角形的性质，通过设未知数建立方程求解，考察了数形结合和方程思想，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
