如图5-4,蜘蛛在正方体盒子表面由点A爬到点G捕食蚊子.你能画出蜘蛛爬行的最短路线吗?

解：
根据“两点之间，线段最短”的基本事实，将正方体包含点A、点G的两个相邻面展开，使两点落在同一个平面内。
在该平面内直接连接点A和点G，所得线段就是该平面内A到G的最短连线。
将展开的面复原为正方体，这条线段与两个相邻面公共棱的交点为路径经过的中间点，沿点A到该交点、再到点G的折线，就是正方体表面蜘蛛爬行的最短路线。
通过不同的相邻面组合展开，一共可以得到3条长度完全相等的最短爬行路线，任意一条均为符合要求的最短路径。

例1 将图5-5中的三棱柱(单位:cm)沿侧棱和上、下底边剪开,展开成平面图形.画出这个三棱柱的一个平面展开图(标注必要的数据).

解：
该三棱柱的平面展开图由5个部分构成：
1. 3个长方形：侧棱长度均为6cm，三个长方形的另一组邻边长度分别为底面三角形的三边长3cm、4cm、4.5cm；
2. 2个完全相同的三角形：三边长分别为3cm、4cm、4.5cm。
绘制方式：将三个长方形以长度为6cm的边依次相邻拼接，得到一个总长为11.5cm、宽为6cm的大矩形，再将两个全等三角形分别拼接在大矩形中边长为4.5cm的对应边的上下两侧，使三角形长度为4.5cm的边与长方形的对应边完全重合，依次标注所有必要数据：三角形三边标注3cm、4cm、4.5cm，所有侧棱对应的边长标注6cm。
注：符合要求的展开图形式不唯一，上述为其中一种合法的展开形式。

例2 如图5-6，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）第4个图形中，第一行共有块瓷砖，第一列共有块瓷砖，该图中白色瓷砖共有块；
（2）第n个图形中，用含n的代数式表示铺设地面所用黑色瓷砖的块数为。

（1）$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{30}$；
（2）$\boldsymbol{4n+10}$

解：
（1）观察图形规律可得：
第1个图形第一行有4块瓷砖，第一列有5块瓷砖；
第2个图形第一行有5块瓷砖，第一列有6块瓷砖；
第3个图形第一行有6块瓷砖，第一列有7块瓷砖；
因此第4个图形中，第一行共有7块瓷砖，第一列共有8块瓷砖。
白色瓷砖规律：第1个图形白色瓷砖有$2×3=6$块，第2个图形白色瓷砖有$3×4=12$块，第3个图形白色瓷砖有$4×5=20$块，因此第4个图形白色瓷砖共有$5×6=30$块。
（2）第$n$个图形中，总瓷砖数为$(n+3)(n+4)$，白色瓷砖数为$(n+1)(n+2)$，
黑色瓷砖块数为：
$\begin{aligned}&(n+3)(n+4)-(n+1)(n+2)\\=&n^2+7n+12-n^2-3n-2\\=&4n+10\end{aligned}$

（1）圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是；

解：长方形
扇形