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23.如图，在$12×9$正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边为格线.点$B,C$为格点，以线段$BC$为直径的$\odot O$交纵向格线于点$A$，连接$AB,AC$.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1)在图①中作出圆心$O$.
(2)在图①中作$AD$平分$∠ BAC$，交$\odot O$于点$D$.
(3)在图①中作$AB$绕点$D$顺时针旋转$90°$后的线段.
(4)在图②的$\odot O$中作弦$AM=AB$.
(1)在图①中作出圆心$O$.
(2)在图①中作$AD$平分$∠ BAC$，交$\odot O$于点$D$.
(3)在图①中作$AB$绕点$D$顺时针旋转$90°$后的线段.
(4)在图②的$\odot O$中作弦$AM=AB$.
答案
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
解析
【分析】
(1) 圆心是直径的中点，已知BC是⊙O的直径，因此只需找到线段BC的中点即可得到圆心O，借助网格的格点特征可直接定位BC的中点。
(2) 由直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，AD平分∠BAC即把∠BAC分为两个45°的角。根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此只需找到劣弧BC的中点D：过圆心O作BC的垂线，垂线与⊙O下半部分的交点就是弧BC的中点D，连接AD即可得到角平分线。
(3) 根据旋转的性质，AB绕点D顺时针旋转90°后所得线段与AB长度相等，且对应点与旋转中心的夹角为90°。结合圆的性质，D是弧BC中点故BD=CD，且∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角），因此△ABD绕D顺时针旋转90°后B与C重合，A的对应点为T，对应边TC就是AB旋转后的线段。
(4) 要作弦AM=AB，根据同圆中相等的弦对应的弧相等，只需构造出与弧AB相等的弧AM，即找到点B关于直线AC的对称点M（M在⊙O上），连接AM即可，借助网格的对称特征可快速定位M的位置。
【解析】
(1) 观察网格中B、C的位置，BC为横向格点线段，定位BC的中点标记为O，即为所求圆心。
(2) 过点O作BC的垂线，取该垂线与⊙O下半部分的交点为D，连接AD，AD即为∠BAC的平分线。
(3) 结合圆周角的对应关系找到点T，连接TC，TC即为AB绕点D顺时针旋转90°后的线段。
(4) 在图②中定位点B关于直线AC的对称点M（M在⊙O上），连接AM，AM即为所求弦。
【答案】
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 圆周角定理
3. 旋转的性质
【点评】
本题属于网格几何作图题，结合了圆、角平分线、旋转等多个核心几何知识点，既考查学生对基础几何性质的掌握程度，也考查学生结合网格特征分析问题、动手作图的实践能力，是几何基础考查的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 圆心是直径的中点，已知BC是⊙O的直径，因此只需找到线段BC的中点即可得到圆心O，借助网格的格点特征可直接定位BC的中点。
(2) 由直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，AD平分∠BAC即把∠BAC分为两个45°的角。根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此只需找到劣弧BC的中点D：过圆心O作BC的垂线，垂线与⊙O下半部分的交点就是弧BC的中点D，连接AD即可得到角平分线。
(3) 根据旋转的性质，AB绕点D顺时针旋转90°后所得线段与AB长度相等，且对应点与旋转中心的夹角为90°。结合圆的性质，D是弧BC中点故BD=CD，且∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角），因此△ABD绕D顺时针旋转90°后B与C重合，A的对应点为T，对应边TC就是AB旋转后的线段。
(4) 要作弦AM=AB，根据同圆中相等的弦对应的弧相等，只需构造出与弧AB相等的弧AM，即找到点B关于直线AC的对称点M（M在⊙O上），连接AM即可，借助网格的对称特征可快速定位M的位置。
【解析】
(1) 观察网格中B、C的位置，BC为横向格点线段，定位BC的中点标记为O，即为所求圆心。
(2) 过点O作BC的垂线，取该垂线与⊙O下半部分的交点为D，连接AD，AD即为∠BAC的平分线。
(3) 结合圆周角的对应关系找到点T，连接TC，TC即为AB绕点D顺时针旋转90°后的线段。
(4) 在图②中定位点B关于直线AC的对称点M（M在⊙O上），连接AM，AM即为所求弦。
【答案】
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 圆周角定理
3. 旋转的性质
【点评】
本题属于网格几何作图题，结合了圆、角平分线、旋转等多个核心几何知识点，既考查学生对基础几何性质的掌握程度，也考查学生结合网格特征分析问题、动手作图的实践能力，是几何基础考查的典型题型。
【难度系数】
0.6
24.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
(1)求证:DB=DI.
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于点M.求证:BC=2AM.
(1)求证:DB=DI.
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于点M.求证:BC=2AM.
答案
24.(1)连接 BI.
$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 I 为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD=∠ CAD, \therefore ∠ BID=∠ IBD, \therefore DB=DI$.
(2)连接 OD,交 BC 于点 E.
$\because ∠ BAD=∠ CAD, \therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB, \therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD, \therefore IA=DI=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CAD=∠ CBD, \therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM, \therefore BC=2AM$.
$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 I 为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD=∠ CAD, \therefore ∠ BID=∠ IBD, \therefore DB=DI$.
(2)连接 OD,交 BC 于点 E.
$\because ∠ BAD=∠ CAD, \therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB, \therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD, \therefore IA=DI=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CAD=∠ CBD, \therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM, \therefore BC=2AM$.
解析
【分析】
（1）要证DB=DI，可通过证明△DBI为等腰三角形实现，即证明∠BID=∠IBD。首先结合三角形内心是三条角平分线交点的性质，得到相关角的相等关系，再利用同弧所对圆周角相等做角度转化，即可推出两角相等，得到结论。
（2）要证BC=2AM，首先根据相等的圆周角对应弧相等，得弧BD=弧CD，结合垂径定理可知OD垂直平分BC，即BC=2BE，因此只需证明BE=AM。结合OI⊥AD可得AI=DI，再结合（1）的结论得AI=DB，最后证明△DBE和△IAM全等，即可推出BE=AM，进而得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：连接BI。
由三角形外角的性质得：$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI$，$∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$。
∵点I为$△ ABC$的内心，
∴BI平分$∠ ABC$，AI平分$∠ BAC$，即$∠ ABI=∠ CBI$，$∠ BAD=∠ CAD$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，$\therefore ∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ BAD+∠ ABI=∠ CBD+∠ CBI$，即$∠ BID=∠ IBD$，
$\therefore DB=DI$。
(2) 证明：连接OD，交BC于点E。
∵$∠ BAD=∠ CAD$，$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
由垂径定理得：$OD ⊥ BC$，$BE=CE=\frac{1}{2} BC$。
∵$IM ⊥ AB$，$\therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$。
∵$OI ⊥ AD$，AD是$\odot O$的弦，由垂径定理得OI平分AD，即$IA=DI$，
结合(1)的结论$DB=DI$，得$IA=DB$。
又
∵$∠ BAD=∠ CBD$，
$\therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=AM$，
$\therefore BC=2BE=2AM$。
【答案】
(1) DB=DI，证明成立；
(2) BC=2AM，证明成立。
【知识点】
1. 三角形内心的性质
2. 圆周角定理
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的综合题，解题核心是合理构造辅助线，通过角度转化、垂径定理、全等三角形的判定建立线段间的等量关系，能够考察学生对几何核心知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证DB=DI，可通过证明△DBI为等腰三角形实现，即证明∠BID=∠IBD。首先结合三角形内心是三条角平分线交点的性质，得到相关角的相等关系，再利用同弧所对圆周角相等做角度转化，即可推出两角相等，得到结论。
（2）要证BC=2AM，首先根据相等的圆周角对应弧相等，得弧BD=弧CD，结合垂径定理可知OD垂直平分BC，即BC=2BE，因此只需证明BE=AM。结合OI⊥AD可得AI=DI，再结合（1）的结论得AI=DB，最后证明△DBE和△IAM全等，即可推出BE=AM，进而得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：连接BI。
由三角形外角的性质得：$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI$，$∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$。
∵点I为$△ ABC$的内心，
∴BI平分$∠ ABC$，AI平分$∠ BAC$，即$∠ ABI=∠ CBI$，$∠ BAD=∠ CAD$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，$\therefore ∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ BAD+∠ ABI=∠ CBD+∠ CBI$，即$∠ BID=∠ IBD$，
$\therefore DB=DI$。
(2) 证明：连接OD，交BC于点E。
∵$∠ BAD=∠ CAD$，$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
由垂径定理得：$OD ⊥ BC$，$BE=CE=\frac{1}{2} BC$。
∵$IM ⊥ AB$，$\therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$。
∵$OI ⊥ AD$，AD是$\odot O$的弦，由垂径定理得OI平分AD，即$IA=DI$，
结合(1)的结论$DB=DI$，得$IA=DB$。
又
∵$∠ BAD=∠ CBD$，
$\therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=AM$，
$\therefore BC=2BE=2AM$。
【答案】
(1) DB=DI，证明成立；
(2) BC=2AM，证明成立。
【知识点】
1. 三角形内心的性质
2. 圆周角定理
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的综合题，解题核心是合理构造辅助线，通过角度转化、垂径定理、全等三角形的判定建立线段间的等量关系，能够考察学生对几何核心知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
