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23.如图，在$12×9$正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边为格线.点$B,C$为格点，以线段$BC$为直径的$\odot O$交纵向格线于点$A$，连接$AB,AC$.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1)在图①中作出圆心$O$.
(2)在图①中作$AD$平分$∠ BAC$，交$\odot O$于点$D$.
(3)在图①中作$AB$绕点$D$顺时针旋转$90°$后的线段.
(4)在图②的$\odot O$中作弦$AM=AB$.
(1)在图①中作出圆心$O$.
(2)在图①中作$AD$平分$∠ BAC$，交$\odot O$于点$D$.
(3)在图①中作$AB$绕点$D$顺时针旋转$90°$后的线段.
(4)在图②的$\odot O$中作弦$AM=AB$.
答案
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
解析
【分析】
我们分小问梳理解题思路：
(1) 圆心是直径的中点，已知BC是⊙O的直径，因此只需找到线段BC的中点，即可确定圆心O，在网格中可以通过数BC所占格数直接定位中点。
(2) 根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此∠BAC=90°，角平分线AD需将∠BAC分为两个相等的45°角，相等的圆周角对应相等的弧，可知D为弧BC的中点，过圆心作BC的垂线，与圆的交点即为D，连接AD即可得到角平分线。
(3) 根据旋转的性质，旋转前后线段长度相等、旋转角为90°，结合圆的圆周角性质，找到符合旋转要求的线段TC即可。
(4) 同圆中相等的弦对应相等的弧，要得到AM=AB，只需保证弧AM=弧AB，借助网格格点构造相等的弧对应的交点M，连接AM即可。
【解析】
(1) 连接BC，观察网格可知BC为水平线段，长度占6个单位格，取BC的中点，标记为圆心O即可。
(2) 过圆心O作BC的垂线，该垂线与⊙O在BC下方的交点即为D，连接AD：由弧BD=弧CD，得∠BAD=∠CAD=45°，AD平分∠BAC，符合要求。
(3) 结合圆周角与旋转的性质作图，得到线段TC，其长度与AB相等，且AB与TC对应点与D的连线夹角为90°，符合旋转要求。
(4) 借助网格格点连线，找到⊙O上满足弧AM=弧AB的点M，连接AM，此时AM=AB，符合要求。
【答案】
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，旋转的性质
【点评】
本题结合网格考查无刻度直尺作图，需要灵活运用圆、角平分线、旋转的相关几何性质确定作图思路，能够有效锻炼几何推理能力和实践作图能力。
【难度系数】
0.6
我们分小问梳理解题思路：
(1) 圆心是直径的中点，已知BC是⊙O的直径，因此只需找到线段BC的中点，即可确定圆心O，在网格中可以通过数BC所占格数直接定位中点。
(2) 根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此∠BAC=90°，角平分线AD需将∠BAC分为两个相等的45°角，相等的圆周角对应相等的弧，可知D为弧BC的中点，过圆心作BC的垂线，与圆的交点即为D，连接AD即可得到角平分线。
(3) 根据旋转的性质，旋转前后线段长度相等、旋转角为90°，结合圆的圆周角性质，找到符合旋转要求的线段TC即可。
(4) 同圆中相等的弦对应相等的弧，要得到AM=AB，只需保证弧AM=弧AB，借助网格格点构造相等的弧对应的交点M，连接AM即可。
【解析】
(1) 连接BC，观察网格可知BC为水平线段，长度占6个单位格，取BC的中点，标记为圆心O即可。
(2) 过圆心O作BC的垂线，该垂线与⊙O在BC下方的交点即为D，连接AD：由弧BD=弧CD，得∠BAD=∠CAD=45°，AD平分∠BAC，符合要求。
(3) 结合圆周角与旋转的性质作图，得到线段TC，其长度与AB相等，且AB与TC对应点与D的连线夹角为90°，符合旋转要求。
(4) 借助网格格点连线，找到⊙O上满足弧AM=弧AB的点M，连接AM，此时AM=AB，符合要求。
【答案】
23.(1)如图①.
(2)如图①.
(3)如图①,TC 为所求作.
(4)如图②.
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，旋转的性质
【点评】
本题结合网格考查无刻度直尺作图，需要灵活运用圆、角平分线、旋转的相关几何性质确定作图思路，能够有效锻炼几何推理能力和实践作图能力。
【难度系数】
0.6
24.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
(1)求证:DB=DI.
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于点M.求证:BC=2AM.
(1)求证:DB=DI.
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于点M.求证:BC=2AM.
答案
24.(1)连接 BI.
$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 I 为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD=∠ CAD, \therefore ∠ BID=∠ IBD, \therefore DB=DI$.
(2)连接 OD,交 BC 于点 E.
$\because ∠ BAD=∠ CAD, \therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB, \therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD, \therefore IA=DI=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CAD=∠ CBD, \therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM, \therefore BC=2AM$.
$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 I 为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD=∠ CAD, \therefore ∠ BID=∠ IBD, \therefore DB=DI$.
(2)连接 OD,交 BC 于点 E.
$\because ∠ BAD=∠ CAD, \therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB, \therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD, \therefore IA=DI=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CAD=∠ CBD, \therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM, \therefore BC=2AM$.
解析
【分析】
（1）要证DB=DI，可通过等角对等边证明∠BID=∠IBD。首先连接BI，利用三角形内心是角平分线交点的性质，可得∠ABI=∠CBI、∠BAD=∠CAD，再结合同弧所对圆周角相等得∠CBD=∠CAD，将∠BID和∠IBD分别拆为两个角的和，即可证明两角相等，最终得到边相等的结论。
（2）要证BC=2AM，可先利用垂径定理将BC转化为2BE，只需证明BE=AM即可。首先连接OD，由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧CD，结合垂径定理可知OD垂直平分BC，即BC=2BE；再由OI⊥AD，根据垂径定理得AI=DI，结合（1）的结论DB=DI，可得AI=DB；最后证明△DBE和△IAM全等，即可得到BE=AM，进而推出BC=2AM。
【解析】
(1) 连接$ BI $。
根据三角形外角性质得：$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 $I$ 为$△ ABC$的内心,
$\therefore BI$平分$∠ABC$，$AI$平分$∠BAC$，即$∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD$和$∠CAD$都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CBD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI$，即$∠ BID=∠ IBD$,
$\therefore DB=DI$。
(2) 连接$ OD$,交$ BC $于点$ E$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB$,
$\therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD$，$O$为圆心，$AD$是$\odot O$的弦，
$\therefore IA=DI$,
由(1)得$DI=DB$，
$\therefore IA=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CBD$,
$\therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM$,
$\therefore BC=2BE=2AM$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$DB=DI$成立；
(2) 证明见上述解析，$BC=2AM$成立。
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，需要灵活运用角平分线性质、圆周角定理、垂径定理和全等三角形的判定来推导结论，解题的关键是合理添加辅助线，将待证的边的关系转化为角相等或三角形全等的问题，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证DB=DI，可通过等角对等边证明∠BID=∠IBD。首先连接BI，利用三角形内心是角平分线交点的性质，可得∠ABI=∠CBI、∠BAD=∠CAD，再结合同弧所对圆周角相等得∠CBD=∠CAD，将∠BID和∠IBD分别拆为两个角的和，即可证明两角相等，最终得到边相等的结论。
（2）要证BC=2AM，可先利用垂径定理将BC转化为2BE，只需证明BE=AM即可。首先连接OD，由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧CD，结合垂径定理可知OD垂直平分BC，即BC=2BE；再由OI⊥AD，根据垂径定理得AI=DI，结合（1）的结论DB=DI，可得AI=DB；最后证明△DBE和△IAM全等，即可得到BE=AM，进而推出BC=2AM。
【解析】
(1) 连接$ BI $。
根据三角形外角性质得：$∠ BID=∠ BAD+∠ ABI, ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\because$ 点 $I$ 为$△ ABC$的内心,
$\therefore BI$平分$∠ABC$，$AI$平分$∠BAC$，即$∠ ABI=∠ CBI, ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because ∠ CBD$和$∠CAD$都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CBD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI$，即$∠ BID=∠ IBD$,
$\therefore DB=DI$。
(2) 连接$ OD$,交$ BC $于点$ E$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore OD ⊥ BC, BE=CE=\frac{1}{2} BC$,
$\because IM ⊥ AB$,
$\therefore ∠ AMI=90°=∠ BED$,
$\because OI ⊥ AD$，$O$为圆心，$AD$是$\odot O$的弦，
$\therefore IA=DI$,
由(1)得$DI=DB$，
$\therefore IA=DB$,
$\because ∠ BAD=∠ CBD$,
$\therefore △ DBE ≌ △ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM$,
$\therefore BC=2BE=2AM$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$DB=DI$成立；
(2) 证明见上述解析，$BC=2AM$成立。
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，需要灵活运用角平分线性质、圆周角定理、垂径定理和全等三角形的判定来推导结论，解题的关键是合理添加辅助线，将待证的边的关系转化为角相等或三角形全等的问题，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
