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21.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,BD是$∠ ABC$的角平分线,以点D为圆心,DA为半径的$\odot D$与AC相交于点E.
(1)求证:BC是$\odot D$的切线.
(2)若$AB=5$,$BC=13$,求CE的长.
(1)求证:BC是$\odot D$的切线.
(2)若$AB=5$,$BC=13$,求CE的长.
答案
21.(1)过点 D 作$DF ⊥ BC$于点 F.
$\because ∠ BAD=90°$,BD 平分$∠ ABC$,
$\therefore AD=DF, \therefore BC$是$\odot D$的切线.
(2)由切线长定理得$AB=FB. \because AB=5, BC=13, \therefore CF=8, AC=12$.
设$DA=DF=DE=r$,则在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$r^{2}+64=(12-r)^{2}$,解得$r=\frac{10}{3}$.
$\therefore CE=AC-DA-DE=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ BAD=90°$,BD 平分$∠ ABC$,
$\therefore AD=DF, \therefore BC$是$\odot D$的切线.
(2)由切线长定理得$AB=FB. \because AB=5, BC=13, \therefore CF=8, AC=12$.
设$DA=DF=DE=r$,则在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$r^{2}+64=(12-r)^{2}$,解得$r=\frac{10}{3}$.
$\therefore CE=AC-DA-DE=\frac{16}{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明BC是$\odot D$的切线，切线判定的常用方法是：若圆心到直线的距离等于半径，则该直线为圆的切线。已知$\odot D$的半径为DA，因此我们过D作$DF⊥BC$于F，只需证明$DF=DA$即可。结合BD是$∠ ABC$的角平分线，$∠ BAC=90°$，根据角平分线的性质可直接得到$AD=DF$，即可完成证明。
(2)首先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出AC的长度；再根据切线长定理得到$AB=FB$，进而求出CF的长度；设$\odot D$的半径为r，将DC用含r的式子表示，在$Rt△ DFC$中用勾股定理列方程求出r的值，最后根据$CE=AC-2r$即可求出CE的长度。
【解析】
(1)证明：过点D作$DF⊥BC$于点F。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore DA⊥AB$，
又$\because$BD平分$∠ ABC$，$DF⊥BC$，
$\therefore AD=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
即DF是$\odot D$的半径，且$DF⊥BC$，
$\therefore BC$是$\odot D$的切线。
(2)解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5$，$BC=13$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\because AB$、$BF$都是$\odot D$的切线，
$\therefore$由切线长定理得$AB=FB=5$，
$\therefore CF=BC-FB=13-5=8$。
设$DA=DF=DE=r$，则$DC=AC-AD=12-r$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$DF^2+CF^2=DC^2$，即$r^2+8^2=(12-r)^2$，
展开整理得：$24r=80$，解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore CE=AC-AD-DE=12-\frac{10}{3}-\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1)BC是$\odot D$的切线，证明成立；(2)$CE=\frac{16}{3}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，重点考查切线的判定方法和几何计算中的方程思想，解题的关键是合理作出辅助线，结合角平分线性质、切线长定理转化线段关系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1)要证明BC是$\odot D$的切线，切线判定的常用方法是：若圆心到直线的距离等于半径，则该直线为圆的切线。已知$\odot D$的半径为DA，因此我们过D作$DF⊥BC$于F，只需证明$DF=DA$即可。结合BD是$∠ ABC$的角平分线，$∠ BAC=90°$，根据角平分线的性质可直接得到$AD=DF$，即可完成证明。
(2)首先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出AC的长度；再根据切线长定理得到$AB=FB$，进而求出CF的长度；设$\odot D$的半径为r，将DC用含r的式子表示，在$Rt△ DFC$中用勾股定理列方程求出r的值，最后根据$CE=AC-2r$即可求出CE的长度。
【解析】
(1)证明：过点D作$DF⊥BC$于点F。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore DA⊥AB$，
又$\because$BD平分$∠ ABC$，$DF⊥BC$，
$\therefore AD=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
即DF是$\odot D$的半径，且$DF⊥BC$，
$\therefore BC$是$\odot D$的切线。
(2)解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5$，$BC=13$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\because AB$、$BF$都是$\odot D$的切线，
$\therefore$由切线长定理得$AB=FB=5$，
$\therefore CF=BC-FB=13-5=8$。
设$DA=DF=DE=r$，则$DC=AC-AD=12-r$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$DF^2+CF^2=DC^2$，即$r^2+8^2=(12-r)^2$，
展开整理得：$24r=80$，解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore CE=AC-AD-DE=12-\frac{10}{3}-\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1)BC是$\odot D$的切线，证明成立；(2)$CE=\frac{16}{3}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，重点考查切线的判定方法和几何计算中的方程思想，解题的关键是合理作出辅助线，结合角平分线性质、切线长定理转化线段关系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
22.如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,CD是⊙O的切线,过点A作CD的垂线AD,延长AD,交BC的延长线于点E,延长DA,交⊙O于点F.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AB=10,AC=6,求AF的长.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AB=10,AC=6,求AF的长.
答案
22.(1)连接OC.
$\because OC ⊥ CD, CD ⊥ AE, \therefore OC / / AE, \therefore ∠ OCB=∠ E$,
$\because OB=OC, \therefore ∠ B=∠ OCB$,
$\therefore ∠ B=∠ E, \therefore AB=AE$.
(2)连接 BF.
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ACB=∠ F=90°, \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$,
$\because AB=AE=10, \therefore EC=BC=8, \therefore BE=16$.
$\because BF^{2}=AB^{2}-AF^{2}=BE^{2}-EF^{2}, \therefore 10^{2}-AF^{2}=16^{2}-(AF+10)^{2}$,解得$AF=\frac{14}{5}$.
$\because OC ⊥ CD, CD ⊥ AE, \therefore OC / / AE, \therefore ∠ OCB=∠ E$,
$\because OB=OC, \therefore ∠ B=∠ OCB$,
$\therefore ∠ B=∠ E, \therefore AB=AE$.
(2)连接 BF.
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ACB=∠ F=90°, \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$,
$\because AB=AE=10, \therefore EC=BC=8, \therefore BE=16$.
$\because BF^{2}=AB^{2}-AF^{2}=BE^{2}-EF^{2}, \therefore 10^{2}-AF^{2}=16^{2}-(AF+10)^{2}$,解得$AF=\frac{14}{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明AB=AE，只需证明底角∠B=∠E即可。已知CD是⊙O的切线，连接OC可利用切线性质得到OC⊥CD，结合CD⊥AE可推出OC//AE，进而得到∠OCB=∠E；再结合OB=OC的等腰三角形等角性质，可推出∠B=∠E，即可证得结论。
(2)求AF的长时，利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BF可得∠AFB和∠ACB都是直角，先通过勾股定理计算出BC的长度；再结合AB=AE、AC⊥BE的条件，由等腰三角形三线合一可得EC=BC，求出BE的长度；最后在Rt△ABF和Rt△BEF中分别用勾股定理表示BF²，建立关于AF的方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接OC
∵CD是⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥CD
又
∵CD⊥AE，
∴OC//AE，
∴∠OCB=∠E
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB
∴∠B=∠E，
∴AB=AE
(2)解：连接BF
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠F=90°，即AC⊥BE、BF⊥EF
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴EC=BC=8，$BE=BC+EC=16$
设AF的长为$x$，则$EF=AF+AE=x+10$
在Rt△ABF中，$BF^2=AB^2-AF^2=10^2-x^2$
在Rt△BEF中，$BF^2=BE^2-EF^2=16^2-(x+10)^2$
联立得方程：$10^2-x^2=16^2-(x+10)^2$
化简解得：$x=\frac{14}{5}$
【答案】
(1)AB=AE得证；
(2)$\boldsymbol{\dfrac{14}{5}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的典型综合题，解题核心是正确构造辅助线，利用圆的性质转化角度和垂直关系，结合等腰三角形性质和勾股定理建立方程求解，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明AB=AE，只需证明底角∠B=∠E即可。已知CD是⊙O的切线，连接OC可利用切线性质得到OC⊥CD，结合CD⊥AE可推出OC//AE，进而得到∠OCB=∠E；再结合OB=OC的等腰三角形等角性质，可推出∠B=∠E，即可证得结论。
(2)求AF的长时，利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BF可得∠AFB和∠ACB都是直角，先通过勾股定理计算出BC的长度；再结合AB=AE、AC⊥BE的条件，由等腰三角形三线合一可得EC=BC，求出BE的长度；最后在Rt△ABF和Rt△BEF中分别用勾股定理表示BF²，建立关于AF的方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接OC
∵CD是⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥CD
又
∵CD⊥AE，
∴OC//AE，
∴∠OCB=∠E
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB
∴∠B=∠E，
∴AB=AE
(2)解：连接BF
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠F=90°，即AC⊥BE、BF⊥EF
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴EC=BC=8，$BE=BC+EC=16$
设AF的长为$x$，则$EF=AF+AE=x+10$
在Rt△ABF中，$BF^2=AB^2-AF^2=10^2-x^2$
在Rt△BEF中，$BF^2=BE^2-EF^2=16^2-(x+10)^2$
联立得方程：$10^2-x^2=16^2-(x+10)^2$
化简解得：$x=\frac{14}{5}$
【答案】
(1)AB=AE得证；
(2)$\boldsymbol{\dfrac{14}{5}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的典型综合题，解题核心是正确构造辅助线，利用圆的性质转化角度和垂直关系，结合等腰三角形性质和勾股定理建立方程求解，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
