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21.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,BD是$∠ ABC$的角平分线,以点D为圆心,DA为半径的$\odot D$与AC相交于点E.
(1)求证:BC是$\odot D$的切线.
(2)若$AB=5$,$BC=13$,求CE的长.
(1)求证:BC是$\odot D$的切线.
(2)若$AB=5$,$BC=13$,求CE的长.
答案
21.(1)过点 D 作$DF ⊥ BC$于点 F.
$\because ∠ BAD=90°$,BD 平分$∠ ABC$,
$\therefore AD=DF, \therefore BC$是$\odot D$的切线.
(2)由切线长定理得$AB=FB. \because AB=5, BC=13, \therefore CF=8, AC=12$.
设$DA=DF=DE=r$,则在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$r^{2}+64=(12-r)^{2}$,解得$r=\frac{10}{3}$.
$\therefore CE=AC-DA-DE=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ BAD=90°$,BD 平分$∠ ABC$,
$\therefore AD=DF, \therefore BC$是$\odot D$的切线.
(2)由切线长定理得$AB=FB. \because AB=5, BC=13, \therefore CF=8, AC=12$.
设$DA=DF=DE=r$,则在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$r^{2}+64=(12-r)^{2}$,解得$r=\frac{10}{3}$.
$\therefore CE=AC-DA-DE=\frac{16}{3}$.
解析
【分析】
（1）要证明BC是⊙D的切线，根据切线判定定理，需证明圆心D到BC的距离等于⊙D的半径DA。已知BD是∠ABC的角平分线，且DA⊥AB，因此过D作DF⊥BC，利用角平分线的性质即可得到DF=DA，满足切线判定条件。
（2）求CE的长，第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步利用切线长定理得到AB=FB，求出CF的长度；第三步设圆的半径为r，在Rt△DFC中利用勾股定理列方程求出半径r；最后用AC的长度减去直径AE的长度即可得到CE的长。
【解析】
（1）证明：过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore DA⊥AB$，
又$\because$BD平分$∠ ABC$，$DF⊥BC$，
$\therefore AD=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\because$DF是$\odot D$的半径，且$DF⊥BC$，
$\therefore BC$是$\odot D$的切线。
（2）解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5$，$BC=13$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\because AB$、$BF$都是$\odot D$的切线，由切线长定理得$AB=FB=5$，
$\therefore CF=BC-FB=13-5=8$。
设$DA=DF=DE=r$，则$DC=AC-AD=12-r$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得$DF^2+CF^2=DC^2$，
即$r^2+8^2=(12-r)^2$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore CE=AC-DA-DE=12-\frac{10}{3}-\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1)BC是$\odot D$的切线，证明成立；
(2)$CE=\frac{16}{3}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题，考查了切线的判定方法、几何性质的运用及方程思想求解线段长度，解题关键是正确作出判定切线的辅助线，结合已知条件建立方程求解未知量。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BC是⊙D的切线，根据切线判定定理，需证明圆心D到BC的距离等于⊙D的半径DA。已知BD是∠ABC的角平分线，且DA⊥AB，因此过D作DF⊥BC，利用角平分线的性质即可得到DF=DA，满足切线判定条件。
（2）求CE的长，第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步利用切线长定理得到AB=FB，求出CF的长度；第三步设圆的半径为r，在Rt△DFC中利用勾股定理列方程求出半径r；最后用AC的长度减去直径AE的长度即可得到CE的长。
【解析】
（1）证明：过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore DA⊥AB$，
又$\because$BD平分$∠ ABC$，$DF⊥BC$，
$\therefore AD=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\because$DF是$\odot D$的半径，且$DF⊥BC$，
$\therefore BC$是$\odot D$的切线。
（2）解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5$，$BC=13$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\because AB$、$BF$都是$\odot D$的切线，由切线长定理得$AB=FB=5$，
$\therefore CF=BC-FB=13-5=8$。
设$DA=DF=DE=r$，则$DC=AC-AD=12-r$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得$DF^2+CF^2=DC^2$，
即$r^2+8^2=(12-r)^2$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore CE=AC-DA-DE=12-\frac{10}{3}-\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1)BC是$\odot D$的切线，证明成立；
(2)$CE=\frac{16}{3}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题，考查了切线的判定方法、几何性质的运用及方程思想求解线段长度，解题关键是正确作出判定切线的辅助线，结合已知条件建立方程求解未知量。
【难度系数】
0.7
22.如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,CD是⊙O的切线,过点A作CD的垂线AD,延长AD,交BC的延长线于点E,延长DA,交⊙O于点F.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AB=10,AC=6,求AF的长.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AB=10,AC=6,求AF的长.
答案
22.(1)连接OC.
$\because OC ⊥ CD, CD ⊥ AE, \therefore OC / / AE, \therefore ∠ OCB=∠ E$,
$\because OB=OC, \therefore ∠ B=∠ OCB$,
$\therefore ∠ B=∠ E, \therefore AB=AE$.
(2)连接 BF.
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ACB=∠ F=90°, \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$,
$\because AB=AE=10, \therefore EC=BC=8, \therefore BE=16$.
$\because BF^{2}=AB^{2}-AF^{2}=BE^{2}-EF^{2}, \therefore 10^{2}-AF^{2}=16^{2}-(AF+10)^{2}$,解得$AF=\frac{14}{5}$.
$\because OC ⊥ CD, CD ⊥ AE, \therefore OC / / AE, \therefore ∠ OCB=∠ E$,
$\because OB=OC, \therefore ∠ B=∠ OCB$,
$\therefore ∠ B=∠ E, \therefore AB=AE$.
(2)连接 BF.
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ACB=∠ F=90°, \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$,
$\because AB=AE=10, \therefore EC=BC=8, \therefore BE=16$.
$\because BF^{2}=AB^{2}-AF^{2}=BE^{2}-EF^{2}, \therefore 10^{2}-AF^{2}=16^{2}-(AF+10)^{2}$,解得$AF=\frac{14}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB=AE，只需证明底角∠B=∠E即可。首先连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，结合CD⊥AE可推出OC//AE，得到∠OCB=∠E；再结合OB=OC可知∠B=∠OCB，等量代换就能得到∠B=∠E，进而得证AB=AE。
(2) 求AF的长时，连接BF，利用直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=∠F=90°。先用勾股定理求出BC的长度，结合(1)的结论AB=AE，由等腰三角形三线合一可得EC=BC，从而得到BE的长度；再设AF为x，用含x的式子表示EF，在两个直角三角形中利用公共边BF的平方相等列方程，解方程即可求出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC。
∵ CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴ $OC ⊥ CD$，
又
∵ $CD ⊥ AE$，
∴ $OC // AE$，
∴ $∠ OCB=∠ E$，
∵ $OB=OC$，
∴ $∠ B=∠ OCB$，
∴ $∠ B=∠ E$，
∴ $AB=AE$。
(2) 解：连接BF。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ $∠ ACB=∠ F=90°$，即$AC ⊥ BE$，$BF ⊥ EF$，
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
由(1)知$AB=AE=10$，且$AC ⊥ BE$，
∴ $EC=BC=8$，则$BE=BC+EC=16$，
设$AF=x$，则$EF=AF+AE=x+10$，
在$Rt△ ABF$中，$BF^2=AB^2-AF^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ BEF$中，$BF^2=BE^2-EF^2=16^2-(x+10)^2$，
∴ $10^2 - x^2 = 16^2 - (x+10)^2$，
化简解得：$x=\frac{14}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\frac{14}{5}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是合理添加辅助线，借助切线性质、圆周角定理得到角的关系和直角三角形，再结合等腰三角形性质与勾股定理建立方程求解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AB=AE，只需证明底角∠B=∠E即可。首先连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，结合CD⊥AE可推出OC//AE，得到∠OCB=∠E；再结合OB=OC可知∠B=∠OCB，等量代换就能得到∠B=∠E，进而得证AB=AE。
(2) 求AF的长时，连接BF，利用直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=∠F=90°。先用勾股定理求出BC的长度，结合(1)的结论AB=AE，由等腰三角形三线合一可得EC=BC，从而得到BE的长度；再设AF为x，用含x的式子表示EF，在两个直角三角形中利用公共边BF的平方相等列方程，解方程即可求出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC。
∵ CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴ $OC ⊥ CD$，
又
∵ $CD ⊥ AE$，
∴ $OC // AE$，
∴ $∠ OCB=∠ E$，
∵ $OB=OC$，
∴ $∠ B=∠ OCB$，
∴ $∠ B=∠ E$，
∴ $AB=AE$。
(2) 解：连接BF。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ $∠ ACB=∠ F=90°$，即$AC ⊥ BE$，$BF ⊥ EF$，
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
由(1)知$AB=AE=10$，且$AC ⊥ BE$，
∴ $EC=BC=8$，则$BE=BC+EC=16$，
设$AF=x$，则$EF=AF+AE=x+10$，
在$Rt△ ABF$中，$BF^2=AB^2-AF^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ BEF$中，$BF^2=BE^2-EF^2=16^2-(x+10)^2$，
∴ $10^2 - x^2 = 16^2 - (x+10)^2$，
化简解得：$x=\frac{14}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\frac{14}{5}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是合理添加辅助线，借助切线性质、圆周角定理得到角的关系和直角三角形，再结合等腰三角形性质与勾股定理建立方程求解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
