19.如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB// CD$，连接OB，OC.
(1)求证：$OB⊥ OC$.
(2)若$OB＝6$，$OC＝8$，求$CG－BE$的值.

19.(1)证明:$\because OB$平分$∠ ABC$,OC平分$∠ BCD, \therefore ∠ OBC=\frac{1}{2} ∠ ABC, ∠ OCB=\frac{1}{2} ∠ BCD$,
$\because AB / / CD, \therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$,
$\therefore ∠ BOC=90°, \therefore OB ⊥ OC$.
(2)$CG-BE=6.4-3.6=2.8$.

【分析】
第(1)问解题思路：首先根据切线长定理可得OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，再结合AB//CD时同旁内角互补的性质，可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，进而得到∠BOC=90°，即可证明OB⊥OC。第(2)问解题思路：先在Rt△BOC中用勾股定理求出BC的长度，再根据切线长定理可知BE=BF、CG=CF，因此BC=BE+CG；随后用等面积法求出圆的半径OF，再在Rt△OBF中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CG的长度，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，根据切线长定理，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∵$AB// CD$，两直线平行同旁内角互补，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°$，
∴$OB⊥ OC$。
(2) 解：
连接OF，
∵BC是⊙O的切线，F为切点，
∴$OF⊥ BC$，
在$Rt△ BOC$中，$OB=6$，$OC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$△ BOC$的面积可表示为$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，解得$OF=4.8$，
根据切线长定理：$BE=BF$，$CG=CF$，
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=\sqrt{12.96}=3.6$，即$BE=3.6$，
∵$BC=BF+CF=BE+CG=10$，
∴$CG=10-3.6=6.4$，
∴$CG-BE=6.4-3.6=2.8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{2.8}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线长定理得到角和线段的等量关系，第二问用等面积法求半径是简化计算的关键，整体考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

20.如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，$OD⊥ AC$于点D.过点A作$\odot O$的切线，与OD的延长线交于点P，PC的延长线与AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ CAB＝30°$，$AB＝8$，求线段CF的长.

20.(1)连接OC.
$\because OD ⊥ AC, \therefore OP$垂直平分$AC, \therefore PA=PC, OA=OC$,
$\therefore △ OAP ≌ △ OCP(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCP=∠ OAP=90°, \therefore PC$是$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠ BOC=2 ∠ CAB=60°, OB=OC, \therefore △ OBC$是等边三角形,
$\because AB=8, \therefore OC=4$.
由(1)知$∠ OCF=90°, \therefore CF=4 \sqrt{3}$.

【分析】
(1)要证明PC是$\odot O$的切线，已知PC与$\odot O$交于点C，根据切线判定定理，只需证明$OC⊥ PC$即可。首先连接OC，利用垂径定理可得OP是AC的垂直平分线，推出$PA=PC$，再结合$OA=OC$、OP为公共边，证明$△ OAP≌△ OCP$，结合PA是切线得到$∠ OAP=90°$，即可推出$∠ OCP=90°$，完成证明。
(2)先根据圆周角定理求出圆心角$∠ COB$的度数，结合$OB=OC$可得$△ OBC$是等边三角形，得到OC的长度，再结合(1)的结论得到$∠ OCF=90°$，在$Rt△ OCF$中利用直角三角形的性质即可求出CF的长度。
【解析】
(1)证明：连接OC。
$\because OD⊥ AC$，且OD过圆心O，
$\therefore OP$垂直平分AC，
$\therefore PA=PC$，
在$△ OAP$和$△ OCP$中：
$\begin{cases}PA=PC \\OA=OC \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ OAP≌△ OCP(\mathrm{SSS})$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ OAP=90°$，
$\therefore ∠ OCP=∠ OAP=90°$，即$OC⊥ PC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线。
(2)解：$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ BOC=2∠ CAB=60°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
$\because OB=OC$，
$\therefore △ OBC$是等边三角形，
$\because AB=8$，$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=4$，
由(1)知PC是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ OCF=90°$，
在$Rt△ OCF$中，$∠ COF=60°$，$OC=4$，
$\therefore CF=OC·\tan60°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线的判定方法、圆的基本性质，计算线段长度时可结合直角三角形的性质快速求解。
【难度系数】
0.7