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19.如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB// CD$，连接OB，OC.
(1)求证：$OB⊥ OC$.
(2)若$OB＝6$，$OC＝8$，求$CG－BE$的值.
(1)求证：$OB⊥ OC$.
(2)若$OB＝6$，$OC＝8$，求$CG－BE$的值.
答案
19.(1)证明:$\because OB$平分$∠ ABC$,OC平分$∠ BCD, \therefore ∠ OBC=\frac{1}{2} ∠ ABC, ∠ OCB=\frac{1}{2} ∠ BCD$,
$\because AB / / CD, \therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$,
$\therefore ∠ BOC=90°, \therefore OB ⊥ OC$.
(2)$CG-BE=6.4-3.6=2.8$.
$\because AB / / CD, \therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$,
$\therefore ∠ BOC=90°, \therefore OB ⊥ OC$.
(2)$CG-BE=6.4-3.6=2.8$.
解析
【分析】
(1) 要证明OB⊥OC，即需证明∠BOC=90°。首先根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，可得OB平分∠ABC、OC平分∠BCD；再结合AB//CD的性质，同旁内角互补，可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即可得到∠BOC=90°。
(2) 先由勾股定理计算BC的长度，再根据切线长定理将BE转换为BF、CG转换为CF，把求CG-BE转化为求CF-BF；随后利用直角三角形的相似性质，分别求出BF和CF的长度，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，
∴OB平分$∠ABC$，OC平分$∠BCD$，
∴$∠OBC=\frac{1}{2} ∠ABC$，$∠OCB=\frac{1}{2} ∠BCD$，
∵$AB // CD$，
∴$∠ABC + ∠BCD=180°$，
∴$∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BCD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°$，
∴$OB ⊥ OC$。
(2) 解：
在$Rt△ BOC$中，$OB=6$，$OC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
根据切线长定理可得：$BE=BF$，$CG=CF$，
∵BC是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥BC$，
∴$∠OFB=∠BOC=90°$，
又
∵$∠OBF=∠CBO$，
∴$△ OBF ∽ △ CBO$，
∴$\frac{BF}{OB}=\frac{OB}{BC}$，即$BF=\frac{OB^2}{BC}=\frac{36}{10}=3.6$，
∴$BE=BF=3.6$，
同理可证$△ OCF ∽ △ BCO$，
∴$\frac{CF}{OC}=\frac{OC}{BC}$，即$CF=\frac{OC^2}{BC}=\frac{64}{10}=6.4$，
∴$CG=CF=6.4$，
∴$CG-BE=6.4-3.6=2.8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $2.8$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形知识结合的典型综合题，第一问侧重基础定理的直接应用，第二问需要通过切线长定理完成线段的等量转换，再结合勾股定理、相似三角形求解线段长度，解题核心是熟练掌握圆的切线相关性质。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明OB⊥OC，即需证明∠BOC=90°。首先根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，可得OB平分∠ABC、OC平分∠BCD；再结合AB//CD的性质，同旁内角互补，可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即可得到∠BOC=90°。
(2) 先由勾股定理计算BC的长度，再根据切线长定理将BE转换为BF、CG转换为CF，把求CG-BE转化为求CF-BF；随后利用直角三角形的相似性质，分别求出BF和CF的长度，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，
∴OB平分$∠ABC$，OC平分$∠BCD$，
∴$∠OBC=\frac{1}{2} ∠ABC$，$∠OCB=\frac{1}{2} ∠BCD$，
∵$AB // CD$，
∴$∠ABC + ∠BCD=180°$，
∴$∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BCD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°$，
∴$OB ⊥ OC$。
(2) 解：
在$Rt△ BOC$中，$OB=6$，$OC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
根据切线长定理可得：$BE=BF$，$CG=CF$，
∵BC是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥BC$，
∴$∠OFB=∠BOC=90°$，
又
∵$∠OBF=∠CBO$，
∴$△ OBF ∽ △ CBO$，
∴$\frac{BF}{OB}=\frac{OB}{BC}$，即$BF=\frac{OB^2}{BC}=\frac{36}{10}=3.6$，
∴$BE=BF=3.6$，
同理可证$△ OCF ∽ △ BCO$，
∴$\frac{CF}{OC}=\frac{OC}{BC}$，即$CF=\frac{OC^2}{BC}=\frac{64}{10}=6.4$，
∴$CG=CF=6.4$，
∴$CG-BE=6.4-3.6=2.8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $2.8$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形知识结合的典型综合题，第一问侧重基础定理的直接应用，第二问需要通过切线长定理完成线段的等量转换，再结合勾股定理、相似三角形求解线段长度，解题核心是熟练掌握圆的切线相关性质。
【难度系数】
0.65
20.如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，$OD⊥ AC$于点D.过点A作$\odot O$的切线，与OD的延长线交于点P，PC的延长线与AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ CAB＝30°$，$AB＝8$，求线段CF的长.
(1)求证：PC是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ CAB＝30°$，$AB＝8$，求线段CF的长.
答案
20.(1)连接OC.
$\because OD ⊥ AC, \therefore OP$垂直平分$AC, \therefore PA=PC, OA=OC$,
$\therefore △ OAP ≌ △ OCP(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCP=∠ OAP=90°, \therefore PC$是$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠ BOC=2 ∠ CAB=60°, OB=OC, \therefore △ OBC$是等边三角形,
$\because AB=8, \therefore OC=4$.
由(1)知$∠ OCF=90°, \therefore CF=4 \sqrt{3}$.
$\because OD ⊥ AC, \therefore OP$垂直平分$AC, \therefore PA=PC, OA=OC$,
$\therefore △ OAP ≌ △ OCP(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCP=∠ OAP=90°, \therefore PC$是$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠ BOC=2 ∠ CAB=60°, OB=OC, \therefore △ OBC$是等边三角形,
$\because AB=8, \therefore OC=4$.
由(1)知$∠ OCF=90°, \therefore CF=4 \sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC⊥ PC$，因此先连接辅助线$OC$。已知$OD⊥ AC$，由垂径定理可得$OP$是$AC$的垂直平分线，进而得到$PA=PC$，结合$OA=OC$、$OP$为公共边，可证$△ OAP≌△ OCP$，再利用$PA$是切线得到$∠ OAP=90°$，即可推出$∠ OCP=90°$，完成证明。
（2）要求$CF$的长，先根据圆周角定理求出圆心角$∠ BOC$的度数，结合$OB=OC$可判定$△ OBC$是等边三角形，得到$OC$的长度，再结合（1）的结论可知$△ OCF$是直角三角形，利用勾股定理即可求出$CF$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$.
$\because OD⊥ AC$，且$OD$过圆心$O$，
$\therefore OP$垂直平分$AC$，
$\therefore PA=PC$.
在$△ OAP$和$△ OCP$中：
$\begin{cases}PA=PC \\OA=OC \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore△ OAP≌△ OCP(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ OCP=∠ OAP$.
$\because PA$是$\odot O$的切线，$AB$是直径，
$\therefore∠ OAP=90°$，
$\therefore∠ OCP=90°$，即$OC⊥ PC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线.
(2) 解：$\because∠ CAB=30°$，
$\therefore∠ BOC=2∠ CAB=60°$.
$\because OB=OC$，
$\therefore△ OBC$是等边三角形.
$\because AB=8$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=4$.
由(1)知$∠ OCF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$∠ COF=60°$，$OC=4$，
$\therefore OF=2OC=8$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{OF^2-OC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $CF=4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础综合题，解题核心是熟练掌握切线判定的辅助线作法，结合全等三角形、圆周角定理、直角三角形性质即可求解，解题逻辑清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC⊥ PC$，因此先连接辅助线$OC$。已知$OD⊥ AC$，由垂径定理可得$OP$是$AC$的垂直平分线，进而得到$PA=PC$，结合$OA=OC$、$OP$为公共边，可证$△ OAP≌△ OCP$，再利用$PA$是切线得到$∠ OAP=90°$，即可推出$∠ OCP=90°$，完成证明。
（2）要求$CF$的长，先根据圆周角定理求出圆心角$∠ BOC$的度数，结合$OB=OC$可判定$△ OBC$是等边三角形，得到$OC$的长度，再结合（1）的结论可知$△ OCF$是直角三角形，利用勾股定理即可求出$CF$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$.
$\because OD⊥ AC$，且$OD$过圆心$O$，
$\therefore OP$垂直平分$AC$，
$\therefore PA=PC$.
在$△ OAP$和$△ OCP$中：
$\begin{cases}PA=PC \\OA=OC \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore△ OAP≌△ OCP(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ OCP=∠ OAP$.
$\because PA$是$\odot O$的切线，$AB$是直径，
$\therefore∠ OAP=90°$，
$\therefore∠ OCP=90°$，即$OC⊥ PC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线.
(2) 解：$\because∠ CAB=30°$，
$\therefore∠ BOC=2∠ CAB=60°$.
$\because OB=OC$，
$\therefore△ OBC$是等边三角形.
$\because AB=8$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=4$.
由(1)知$∠ OCF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$∠ COF=60°$，$OC=4$，
$\therefore OF=2OC=8$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{OF^2-OC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $CF=4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础综合题，解题核心是熟练掌握切线判定的辅助线作法，结合全等三角形、圆周角定理、直角三角形性质即可求解，解题逻辑清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
